2025年新高考数学高频考点+重点题型专题05函数的概念及表示含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题05函数的概念及表示含解析答案，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
5．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
8．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
9．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
14．下列所给图象是函数图象的个数为( )

A．1B．2
C．3D．4
15．设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
16．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
17．下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A．B．C．D．
18．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
19．对任意x∈R，存在函数f（x）满足（ ）
A．f（csx）＝sin2xB．f（sin2x）＝sinx
C．f（sinx）＝sin2xD．f（sinx）＝cs2x
20．如图，在正方形ABCD中，|AB|=2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动：点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t（单位：秒），△AMN的面积为f（t）（规定A，M，N共线时其面积为零，则点M第一次到达点A时，y=f（t）的图象为（ ）
A．B．
C．D．
21．函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
22．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1B．2C．3D．－1
二、多选题
24．下列函数求值域正确的是（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．的值域为
D．的值域为
25．已知函数，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上是减函数
D．若关于的方程有两解，则
26．(多选题)已知定义域内的函数f(x)满足：f(f(x))－x>0恒成立，则f(x)的解析式不可能是（ ）
A．f(x)＝B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x2D．f(x)＝lg
27．已知函数令，则下列说法正确的是（ ）
A．B．方程有3个根
C．方程的所有根之和为－1D．当时，
28．（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
29．已知，则满足的关系有（ ）
A．B．
C．D．
30．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是
三、填空题
31．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
32．函数的定义域是 ．
33．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ；
34．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是
35．函数的值域为 .
36．函数的值域为 ．
37．函数的最小值为 .
38．求下列函数的解析式
（1）已知，则 ．
（2）已知是三次函数，且在处的极值为0，在处的极值为1，则 ．
（3）已知的定义域为，满足，则函数 ．
（4）已知函数是偶函数，且时，则时， ．
39．已知函数，若且，则的取值范围是 ．
40．设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
41．设函数则满足的x的取值范围是 .
42．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是 .
43．函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有 个元素.
44．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 .
45．已知，则函数 ，= ．
四、解答题
46．已知函数，，求与的解析式.
47．已知函数，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.
48．某农家小院内有一块由线段OA，OC，CB及曲线AB围成的地块，已知，点A，B到OC所在直线的距离分别为1 m，2 m， ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，已知曲线OAB是函数的图象，其中曲线AB是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）P是函数的图象上的动点，现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN及其内部）种植蔬菜，求种植蔬菜区域的最大面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零，分母不为零，得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为
故选：A
2．B
【分析】本题考查利用求解二次不等式确定函数的定义域，和集合的并集运算，关键是求解不等式从而确定A中函数的定义域，从而得到集合，进而与集合B求并集.
【详解】由已知条件得，
解得，故集合.
又，则，
故选：B.
3．A
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，解得，即可知选项A正确.
【详解】由抽象函数的定义域可知，
，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选A.
4．B
【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
5．C
【分析】先求出集合，然后进行交集的运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，正确解题的关键是利用对数的性质和偶次根式的条件求解集合，理解交集的定义.
6．B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
7．D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
8．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
9．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
10．A
【分析】根据在R上单调递增可求解.
【详解】易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，
故不等式的解集为.
故选：A．
11．A
【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解.
【详解】因为，
当时，，
此时等价于，
所以，解得：，不满足，舍去；
当时，，
此时等价于，
所以，解得：，符合题意，
综上可得：，
故选：A．
12．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
13．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
14．B
【分析】根据函数的定义，结合图象判断，任意的一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应．
【详解】①中当时，每一个的值对应两个不同的值，因此不是函数图象，
②中当时，的值有两个，因此不是函数图象，
③④中每一个的值对应唯一的值，因此是函数图象，
故选
【点睛】本题考查了函数的概念，在判定是否为函数时要根据其概念，对于定义域内的每一个变量都有唯一确定的函数值与之对应，结合图象即可判断，较为基础．
15．B
【分析】利用函数的定义即可得到结果.
【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).
16．C
【分析】利用基本不等式：，即可求出其值域.
【详解】当时，，（当且仅当，即时取等号），
的值域为.
