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2025年新高考数学高频考点+重点题型专题14导数概念及运算含解析答案
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这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题14导数概念及运算含解析答案，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
2．英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
3．已知f1(x)＝sinx＋csx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝（ ）
A．－sinx－csxB．sinx－csx
C．－sinx＋csxD．sinx＋csx
4．已知函数的导函数是，且满足，则（ ）
A．-eB．2C．-2D．e
5．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
7．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
8．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
9．过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A．B．C．1D．2
10．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（ ）
A．B．1
C．D．2
12．函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
13．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是
A．B．
C．D．
16．已知函数，若，则（ ）
A．36B．12C．4D．2
17．设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
18．若，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
19．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：cm）关于时间（单位：s）的函数为，当时，水面下降的速度为（ ）
A．B．C．D．
20．设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于，其中，是的导数，则商品价格的取值范围是（ ）
A．(0，10)B．(10，20)
C．(20，30)D．(20，＋∞)
21．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
23．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B．C．D．
24．记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．与的交点可能在第三象限
27．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A．B．C．D．
30．已知，，记，则
A．的最小值为B．当最小时，
C．的最小值为D．当最小时，
31．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题
32．设函数．若，则a= ．
33．设函数，则
34．已知函数，为的导函数，则的值为 .
35．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
36．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则 .
37．已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为 .(注)
38．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
39．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
40．已知函数与，若曲线和恰有一个公切点，则的最大值是 ．
41．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
42．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
43．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是 .
44．若，则 .
45．焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则的取值范围是 ．
46．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论计算 ．
47．请写出与曲线在点处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 ．
48．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为 .
四、解答题
49．（1）求曲线过原点的切线方程；
（2）已知在R上可导，，求的值．
50．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
51．已知函数，和直线m：，且．
求a的值；
是否存在k的值，使直线m既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.
【详解】，则，
则，
故选：C
2．B
【分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选：B.
3．C
【分析】根据正弦函数、余弦函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解.
【详解】∵f1(x)＝sinx＋csx，∴f2(x)＝f1′(x)＝csx－sinx，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－csx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－csx＋sinx，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋csx，∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2022(x)＝f2(x)＝csx－sinx.
故选：C
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.
4．B
【解析】首先求导得到，从而得到，，再计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，解得.
所以，.
故选：B
5．B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
8．D
【分析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.
【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，
设直线与曲线相切的切点，而，则，得，
即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，
设直线与曲线相切的切点P，有，由得，
从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
9．C
【分析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.
【详解】抛物线，即，则由切线斜率，
设切点，则，又，
所以切线方程为，即 ，
同理切线方程为，
两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，
故.
故选：C.
10．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
11．B
【分析】求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
12．B
【分析】由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围.
【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.
在上有解，则.
因为，所以，所以的取值范围是.
故答案为B
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解，即得的取值范围.
13．C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
14．D
【分析】先利用导数求出切线方程，得到，直接得到.
【详解】因为，所以.
所以曲线在点处的切线的斜率为n+1，
所以曲线在点处的切线方程为，与x轴的交点为，即，
所以.
故选：D
15．C
【分析】先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{xn}．从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．进而求出数列的通项公式．
【详解】f'（x）=-e-x（csx+sinx）+e-x（-sinx+csx）=-2e-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3， ．
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q=-e-π．
其通项公式为．故选C.
【点睛】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明．是对知识的综合性考查，能力要求较高．
16．C
【分析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.
【详解】解：根据题意，，则，则，
若，则
，
则有，即，
故选：C.
17．B
【分析】利用导数的定义可得出所求极限的值.
【详解】.
故选：B.
18．D
【分析】先把等价转化为，从而导出其最终结果．
【详解】
故A，B，C错误.
