2025年新高考数学高频考点+重点题型专题13函数与数学模型含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题13函数与数学模型含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
2．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
4．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是
A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元
5．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）
A．1800B．1000C．790D．560
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
8．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A．104倍B．105倍C．106倍D．107倍
9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
12．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 hB．4 hC．3 hD．2 h
13．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
14．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
15．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（ ）
A．60安B．240安C．75安D．135安
16．已知声音强弱的等级 (单位：dB)由声音强度(单位：)决定．科学研究发现，与成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为声音强弱的等级为；某动物发出的鸣叫，声音强度为，声音强弱的等级为．若某声音强弱等级为90dB，则声音强度为（ ）
A．0.001B．0.01C．0.1D．1
17．某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
18．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数的10倍表示声强的声强级，单位是“分贝”，即声强的声强级是（分贝）.声音传播时，在某处听到的声强与该处到声源的距离的平方成反比，即（为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于）的位置到声源的最大距离为（ ）
A．100米B．150米C．200米D．米
19．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位ml/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位ml/L，记作）的乘积等于常数．已知pH的定义为，健康人体血液的pH保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据： ， ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
21．（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）
A．6B．9C．8D．7
22．如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且，．则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
23．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足
三、填空题
24．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
25．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元．(用数字作答)
26．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时．
27．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为
①第天的销售利润为 元;
②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是 ．
28．要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
29．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时．
30．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有 个．
四、解答题
31．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
32．某公司为了实现年销售利润万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额(单位：万元)随销售利润 (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过万元，同时奖金数额不超过销售利润的.现有三个奖励模型：，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．
参考数据：，，
33．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型：，，．
（1）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
（2）在同一直角坐标系下画出函数与的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
34．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后与之间的函数关系式；
(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用
电量(单
位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/
千瓦时)
低谷月用
电量(单位：
千瓦时)
低谷电价
(单位：元/
千瓦时)
50及以下
的部分
0.568
50及以下
的部分
0.288
超过 50 至
200 的部分
0.598
超过 50 至
200 的部分
0.318
超过200
的部分
0.668
超过 200
的部分
0.388
参考答案：
1．D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．B
【详解】试题分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.
考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力.
3．D
【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.
4．C
【详解】试题分析：根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．
解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，
乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，
共获利40+80=120万，
故选C
考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
5．D
【分析】依题意，可得到绿化面积与原绿化面积之比的解析式，利用函数的性质即可得到答案．
【详解】设某地区起始年的绿化面积为，
该地区的绿化面积每年平均比上一年增长，
经过年，绿化面积，
绿化面积与原绿化面积之比为，则，
为底数大于1的指数函数，故可排除，
当时，，可排除，；
故选：．
【点睛】本题考查函数的图象，着重考查指数函数的性质，考查理解与识图能力，属于中档题．
6．C
【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；
【详解】解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
故选：．
【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．
7．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
8．C
【分析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，
由题意得
解得
∴
故选：C
9．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
10．B
【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
11．B
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案
【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
12．C
【详解】由题可知，细菌需要分裂n=lg24096=12次，故总时间为t=12⋅15min=3h．
故本题正确答案为C．
13．B
【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
14．B
【详解】设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．
15．D
【分析】根据题意，设出函数解析式，待定系数求得解析式，再代值计算即可.
【详解】设比例系数为k，则电流强度I=kr3，
由已知可得当r=4时，I=320，
故有320=43k，解得k==5，
所以I=5r3，
则当r=3时，I=5×33=135(安).
故选：.
【点睛】本题考查函数模型的应用，属简单题.
16．A
【分析】设，代入两点坐标即可得到函数表达式，进而解方程可得结果.
【详解】解析依题意，设将代入，
,
解得，
故.
令，
解得x=0.001.
故选：A
17．B
【分析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选：B.
18．B
【分析】根据题设中的条件，列出方程，求得实数的值，再由题设中的条件，即可求解.
【详解】由题意知，解得，
又由，可得，
根据人耳能听到的足校声强为，
所以米.