故选：.
【点睛】本题考查对勾函数的值域.属于基础题.利用基本不等式时需注意：一正二定三相等.缺一不可.
17．B
【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.
【详解】的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.
故选：B.
18．D
【分析】令为，则，然后与联立可求出
【详解】令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
19．D
【分析】根据题意，对任意x∈R，存在函数f（x）满足，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，取x=,则csx=,sin2x=1,∴f()=1；
取x=,则csx=,sin2x=-1,∴f()=-1；
∴f()=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x=,则sinx=,sin2x=1,∴f()=1；
取x=,则sinx=,sin2x=-1,∴f()=-1；
∴f()=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于D选项，
∵,
∴f（sinx）＝cs2x＝，
即对任意x∈R，存在函数f（sinx）＝cs2x，
只有D选项满足题意.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.
20．A
【分析】根据题意，写出的解析式，根据解析式分析选项可得答案．
【详解】①0≤t≤1时，
f（t）=；
②时，
；
③时，
；
④时，
；
所以，其图象为选项A中的图象，
故选：A．
21．D
【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解.
【详解】由题意可得的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，
若，所以，可得，
由可得，解得：，
所以，
故选：D.
22．C
【分析】由题意可首先列方程组求出，从而可只用表示出，进一步结合已知得关于的不等式组即可求解.
【详解】由已知得，解得，
又，所以.
故选：C.
23．A
【分析】先求出g（1）=a-1，代入f[g（1）]=1，得到|a-1|=0，问题得解.
【详解】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.
【点睛】本题考查了零指数幂的应用，任意非零数的0次幂等于1，考查了指数的性质，和已知解析式求函数值，属于基础题.
24．CD
【解析】去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A；
讨论和，利用基本不等式求值域可判断选项B；利用单调性即可判断选项C；定义域为，将两边平方可得，
由于，可得，求出的范围即可求值域，可判断选项D.
【详解】对于选项A：原函数化为，
其图象如图，原函数值域为，故选项A不正确，
对于选项B：，定义域为，
当时，，此时，
所以，当且仅当即时等号成立，
当时，，此时，当且仅当即时等号成立，
所以函数值域为，故选项B不正确；
对于选项C：的定义域为，
，
因为与均在上是增函数，所以在上是增函数，又在上恒不等于，
则在上是减函数，则的最大值为，
又因为，所以的值域为，故选项C正确；
对于选项D：的定义域为，
，
设，则，，，
则，的值域为，故选项D正确，
故选：CD
【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法
（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；
（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数值域为；
（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；
（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；
（5）换元法：对于一些无理函数如，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；
（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如，，以及绝对值三角不等式等；
（7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用；
（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；
（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如
的函数求值域，均可使用配方法；
（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；
（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
25．ABD
【分析】根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：由题意得：，
所以，故A正确；
对于B：当时，，解得a=1，不符合题意，舍去
当时，，解得，符合题意，故B正确；
对于C：做出的图象，如下图所示：

所以在上不是减函数，故C错误；
对于D：方程有两解，则图象与图象有两个公共点，
如下图所示

所以，故D正确.
故选：ABD
26．ACD
【解析】根据选项中具体的函数解析式，求得，结合特值，即可判断.
【详解】A中，f(f(x))＝f＝x(x≠0)恒成立，所以f(f(x))－x>0不恒成立，A正确；
B中，因为ex>x，所以>ex>x，所以f(f(x))>x恒成立，B错误；
C中，f(f(x))＝x4＝x，此方程有x＝0或x＝1两个根，所以f(f(x))－x>0不恒成立，C正确；
D中，x＝0时，f(f(x))＝x成立，所以f(f(x))－x>0不恒成立，D正确.
故选：.
【点睛】本题考查函数的嵌套，涉及常见函数增长率的问题，属综合基础题；注意特值法的应用.
27．ACD
【分析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D．
【详解】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确；
对于B选项，令，则求的根，即求的根，
因为方程没有实根，
所以没有实根，所以选项B错误；
对于C选项，令，则方程，即，
得，，由方程得或，
解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确；
对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，
当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确，
故选：ACD．
【点睛】方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解．
28．AD
【分析】通过换元法、三角函数方程以及指数函数方程即可逐一证明或者举反例判断.
