2025年新高考数学高频考点+重点题型专题03基本不等式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题03基本不等式含解析答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，则的（ ）
A．最大值是B．最大值是
C．最小值是D．最小值是
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．25B．18C．16D．8
4．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．不等式对任意恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．(－2,0)B．
C．(－2,1)D．
6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为( )
A．B．C．1D．2
7．若，，，则的最大值为
A．B．C．D．
8．已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知 ，且，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题
10．已知，，且，则可能取的值有（ ）
A．9B．10C．11D．12
11．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（ ）
A．B．3C．4D．
12．若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
13．已知，，，且，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
14．已知正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
15．若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
16．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A．B．C．D．
19．当，时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
20．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
21．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的（ ）
A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4
23．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
24．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
三、填空题
25．的最小值为 ．
26．已知，，且，则的最小值为 .
27．已知，且，则的最小值是 .
28．已知正数，满足，当 时，取到最大值为 ．
29．已知正数a，b满足，则的最小值是 .
30．已知正数满足，则的最小值为 ．
31．若实数x，y满足，则的最小值为 .
32．已知正实数满足，则的最小值是 ．
33．若，则的最小值为 ．
34．已知都为正实数，则的最小值为 ．
35．设，那么的最小值是 .
36．已知，则的最小值为 ．
37．已知正实数，满足，则的最大值等于 ．
38．已知，则的取值范围是
39．已知，则的取值范围是
40．已知实数满足，则的最大值为
41．若正数满足，则的最大值是 ．
42．已知函数，若实数满足的最小值是 ．
四、解答题
43．运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
参考答案：
1．B
【解析】由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．C
【分析】将代数式与相乘，展开后可求得的最小值.
【详解】由已知可得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：C.
3．C
【分析】用“1”的代换凑配出积的定值，然后由基本不等式得最小值．
【详解】，则，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
5．C
【解析】先由基本不等式求解的最小值，再解一元二次不等式即可.
【详解】根据题意，由于不等式对任意恒成立，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以x2＋x