故选：D．
19．B
【分析】求出函数的导函数，再求出时的导数值，即可得解；
【详解】解：因为，所以
所以
故当时，水面下降的速度为
故选：B
20．B
【分析】根据题意得，再解不等式即可
【详解】解：根据题意得，
由得，即，解得 ．
故选：B．
21．C
【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出的值，利用切线方程求出的值，进而可求得的值.
【详解】设曲线在处的切线方程为，则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，
因此，.
故选：C.
22．B
【分析】分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.
【详解】已知曲线在点处的切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，即，
由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.
23．D
【解析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
24．A
【分析】与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．
【详解】由函数，，得，，
设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，
即，得，
由于函数与有且只有一个“真实点”，
从而只有一解，故，解得b=0，此时，．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
25．D
【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.
【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，
又切线过点（2,0），可得，整理得，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
，解得或，
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.
26．ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为与互为反函数，
故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，
故，，故A正确；
由题意，，均为锐角，，，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则，
即，解得或（舍去），
故，
对于，则，令，解得，所以切点为，
所以曲线的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
同理可得的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
所以，则，则，故C正确；
由图可知点必在第一象限，故D错误.
故选：ABC.
27．ABC
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
28．BCD
【分析】根据导数的几何意义可得，即可判断选项AB，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项..
【详解】由函数的图像可知函数是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率，
所以；
故A错误，B正确；
记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知，
即.
故C，D正确；
故选：BCD
29．AC
【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.
【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”.
对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”.
对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知，
二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”.
对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
30．BC
【解析】将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论.
【详解】由，得：，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得：，
与直线平行的直线的斜率为，
则令，解得：，切点坐标为，
到直线的距离.
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.
的最小值为，
过与垂直的直线为，即.
由，解得：，即当最小时，.
故选：BC.
【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
31．BD
【分析】
由已知，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.
【详解】
因为，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正确，A错误．
，
当时，即，得，
所以，即，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误，
故选：BD.
32．1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
33．
【分析】变形函数，利用求导公式及法则求解即得.
【详解】依题意，函数，
所以.
故答案为：
34．
【分析】根据导数的乘法运算法则求导，再代入求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
35．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
36．1
【分析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.
【详解】，则
则切线方程为，
代入原点可得：，
即，解得（负根舍去）
故答案为：1
37．
【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．
【详解】解：，，
与直线平行的切线斜率，解得或，
当时，，即切点为，
此时点到直线的距离为；
当时，，即切点为，
此时点到直线的距离为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数图象上与已知直线平行的切线的切点到直线的距离.
38．
【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入可得，构造函数，求导，根据函数的单调性结合，可得，即可求解.
【详解】设点，则.又，
当时，，
曲线在点A处的切线方程为，即，
代入点，得，即，
记，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为，切线方程为，
故答案为：，
39．
【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
40．
【分析】设出公切点，利用和在公切点处函数值和导函数值分别相等，得到的表达式，求出最大值即可.
【详解】，.
设公切点为，则，，
即.
因此，
其中，
因为，所以为第一象限的角；
不妨设，因为，所以，
当且仅当时，取到最大值，
所以的最大值是，且有唯一解.
故答案为：.
41．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
42．
【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，得韦达定理，进而构造函数或，由导数求解单调性即可求解范围.
【详解】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，即.
故答案为：
43．
【分析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.
【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，
过，，三点的圆的圆心为，
圆心的纵坐标为，设，
直线与抛物线相切于点，
导数，
即在处的切线斜率，
即的斜率，即，
即，得，即，，
，
，
即，
得，
得或（舍，
解得．
，，，，
即的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】关键点点睛：设出点的坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义以及切线斜率建立方程关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
44．
【分析】
观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.
【详解】已知，对式子两边同时求导，
得，
令，得.
故答案为：240
45．
【分析】作垂直于准线于点，，当与抛物线相切时，最小，设切线方程为：与抛物线方程联立消，由可得切线的斜率，即可得最小值，然后求解范围即可.
