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人教A版 (2019)5.1.1 任意角教课内容课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)5.1.1 任意角教课内容课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了整体感知，探究建构，逆时针，顺时针，相反角，－150°，象限角，坐标轴上，－136°，应用迁移等内容，欢迎下载使用。
[学习目标] 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象)2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
[讨论交流] 预习教材P168－P171，并思考以下问题：问题1．角的概念推广后，角是如何分类的？问题2．象限角是如何定义的？问题3．终边相同的角存在怎样的等量关系？如何表示终边相同的角？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 角探究问题1 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
提示：分针顺时针方向旋转了30°；分针逆时针方向旋转了450°．
[新知生成]1．角的概念及其表示角可以看成一条____绕着它的端点旋转所成的____．如图，(1)始边：射线的____位置OA；终边：射线的____位置OB；顶点：射线的端点O．(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
2．任意角我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
3．角的相等如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称______．4．角的加法设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是______．5．相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______，角α的相反角记为____，α－β＝α＋(____)．
[典例讲评] 1．(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°(2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是______；γ＝α－β的是______．
(2)在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β．∴γ＝α＋β的是①④；γ＝α－β的是②③．]
反思领悟 确定任意角的方法(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角的大小．
[学以致用] 1．(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120° C．240° D．－240°(2)图中角α＝__________，β＝__________．
(1)D (2)－150° 210° [(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D．(2)由题图可知α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°．]
探究2 象限角探究问题2 若使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？
提示：落在坐标轴上或四个象限内．
[新知生成]把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与____重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的____在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
【链接·教材例题】例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)135°；(2)－120°；(3)855°；(4)－750°．
[解] (1)135°在直角坐标系中位置如图所示：135°是第二象限角．
(2)－120°在直角坐标系中位置如图所示：－120°是第三象限角．
(3)855°＝2×360°＋135°，在直角坐标系中位置如图所示：855°是第二象限角．
(4)－750°＝－2×360°－30°在直角坐标系中位置如图所示：－750°是第四象限角．
反思领悟 在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
[学以致用] 2．(1)下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90° C．180° D．270°(2)(多选)下列叙述不正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(1)B (2)ACD [(1)根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B．(2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD．]
【教用·备选题】 (多选)已知A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，那么A，B，C的关系是( )A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．B∩A＝B D．A＝B＝C
BC [因为A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，所以A∩C除了包括锐角，还包括其他角，比如－330°角，故A选项错误；锐角是大于0°且小于90°的角，故B选项正确；锐角是第一象限角，故C选项正确；A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．故选BC．]
探究3 终边相同的角探究问题3 390°角的终边与30°角的终边有什么关系？两者之间相差了多少度？
提示：相同；360°．
探究问题4 如何表示与30°角终边相同的角？
提示：30°＋k·360°(k∈Z)．
[新知生成]终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【链接·教材例题】例2 写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图5.1-7)．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
例3 写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？
解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°．
[典例讲评] 3．(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°．
发现规律 终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差________的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差________的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差______的整数倍．
[学以致用] 3．(1)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )A．－37° B．143° C．379° D．－143°(2)与2 024°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角________．
(1)D (2)224° －136° [(1)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D．(2)与2 024°角的终边相同的角为2 024°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，224°为最小正角；当k＝－6时，－136°为绝对值最小的角．]
150°＋k·360°，k∈Z
20°，140°，260°
探究4 区域角及其表示[典例讲评] 4．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
[解] 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思领悟 表示区域角的三个步骤(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
[解] (1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
1．下列命题中正确的是( )A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．终边相等的角必相等 D．－270°的终边在y轴上
D [A不正确，如－330°就是第一象限角．B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角．C不正确，终边相等的角可以相差360°的整数倍．D正确，－270°的终边与90°终边相同．故选D．]
2．下列角中终边与340°相同的角是( )A．20° B．－20° C．620° D．－40°
B [与340°角终边相同的角的集合为{x|x＝340°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，可得x＝－20°．故选B．]
C [在－180°～180°间阴影部分区域中两条边界表示的角分别为－45°，120°．所以阴影部分的区域在－180°～180°间的范围是－45°≤α≤120°．所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．故选C．]
4．如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
－75° [由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．]
1．知识链：(1)正角、负角、零角的概念．(2)终边相同的角．(3)象限角、区域角的表示．2．方法链：数形结合、分类讨论．3．警示牌：(1)锐角与小于90°角的区别．(2)终边相同的角的表示中漏掉k∈Z．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．任意角的分类有哪几种？
