2025年新高考数学高频考点+重点题型专题08二次函数及幂函数含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题08二次函数及幂函数含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为
A．B．C．D．
2．已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－4，2)B．(－2，4)
C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
4．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
6．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=lgax的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．或1
8．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
11．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)D．(－∞，2)
12．已知函数.若,则( )
A．B．C．D．
13．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8B．k≥4C．k≤-8或k≥4D．-8≤k≤4
14．已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
15．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是
A．f(bx)≤f(cx)B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)D．与x有关，不确定
16．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
17．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)
18．已知函数，且，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
19．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．已知且，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
21．若函数f(x)=x2-|x|-6，则f(x)的零点个数为
A．1B．2C．3D．4
22．若，则，，的大小关系是（ ）
A．B．；
C．；D．．
23．已知，若时，，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数在（﹣∞，0]是单调函数，则的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，则的值为（ ）
A．-1B．2C．0D．1
26．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）
A．-1或1B．
C．或1D．或1或-1
28．当时,若函数的图像与的图像有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
29．已知等式，，成立，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中可能成立的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（5）C．（3）（4）D．（4）（5）
30．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数没有零点的充要条件是
B．命题“，”的否定是“，使得”
C．若，则
D．三个数，，之间的大小关系是
31．下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
32．已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是
33．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
34．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
35．若函数在上有最大值4，则的值为 ．
36．已知函数，在区间上恒成立，则k的取值范围为 ．
37．已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
38．若二次函数的最小值为，则的取值范围为 ．
39．幂函数的图象过点，则 .
40．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是 .
四、解答题
41．设函数，其中.讨论的单调性；
42．已知函数在区间，上的最大值为5，最小值为1．
（1）求，的值及的解析式；
（2）设，若不等式在，上有解，求实数的取值范围．
43．已知函数（）．
（1）若函数的最小值是，且，，求的值；
（2）若，，且在区间上恒成立，试求b的取值范围．
44．已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】由幂函数定义，代入点的坐标即可.
【详解】设，依题意可得，，
.所以，.
故选: D.
【点睛】此题考查幂函数的定义，属于基础题.
2．A
【解析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
3．C
【分析】根据二次函数的图像特点，可得f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，则另一个根为－4，从而得到结果.
【详解】依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，
方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.
因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4.
故本题答案为C.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的图像开口向上有极小值，也是最小值，开口向下有极大值，也是最大值，这是解题的关键，属基础题.
4．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
5．D
【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
【详解】设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
6．D
【分析】结合对数函数和幂函数的图像和性质，分成01时两种情况，讨论函数y=xa(x>0)与y=lgax的图像，对照后可得答案.
【详解】由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=lgax.
对于选项A，没有经过（1,1）的图像，故没有幂函数的图像.故A错误;
对于选项B，由过（1,0）的图像为对数函数的图像得：00)的图象知a>1，矛盾.故B错误;
对于选项C，由y=xa(x>0)的图象知01，矛盾.故C错误;
对于选项D，由y=xa(x>0)的图象知0故选：D
7．A
【解析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.
【详解】是幂函数，，解得或1，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，符合题意，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，不符合题意，
.
故选：A.
8．D
【分析】从函数的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】幂函数定义域为R，选项C不满足；
，有，即是偶函数，选项B不满足；
因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足，
显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D.
故选：D
9．C
【分析】由指数函数和幂函数的单调性分别判断可得出大小关系.
【详解】因为，，所以，
故选:C.
【点睛】本题考查指对幂函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力与数形结合思想,属于中档题.
10．A
【解析】由幂函数的定义即可求解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较，，的大小.
【详解】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函数，
∴，，而，即，
故选：A
11．A
【分析】讨论二次函数的对称轴和区间的位置关系，即可容易求得结果.
【详解】二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为x＝，
当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2，
当k<0时， <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，
则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．
综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
故选：A.
【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数范围，属基础题.
12．B
【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解；
【详解】由题意可知，因为，所以函数的对称轴为，
即，又因，故二次函数的开口向下，即，
故选: B.