故选：B.
19．C
【详解】由题设有，又 ，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．
点睛：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．
20．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
21．BC
【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.
【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，
故选BC．
【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.
22．BCD
【分析】由题意结合函数图象可得，进而可得；由函数图象的类型可判断A；代入可判断B；代入、可判断C；代入、、，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.
【详解】由题意可知，函数过点和点，则，
解得（负值舍去），
函数关系式为，
对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；
对于B，当时，，故选项B正确；
对于C，令得；令得，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项C正确；
对于D，令得；令得；令得；
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.
23．ABC
【分析】结合函数性质与图象逐项分析即可得.
【详解】由函数及在定义域内都为减函数，
且，故随着的增加而减少，故A正确；
结合图象及指数函数的性质可得第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确；
当时，，则，
即9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故C正确；
，故D错误．
故选：ABC.
24．①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
25．
【分析】不论高峰和低谷，电费都是分段来计算的，分别计算出该家庭高峰和低谷时间段的电费，然后相加，即可求得应付电费的值.
【详解】在高峰时段，用电费用为，
低谷时段用电费用为，
故总的费用为元
故答案为：
【点睛】本小题主要考查实际生活中电费问题.主体问题分为个部分，高分期和低谷期.每个部分的费用是分段来收取的.通过计算每一段的费用，最后求出总的费用，属于基础题.
26．24
【分析】结合题意可得，计算即可得，则将代入计算即可得.
【详解】由题意得，即，
所以该食品在的保鲜时间是：
．
故答案为：24.
27． 1232 5
【解析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；
②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出．
【详解】①因为，，所以该天的销售利润为；
②设捐赠后的利润为元，则，
化简可得，．
令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，
，解得．
故答案为：①1232；②5．
【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．
28．160
【分析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，
所以总造价
当且仅当的时区到最小值
则该容器的最低总造价是160.
故答案为：160.
29．24
【分析】根据题意建立方程组，进而解出和的值，然后将代入函数，即可求得答案.
【详解】由题意：，
将和代入函数，可得：，
两式作商，得，即，同时，
再将入函数，得．
故答案为：24．
30．4
【分析】由题意列出关于的方程，再解不等式即可得解.
【详解】设要同时开放x个窗口才能满足要求，，
由，解得，
所以由，得，解得，
故至少同时开放4个窗口才能满足要求．
故答案为：4.
31．(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
∴；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
32．奖励模型能完全符合公司的要求．
【分析】由题意，当时，模型需同时满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③，对，，三个函数逐一分析即可．
【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过；③；
对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求；
对于，易知满足①，，故当时，不满足公司的要求；
对于，易知满足①，当时，，
下面证明．
，
，满足②，
再证明，即，
设，则，，
在上为减函数，，满足③，
综上，奖励模型能完全符合公司的要求；
33．（1）甲、乙两个工厂今年5月份的利润均为86万元．
（2）见解析
【分析】（1）先根据条件结合函数模型，求得函数，进而再求相应的函数值．
（2）一个二次函数型，一个是指数函数型，可按照提供的几个已知点，结合模型特点作出图象，根据图象找出相等点来，图象在上方的为利润大，在下方的为利润小．
【详解】（1）依题意：由，有，解得：a1＝4，b1＝﹣4
∴f(x)＝4x2﹣4x+6；
由，有，
解得：
∴．
所以甲在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，
乙在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，
故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．
（2）作函数图象如图所示：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1＜x＜5时，有f(x)＞g(x）；
当5＜x≤12时，有f(x)＜g(x)；
【点睛】本题考查了解应用题的基本思路：先根据相关条件建立模型，再应用模型，特别在第二问，又将图象引入，两个模型的优劣一看就知，考查了数学建模思想及数形结合思想，属于中档题．
34．(1)
(2)小时
【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数的解析式，由此可得出函数的解析式；
（2）解不等式，即可得解.
【详解】（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时；
当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．
综上，.
（2）解：当时，由，可得；
当时，由，可得.
所以，不等式的解集为.
因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．