[提示] 按旋转方向分为正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
[学习目标] 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象)2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
[讨论交流] 预习教材P168－P171，并思考以下问题：问题1．角的概念推广后，角是如何分类的？问题2．象限角是如何定义的？问题3．终边相同的角存在怎样的等量关系？如何表示终边相同的角？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 角探究问题1 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
提示：分针顺时针方向旋转了30°；分针逆时针方向旋转了450°．
[新知生成]1．角的概念及其表示角可以看成一条____绕着它的端点旋转所成的____．如图，(1)始边：射线的____位置OA；终边：射线的____位置OB；顶点：射线的端点O．(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
2．任意角我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
3．角的相等如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称______．4．角的加法设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是______．5．相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______，角α的相反角记为____，α－β＝α＋(____)．
[典例讲评] 1．(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°(2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是______；γ＝α－β的是______．
(2)在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β．∴γ＝α＋β的是①④；γ＝α－β的是②③．]
反思领悟 确定任意角的方法(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角的大小．
[学以致用] 1．(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120° C．240° D．－240°(2)图中角α＝__________，β＝__________．
(1)D (2)－150° 210° [(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D．(2)由题图可知α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°．]
探究2 象限角探究问题2 若使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？
提示：落在坐标轴上或四个象限内．
[新知生成]把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与____重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的____在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
【链接·教材例题】例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
[典例讲评] 2．(源自湘教版教材)在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)135°；(2)－120°；(3)855°；(4)－750°．
[解] (1)135°在直角坐标系中位置如图所示：135°是第二象限角．
(2)－120°在直角坐标系中位置如图所示：－120°是第三象限角．
(3)855°＝2×360°＋135°，在直角坐标系中位置如图所示：855°是第二象限角．
(4)－750°＝－2×360°－30°在直角坐标系中位置如图所示：－750°是第四象限角．
反思领悟 在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
[学以致用] 2．(1)下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90° C．180° D．270°(2)(多选)下列叙述不正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(1)B (2)ACD [(1)根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B．(2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD．]
【教用·备选题】 (多选)已知A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，那么A，B，C的关系是( )A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．B∩A＝B D．A＝B＝C
BC [因为A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，所以A∩C除了包括锐角，还包括其他角，比如－330°角，故A选项错误；锐角是大于0°且小于90°的角，故B选项正确；锐角是第一象限角，故C选项正确；A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．故选BC．]
探究3 终边相同的角探究问题3 390°角的终边与30°角的终边有什么关系？两者之间相差了多少度？
提示：相同；360°．
探究问题4 如何表示与30°角终边相同的角？
提示：30°＋k·360°(k∈Z)．
[新知生成]终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【链接·教材例题】例2 写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图5.1-7)．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
例3 写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？
解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°．
[典例讲评] 3．(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°．
发现规律 终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差________的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差________的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差______的整数倍．
[学以致用] 3．(1)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )A．－37° B．143° C．379° D．－143°(2)与2 024°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角________．
(1)D (2)224° －136° [(1)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D．(2)与2 024°角的终边相同的角为2 024°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，224°为最小正角；当k＝－6时，－136°为绝对值最小的角．]
150°＋k·360°，k∈Z
20°，140°，260°
探究4 区域角及其表示[典例讲评] 4．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
[解] 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思领悟 表示区域角的三个步骤(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
[解] (1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
1．下列命题中正确的是( )A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．终边相等的角必相等 D．－270°的终边在y轴上
D [A不正确，如－330°就是第一象限角．B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角．C不正确，终边相等的角可以相差360°的整数倍．D正确，－270°的终边与90°终边相同．故选D．]
2．下列角中终边与340°相同的角是( )A．20° B．－20° C．620° D．－40°
B [与340°角终边相同的角的集合为{x|x＝340°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，可得x＝－20°．故选B．]
C [在－180°～180°间阴影部分区域中两条边界表示的角分别为－45°，120°．所以阴影部分的区域在－180°～180°间的范围是－45°≤α≤120°．所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．故选C．]
4．如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
－75° [由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．]
1．知识链：(1)正角、负角、零角的概念．(2)终边相同的角．(3)象限角、区域角的表示．2．方法链：数形结合、分类讨论．3．警示牌：(1)锐角与小于90°角的区别．(2)终边相同的角的表示中漏掉k∈Z．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．任意角的分类有哪几种？
[提示] 按旋转方向分为正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
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