13．C
【解析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【详解】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
14．D
【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项.
【详解】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
15．A
【分析】由f（1+x）＝f（1﹣x）推出函数关于直线x＝1对称，求出b，f（0）＝3推出c的值，x≥0，x＜0确定f（bx）和f（cx）的大小．
【详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，
∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．
∴f（3x）≥f（2x）．
故选A．
【点睛】本题是中档题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题．
16．D
【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解.
【详解】因为开口向上，最小值为，
，
则，
的解集为，所以是的两个不等实根，
即是的两个不等实根，
所以，则，
.
故选：D.
17．A
【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，然后求函数f（x）＝x2－4x－2在x∈(1，4)时的最大值即可
【详解】解：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，
令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为
所以f（x）＜f（4）＝－2，
所以a＜－2．
故选：A
【点睛】此题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查计算能力，属于中档题.
18．B
【分析】由得出的符号,可得抛物线的开口方向以及,根据选项逐一判断即可.
【详解】由可知，抛物线开口向上.因为，即1是方程的一个根，所以，都有，
故选:B.
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质,体现了转化思想和数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.
19．B
【分析】根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
20．C
【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案．
【详解】由得，
①若，则，且，，
根据穿根法可知或时不符合题意，舍去；
②若，要满足题意则，符合题意，如图所示；
③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾；
④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意；
综上可知满足在恒成立时，只有满足题意.
故选：C ．
21．B
【解析】直接分类讨论解方程即得．
【详解】当x>0时，x2-x-6=0，解得x=-2或x=3，∴x=3;
当x<0时，x2+x-6=0，解得x=2或x=-3，∴x=-3;
故f(x)的零点个数为2．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的零点，掌握零点的概念是解题基础．
22．B
【分析】直接感觉指数函数与幂函数的单调性进行比较大小即可.
【详解】，，
，，，
得，.
，在上单调递减.
.
综上所述：.
故选：B
23．C
【解析】根据函数的单调性，结合函数的奇偶性、对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以函数是实数集上的奇函数，
因此由，
因为函数是实数集上的增函数，所以可得，
因此问题转化在上恒成立，
，设函数，，
要想在上恒成立，只需，
而函数，在时，单调递增，因此，
所以有.
故选：C
【点睛】本题考查了函数的单调性、奇函数的性质，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了对钩函数的应用，考查了数学运算能力.
24．B
【详解】由题意可知选项A中 ,符合题意，
若 ，则对称轴,因为，直线与x轴交点坐标为（）所以选项B不符合题意，故选B
25．B
【解析】根据函数是幂函数可得或2，再由题可得函数是增函数，即可得出结果.
【详解】是幂函数，，解得或2，
对任意的且，满足，
在单调递增，，即，
.
故选：B.
26．D
【分析】将点代入函数得，再通过比较自变量大小，结合函数单调性即可比较大小.
【详解】由题可得：，解得：
所以
因为，，.
又，
所以
由在上递增，可得：.
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了幂函数单调性，解题的关键是比较自变量的大小，属于基础题.
27．A
【分析】对对称轴分三种情况、、讨论，即得解.
【详解】，对称轴是，
当即时，，所以，
当即时，，所以，舍去；
当即时，，所以，舍去.
综上，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
28．B
【分析】由两函数解析式分析可得，，，以两函数在出的交点情况进行分类讨论，结合图像，即可求解
【详解】函数为二次函数,
在区间 为减函数,在区间为增函数，；
函数，是斜率为1的增函数.
当时,又因为为正实数,
，；
要使的图像与的图像有且只有一个交点,结合图像
当时，即时，满足，，解得，
故；
当时，即时，满足，，解得，故；
综上所述：正实数的取值范围为
故选：B
【点睛】本题考查有两函数交点个数求解参数范围问题，解题关键在于数形结合与分类讨论，属于中档题
29．AB
【解析】依题意，可设，，结合指数函数的性质，分，及讨论即可得解．
【详解】设，则，，
当时，，故（1）正确；
当时，，故（2）正确；
当时，，故（5）正确；
故选：AB.