【详解】作垂直于准线于点，，
不妨在第一象限取点，当与抛物线相切时，最小，设切点为，
又因为，设切线方程为：
与联立可得：，由可得
所以切线斜率，所以，
所以，
所以，
的取值范围是，
故答案为：．
46．
【分析】先根据题意求出在处的切线方程为，然后根据以直代曲，可以令．
【详解】函数，
则，
∴，故切线为．
∴，
根据以直代曲，也非常接近切点．
所以可以将代入切线近似代替，
即．
故答案为：，．
47．答案不唯一，或或等．
【分析】先求出曲线在点处的切线方程，进而得出答案.
【详解】，
曲线在点处的切线方程为，所有在点处的切线方程为的函数都是正确答案．
故答案为：答案不唯一，或或等
48．2
【分析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.
【详解】由题设有，化简可得即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在、上的唯一解，
又，故，
故为在的解，故即.
所以，
故答案为：2
49．（1）或；（2）0
【分析】（1）求导，根据切点是切点和不是切点，分类讨论求解，
（2）根据复合函数的求导即可求解.
【详解】（1）．设切线的斜率为k．可知原点在曲线上．
①当切点是原点时，，所以所求曲线的切线方程为．
②当切点不是原点时，设切点是，则有，
， （ⅰ）
又因为． （ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）得，
由于，所以
所以所求曲线的切线方程为．
综上，所求曲线的切线方程为或．
（2）由可得，
则
50．(1)；(2)证明见解析.
【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
51．(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0
【分析】（1）计算f′(x)，进而由f′(－1)＝0可得解；
（2）直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3＋6x0＋12)，由导数得切线斜率，进而得切线方程，带入(0,9) 得x0＝±1，再分别计算当f′(x)＝0或f′(x)＝12时的切线，进而找到公切线.
【详解】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.
即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．
∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，
设切点为(x0,3＋6x0＋12)，
∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将点(0,9)代入，得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.
即有x＝－1或x＝2，
当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.
∴公切线是y＝9.
又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0或x＝1.
当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
∴公切线不是y＝12x＋9.
综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.
【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
2．英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
3．已知f1(x)＝sinx＋csx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝（ ）
A．－sinx－csxB．sinx－csx
C．－sinx＋csxD．sinx＋csx
4．已知函数的导函数是，且满足，则（ ）
A．-eB．2C．-2D．e
5．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
7．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
8．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
9．过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A．B．C．1D．2
10．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（ ）
A．B．1
C．D．2
12．函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
13．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是
A．B．
C．D．
16．已知函数，若，则（ ）
A．36B．12C．4D．2
17．设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
18．若，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
19．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：cm）关于时间（单位：s）的函数为，当时，水面下降的速度为（ ）
A．B．C．D．
20．设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于，其中，是的导数，则商品价格的取值范围是（ ）
A．(0，10)B．(10，20)
C．(20，30)D．(20，＋∞)
21．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
23．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B．C．D．
24．记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．与的交点可能在第三象限
27．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A．B．C．D．
30．已知，，记，则
A．的最小值为B．当最小时，
C．的最小值为D．当最小时，
31．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题
32．设函数．若，则a= ．
33．设函数，则
34．已知函数，为的导函数，则的值为 .
35．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
36．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则 .
37．已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为 .(注)
38．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
39．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
40．已知函数与，若曲线和恰有一个公切点，则的最大值是 ．
41．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
42．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
43．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是 .
44．若，则 .
45．焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则的取值范围是 ．
46．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论计算 ．
47．请写出与曲线在点处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 ．
48．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为 .
四、解答题
49．（1）求曲线过原点的切线方程；
（2）已知在R上可导，，求的值．
50．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
51．已知函数，和直线m：，且．
求a的值；
是否存在k的值，使直线m既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.
【详解】，则，
则，
故选：C
2．B
【分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选：B.
3．C
【分析】根据正弦函数、余弦函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解.