【详解】对于A，令，符合函数定义；
对于B，令，设，一个自变量对应两个值，不符合函数定义；
对于C，设，当，则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；
对于D，令，符合函数定义．
故选：AD.
29．BD
【分析】根据函数的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】因为，
所以==，即不满足A选项；
==，=，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项．
故选：BD
30．BC
【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，
求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域.
31．
【分析】令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域.
【详解】令，
则，
在上单调递增，，，，
的定义域为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知的定义域，求解定义域的基本思路为：的值域即为的定义域.
32．
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
33．
【分析】由题意得恒不为零，由此可得，解一元二次不等式即可求解.
【详解】的定义域为R，则恒不为零，即没有实数根，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
34．
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
35．
【分析】当时，；当时，，可得值域
【详解】当时，；当时，，故函数的值域为.
【考点定位】本题考查了指数函数、对数函数和值域，求函数的值域可以利用函数的单调性，也可以利用函数的图象求.
36．
【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解.
【详解】令，因为，所以，则，
所以原函数可化为，其对称轴为，
所以函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
37．1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
38．
【分析】（1）第一空可用换元法设，从而进一步代入即可求解；
（2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组，解方程组即可得解；
（3）构造函数方程组即可求解；
（4）由题意得，注意到时，则有，从而即可进一步求解.
【详解】（1）设，则，
代入原式有.
故.
（2）设，则，
由题意得，即，解得，
所以，经检验，符合，.
（3）用代替中的x，得，
由，消去，解得．
（4）由函数是偶函数，可得图象关于直线对称，
所以.
设，则，所以=，
因为，所以.
故答案为：；；；.
39．
【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．
【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，
且，则，，
由得（负值舍去），因此，
，，，
，
所以时，取得最大值，时，取得最小值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
40．②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
41．
【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
42．
【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
43．3
【分析】利用数形结合分别求出集合与集合，再利用交集运算法则即可求出结果.
【详解】若，则或或1，∴，
若，则或2，∴，
∴.
故答案为：3.
44．.
【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再根据不等式恒成立，结合二次函数的图象与性质可得，解不等式可得a的取值范围.
【详解】的定义域为R，则恒成立，所以，所以实数a的取值范围为.
45． 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
46．，.
【分析】分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式；分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式.
【详解】，.
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，得，则；
当时，得，则.
综上所述，，.
【点睛】本题考查复合函数解析式的求解，要注意对分段函数的定义域进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
47．（1），；（2）.
【解析】（1）考查了函数解析式的求解，需要采用换元法，设，表示出，再写出，最后换元成即可；（2）有实根，转化为，所以需要求函数的值域，再解不等式.
【详解】解：（1）设，因为，所以；
且，所以，
所以，；
（2）设，，，
所以当时函数有最小值，而，，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用的范围解不等式即可，需要注意定义域的限制.
48．（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，当时，得到，又由曲线是函数的图象的一部分，列出方程组，求得当时，，即可求解；
（2）由点在线段上时，可设，得出的方程为，求得，得到，当点在曲线上时，得到的方程为，求得，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）因为点到所在直线的距离为，且，
所以点的坐标为，且当时，．
因为点到所在直线的距离为，，，
所以点的横坐标为，所以．
因为曲线是函数的图象的一部分，所以，解得，
所以当时，，
所以．
（2）由（1）可知，因为，所以，
当点在线段上时，可设，．
此时直线的方程为，令，可得，所以，
所以．
当点在曲线上时，设，．
此时直线的方程为，令，可得，所以，
所以，，令，则，
令，，
则，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
因为，所以当，即时，种植蔬菜区域的面积最大，最大面积为．
【点睛】对于导数的实际应用问题的求解方法：
1、认清所给函数的模型，以及哪些量为待定系数，若实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模.
2、求解函数模型中函数关系式的单调性，若含参数时，要讨论参数的大小；
3、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
4、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.