【点睛】本题考查对数式与指数式互化以及利用幂函数的单调性比较大小的问题，本题也可以采用数形结合法来处理，是一道中档题.
30．BD
【解析】利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；利用全称命题的否定可判断B选项的正误；由指数函数的单调性可判断C选项的正误；利用中间值以及幂函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若二次函数没有零点，则，A选项正确；
对于B选项，命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，使得”，B选项错误；
对于C选项，，则，，C选项正确；
对于D选项，，，，D选项错误.
故选：BD.
31．BD
【分析】对于A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断.
【详解】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；
对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；
对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；
对于 D选项：因为函数的值域为，
所以当时，，满足其值域为，
当时，需且，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确，
故选：BD.
【点睛】本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题.
32．f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【分析】分别利用二次函数的一般式、顶点式、零点式三种方法进行求二次函数的解析式即可得解.
【详解】法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f（2）＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝.
因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4，
所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
33．
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
34．-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
35．
【分析】化简函数，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
①当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去；
②当时，函数在区间上是单调递增函数，
此时最大值为，解得；
③当时，函数在区间上是单调递减函数，
此时最大值为，解得，不符合题意，舍去．
综上可知，的值为.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及二次函数的最值问题，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
36．
【分析】由在区间上恒成立，令即有即可，可求k的范围
【详解】由题意得在区间上恒成立．
设，
则在上递减．
∴
∴
故的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次不等式在某区间内恒成立求参数范围，首先参变分离，并构造新函数，根据不等式恒成立确定参数或进而求得参数范围
37．
【分析】分类讨论，当时，分析得到，即；当时，，综合即得解.
【详解】当时，，
∵开口向下，对称轴为，在对称轴的左边单调递增，
∴，解得：；
当时，是以2为底的对数函数，是增函数，故；
综上所述，实数的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查二次函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
38．
【分析】结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得正确答案.
【详解】由于二次函数的最小值为，
所以且，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．
【解析】设，由已知得出，求出实数的值，进而可求得的值.
【详解】设幂函数（为常数），
幂函数的图象过点，，解得，
，因此，.
故答案为：.
40．
【解析】利用已知条件判断函数的对称轴与单调性的关系，列出不等式求解即可.
【详解】函数，
若对于区间内的任意两个不等实数，，
都有，
即，
可得：函数在区间上是增函数，
二次函数的对称轴为：，
可得：，
解得：，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由已知条件得到，分析出函数在区间上是增函数，是解决本题的关键.
41．的减区间为，增区间为；
【分析】先确定定义域，求导可得，由题意可得求得，故可得极值点，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；
当时，；
所以的减区间为，增区间为.
42．（1），，；（2）.
【解析】（1）解关于，的方程组，求出，的值从而求出函数的解析式即可；
（2）问题转化为在，上有解，通过换元法求出的范围即可．
【详解】解：（1）由及条件，可得，
解得，．故
（2）由（1）可得，
于是题设条件得在，上有解，
即在，上有解，
令，，，，
则在，上有解
当，时，，，于是，
因此，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查换元思想，属于中档题．
43．（1）；（2）．
【解析】（1）求出，得的表达式，直接计算；
（2）问题转化为在上恒成立，分离参数为且在上恒成立．求出相应函数的最值后可得的范围．
【详解】（1）由已知，，
且，解得，，
，.
．
（2），原命题等价于在上恒成立，
即且在上恒成立．
又的最小值为0，的最大值为-2．
．故b的取值范围是．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，考查不等式恒成立问题，解题关键是把不等式恒成立转化为求函数的最值．
44．（1）；（2）存在，.
【解析】（1）设，将点代入即可求解.
（2）由（1）可得，，讨论二次函数的对称轴，由二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）∵是幂函数，∴设，
∵点在幂函数的图像上，∴，
∴.
（2），，
①当即时，.
②当即时，；
③当即时，（舍去）
综上所述，存在.