【详解】∵f1(x)＝sinx＋csx，∴f2(x)＝f1′(x)＝csx－sinx，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－csx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－csx＋sinx，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋csx，∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2022(x)＝f2(x)＝csx－sinx.
故选：C
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.
4．B
【解析】首先求导得到，从而得到，，再计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，解得.
所以，.
故选：B
5．B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
8．D
【分析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.
【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，
设直线与曲线相切的切点，而，则，得，
即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，
设直线与曲线相切的切点P，有，由得，
从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
9．C
【分析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.
【详解】抛物线，即，则由切线斜率，
设切点，则，又，
所以切线方程为，即 ，
同理切线方程为，
两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，
故.
故选：C.
10．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
11．B
【分析】求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
12．B
【分析】由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围.
【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.
在上有解，则.
因为，所以，所以的取值范围是.
故答案为B
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解，即得的取值范围.
13．C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
14．D
【分析】先利用导数求出切线方程，得到，直接得到.
【详解】因为，所以.
所以曲线在点处的切线的斜率为n+1，
所以曲线在点处的切线方程为，与x轴的交点为，即，
所以.
故选：D
15．C
【分析】先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{xn}．从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．进而求出数列的通项公式．
【详解】f'（x）=-e-x（csx+sinx）+e-x（-sinx+csx）=-2e-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3， ．
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q=-e-π．
其通项公式为．故选C.
【点睛】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明．是对知识的综合性考查，能力要求较高．
16．C
【分析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.
【详解】解：根据题意，，则，则，
若，则
，
则有，即，
故选：C.
17．B
【分析】利用导数的定义可得出所求极限的值.
【详解】.
故选：B.
18．D
【分析】先把等价转化为，从而导出其最终结果．
【详解】
故A，B，C错误.
故选：D．
19．B
【分析】求出函数的导函数，再求出时的导数值，即可得解；
【详解】解：因为，所以
所以
故当时，水面下降的速度为
故选：B
20．B
【分析】根据题意得，再解不等式即可
【详解】解：根据题意得，
由得，即，解得 ．
故选：B．
21．C
【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出的值，利用切线方程求出的值，进而可求得的值.
【详解】设曲线在处的切线方程为，则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，
因此，.
故选：C.
22．B
【分析】分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.
【详解】已知曲线在点处的切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，即，
由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.
23．D
【解析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
24．A
【分析】与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．
【详解】由函数，，得，，
设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，
即，得，
由于函数与有且只有一个“真实点”，
从而只有一解，故，解得b=0，此时，．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
25．D
【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.
【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，
又切线过点（2,0），可得，整理得，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
，解得或，
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.
26．ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为与互为反函数，
故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，
故，，故A正确；
由题意，，均为锐角，，，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则，
即，解得或（舍去），
故，
对于，则，令，解得，所以切点为，
所以曲线的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
同理可得的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
所以，则，则，故C正确；
由图可知点必在第一象限，故D错误.
故选：ABC.
27．ABC
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
28．BCD
【分析】根据导数的几何意义可得，即可判断选项AB，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项..
【详解】由函数的图像可知函数是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率，
所以；
故A错误，B正确；
记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知，
即.
故C，D正确；
故选：BCD
29．AC
【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.
【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”.
对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”.
对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知，
二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”.
对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
30．BC
【解析】将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论.
【详解】由，得：，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得：，
与直线平行的直线的斜率为，
则令，解得：，切点坐标为，
到直线的距离.
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.
的最小值为，
过与垂直的直线为，即.
由，解得：，即当最小时，.
故选：BC.
【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
31．BD
【分析】
由已知，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.
【详解】
因为，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正确，A错误．
，
当时，即，得，
所以，即，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误，
故选：BD.
32．1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
33．
【分析】变形函数，利用求导公式及法则求解即得.
【详解】依题意，函数，
所以.
故答案为：
34．
【分析】根据导数的乘法运算法则求导，再代入求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
35．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
36．1
【分析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.
