2025年新高考数学高频考点+重点题型专题04一元二次不等式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题04一元二次不等式含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中，是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知集合，则=
A．B．C．D．
9．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]
10．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．3
13．在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于（ ）
A．66B．132C．-66D．-132
14．不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
15．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|xm}B．{x|－n0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3.
【点晴】（1） 恒成立等价于；
（2） 恒成立等价于；
（3） 能成立等价于；
（4） 能成立等价于.
23．
【分析】对的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围.
【详解】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；
当时，不等式可化为，所以，
又当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，不等式可化为，
即；
因为存在使得关于x的不等式成立，
所以，只需或.
故答案为：.
【点睛】本题考查由不等式能成立求参数的范围，属综合中档题.
24．
【分析】直接利用递推关系式和一元二次不等式的解法求出结果．
【详解】解：数列的前项和为，对任意，，
当时，，解得，
当时，，整理得，①
当时，，整理得，②
由①②得：，
所以，整理得，
解得，
所以：实数的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，一元二次不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
25．
【解析】根据一元二次不等式的解集求得的关系，再根据均值不等式求得最小值.
【详解】因为的解集为，得，，得，又，所以，所以，由均值不等式得，
所以
，当时取等号，故的最小值是.
故答案为：
【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.
26．
【详解】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为.
27．[0，]∪[，π]
【详解】由题意可得，△=64sin2α﹣32cs2α≤0，
得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0
∴sin2α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈[0，]∪[，π]
28．150
【分析】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．
【详解】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，
总支出为：3000+20x﹣0.1x2
∴25x≥3000+20x﹣0.1x2
解得：x≥150或x≤﹣200
又x∈（0，240）
∴，
∴生产者不亏本时的最低产量为150台，
故答案为：150．
29．
【详解】设 ，则 ，由题意可得 故当 时， 由不等式 ，可得 ，或
求得 ，或 故答案为（
30．
【分析】根据题意，求得是的一个零点，故只需在上没有零点，列式求解即可得到结果.
【详解】令，
因为，则，
所以，即1是函数的零点，
因为函数的对称轴为，
所以根据题意，若函数有且只有一个零点，
则二次函数在上没有零点，结合可得
或，解得.
故答案为：
【点睛】本题由函数零点个数求参数范围，涉及二次函数零点问题，属综合基础题.
31． t≤-2
【分析】由不等式的解集是结合一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的解集的关系可得是的两根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范围.
【详解】由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，
所以，
所以不等式可化为，
令 ，由二次函数的性质可知在上单调递减，则的最小值为，所以，
故答案为：4，.
32．（1）；（2）
【分析】
（1）利用分式不等式解法即可求得该不等式解集为；
（2）对分段函数进行分情况讨论解不等式即可得不等式的解集为.
【详解】
（1）将不等式化为，
即，解得，
即不等式的解集为．
（2）由题意知或；
解得；
故原不等式的解集为.
33．
【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得a值，代入所求，根据分式不等式的解法，即可求得答案.
【详解】由题意得为方程的两根，
所以，解得.
故原不等式为，等价于，
解得：或
所以不等式的解集为.
34．（1）；（2）.
【分析】（1）先求出b、c，再利用单调性求最小值；
（2）用分离参数法，只需求出的最小值即可.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，解得，
所以，令，，则，
所以函数在上单调递增，所以，所以的最小值为．
（2）由（1）可知，，因为当时，函数的图象恒在直线的上方，
所以当时，恒成立，即当时，恒成立．
令，易知函数在上的最小值为，
所以，故实数的取值范围为．
【点睛】（1）单调性法求最值是求值域最常用的方法；
（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.
35．（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【详解】（1）易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
（2）对方程 ，
当时，
即时,不等式的解集为
当时，
即或时,
的根为，
不等式的解集为；
综上可得，时,不等式的解集为，
或时，不等式的解集为.
36．分类讨论，答案见解析
【解析】原不等式可化为(4x＋a)(3x－a)＞0，讨论－和的大小即可得解.
【详解】原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝．
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为．
37．详见解析.
【分析】分类讨论，求不等式的解集即可.
【详解】原不等式变形为．
①当时，；
②当时，不等式即为，
当时，x或；
由于，于是
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
38．答案见解析
【分析】依题意可得，不等式可化为，对参数进行分类讨论可得结论.
【详解】将代入方程，解得，故；
易知不等式，即可得，
即．
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为．
39．(1)
(2)
【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将题目问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则，解得．
综上可得：实数的取值范围是．
（2）有以下两种方法：
方法一：
由得：，即.
因为，
所以．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
则当时，函数在上取得最小值，最小值为，
所以只需即可．
所以的取值范围是．
方法二：
由，得，即.
令，
当时，在上是增函数，
则，解得，
所以；
当时，恒成立；
当时，在上是减函数，
则，解得，
所以．
综上所述，的取值范围是．
40．(1)
(2)0.6元/kw•h
【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可；
（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
【详解】（1）设下调后的电价为x元/kw•h，
依题意知用电量增至，电力部门的收益为
（2）依题意有，
整理得，
解此不等式得，
答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．
41．（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）根据题意将不等式转化为，分类讨论求解一元二次不等式即可；
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后利用基本不等式求出最值即可．
【详解】（1），所以
所以
等价于
①当时，即时，不等式的解集为
②当时，即时，不等式的解集为
③当时，即时，不等式的解集为
（2）因为，，
所以
显然：由时不等式恒成立，
可知；
当时，，
令，
（当且仅当即时取等号），
所以，又因为
所以.
【点睛】方法点睛：解答不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立
42．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数关系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，即t≥，x ．
试题解析：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），
∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系知，
解得b=-12，c=10，∴
（2）不等式f（x）≤2+t 在[1，3]有解，
等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，
只要t≥即可，
不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，3]上单调递减
∴g（x）≥g（3）=-10，
∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）
【点睛】不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题．
43．乙种车型有超速现象.
【分析】已知两车刹车距离的范围，由刹车距离和车速的函数关系，解不等式求车速范围，即可得结果.
【详解】因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，即，解得或（舍去），即，当时，，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，即，解得或（舍去），即，因此乙种车型有超速现象.