【详解】，则
则切线方程为，
代入原点可得：，
即，解得（负根舍去）
故答案为：1
37．
【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．
【详解】解：，，
与直线平行的切线斜率，解得或，
当时，，即切点为，
此时点到直线的距离为；
当时，，即切点为，
此时点到直线的距离为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数图象上与已知直线平行的切线的切点到直线的距离.
38．
【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入可得，构造函数，求导，根据函数的单调性结合，可得，即可求解.
【详解】设点，则.又，
当时，，
曲线在点A处的切线方程为，即，
代入点，得，即，
记，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为，切线方程为，
故答案为：，
39．
【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
40．
【分析】设出公切点，利用和在公切点处函数值和导函数值分别相等，得到的表达式，求出最大值即可.
【详解】，.
设公切点为，则，，
即.
因此，
其中，
因为，所以为第一象限的角；
不妨设，因为，所以，
当且仅当时，取到最大值，
所以的最大值是，且有唯一解.
故答案为：.
41．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
42．
【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，得韦达定理，进而构造函数或，由导数求解单调性即可求解范围.
【详解】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，即.
故答案为：
43．
【分析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.
【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，
过，，三点的圆的圆心为，
圆心的纵坐标为，设，
直线与抛物线相切于点，
导数，
即在处的切线斜率，
即的斜率，即，
即，得，即，，
，
，
即，
得，
得或（舍，
解得．
，，，，
即的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】关键点点睛：设出点的坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义以及切线斜率建立方程关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
44．
【分析】
观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.
【详解】已知，对式子两边同时求导，
得，
令，得.
故答案为：240
45．
【分析】作垂直于准线于点，，当与抛物线相切时，最小，设切线方程为：与抛物线方程联立消，由可得切线的斜率，即可得最小值，然后求解范围即可.
【详解】作垂直于准线于点，，
不妨在第一象限取点，当与抛物线相切时，最小，设切点为，
又因为，设切线方程为：
与联立可得：，由可得
所以切线斜率，所以，
所以，
所以，
的取值范围是，
故答案为：．
46．
【分析】先根据题意求出在处的切线方程为，然后根据以直代曲，可以令．
【详解】函数，
则，
∴，故切线为．
∴，
根据以直代曲，也非常接近切点．
所以可以将代入切线近似代替，
即．
故答案为：，．
47．答案不唯一，或或等．
【分析】先求出曲线在点处的切线方程，进而得出答案.
【详解】，
曲线在点处的切线方程为，所有在点处的切线方程为的函数都是正确答案．
故答案为：答案不唯一，或或等
48．2
【分析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.
【详解】由题设有，化简可得即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在、上的唯一解，
又，故，
故为在的解，故即.
所以，
故答案为：2
49．（1）或；（2）0
【分析】（1）求导，根据切点是切点和不是切点，分类讨论求解，
（2）根据复合函数的求导即可求解.
【详解】（1）．设切线的斜率为k．可知原点在曲线上．
①当切点是原点时，，所以所求曲线的切线方程为．
②当切点不是原点时，设切点是，则有，
， （ⅰ）
又因为． （ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）得，
由于，所以
所以所求曲线的切线方程为．
综上，所求曲线的切线方程为或．
（2）由可得，
则
50．(1)；(2)证明见解析.
【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
51．(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0
【分析】（1）计算f′(x)，进而由f′(－1)＝0可得解；
（2）直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3＋6x0＋12)，由导数得切线斜率，进而得切线方程，带入(0,9) 得x0＝±1，再分别计算当f′(x)＝0或f′(x)＝12时的切线，进而找到公切线.
【详解】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.
即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．
∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，
设切点为(x0,3＋6x0＋12)，
∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将点(0,9)代入，得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.
即有x＝－1或x＝2，
当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.
∴公切线是y＝9.
又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0或x＝1.
当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
∴公切线不是y＝12x＋9.
综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.
【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
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