2025年新高考数学高频考点+重点题型专题17任意角、任意角三角函数及弧度制含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题17任意角、任意角三角函数及弧度制含解析答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知．则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．若α＝－2，则α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）
A．第二或第四象限B．第二或第三象限
C．第一或第四象限D．第三或第四象限
5．在平面直角坐标系中，已知点，，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（ ）
A．2B．C．D．
6．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A． B．
C．3D．
7．若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
8．若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
9．若，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
10．已知是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3]B．(－2,3)
C．[－2,3)D．[－2,3]
12．给出下列四个命题：
①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
14．若是第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
15．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边上一点绕原点顺时针旋转到达点的位置，则（ ）
A．B．C．D．
16．的值
A．等于0B．大于0
C．小于0D．不存在
17．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A．B．C．D．
18．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cs θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）
A．－12B．－10C．－8D．－6
19．已知角的终边与单位圆的交于点，则( )
A．B．C．D．
二、多选题
20．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
21．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）．
A．B．C．D．
22．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
23．若与关于轴对称，写出一个符合题意的值 ．
24．设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有 .（选填序号）
25．已知一扇形的周长为8cm，则其最大面积为 cm2.
26．《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者的肩宽约为 .(精确到)
27．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦 矢＋），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为 平方米（精确到1平方米，参考数据
28．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 .
29．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y= .
30．已知角，若角与角的终边相同，则的值为 .
31．在与终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 .
32．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为 .
33．已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x= .
四、解答题
34．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别为，.求的值；

35．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？
36．角α终边上的点P与A(a，2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·csα＋sinβ·csβ＋tanα·tanβ的值.
参考答案：
1．A
【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.
2．C
【分析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．
故选：C.
3．B
【分析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
【详解】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：显然是第一象限角. 故③错误；
对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；
对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确.
综上，①⑥正确.
故选：B.
4．A
【分析】写出的表达式，计算后可确定其终边所在象限．
【详解】由题意，所以，，
当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．
故选：A．
5．C
【分析】根据圆的性质，结合扇形的面积公式、平行线的性质进行求解即可.
【详解】当时，设点在处，当时，设点在处，如下图所示：

线段扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，
因为轴，所以，
所以线段扫过形成图形的面积为扇形的面积：.
故选：C.
6．D
【分析】
根据圆的弧长公式解三角形计算即可
【详解】
如图，等边是半径为的圆的内接三角形，
则线段AB所对的圆心角，
作，垂足为M，在Rt中，，
所以，所以圆弧长，
由弧长公式得：.

故选：D
7．B
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据二倍角公式得出结果.
【详解】因为点在角的终边上，
所以，
则，
故选：B.
8．D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．D
【分析】根据已知直接判断即可.
【详解】由可得是第三象限或第四象限角，
由可得是第二象限或第四象限角，
故角是第四象限角.
故选：D.
10．C
【分析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.
【详解】由是第二象限角，可得，，
故选：C
11．A
【分析】根据题意可得 且 ，解不等式组求得的取值范围．
【详解】∵cs α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数值的符号判断角所在的象限，得到 且，是解题的关键，属于基础题．
12．C
【解析】利用象限角的定义，以及利用周期，逐一判断每一个选项的正误.
【详解】是第三象限角，故①错误.， ，从而是第三象限角，所以②正确，－400°＝－360°－40°，和的的终边相同，从而③正确，－315°＝－360°＋45°，所以和的终边相同，从而④正确.所以有3个是正确的.
故答案为:C
【点睛】本题考查象限角的定义，判断象限角所在象限，属于基础题型.
13．B
【解析】先根据分针每分钟转6°，求出度数，再根据角度和弧度的关系即可求出．
【详解】分针每分钟转，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了任意角的概念和角度和弧度的转化，属于基础题．
14．B
【分析】根据角所在象限，利用诱导公式判断三角函数符号，即可判断选项.
【详解】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
15．D
【分析】依题意可知在角的终边上，根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：依题意可知在角的终边上，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题.
16．C
【详解】试题分析：∵弧度大约等于度，弧度等于度，∴，∵弧度小于弧度，在第二象限，∴，∵弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限，∴，∴，故选C.
考点：三角函数值的符号.
17．C
【解析】根据扇形面积公式即可求出.
【详解】设扇形的圆心角为，
则，即，解得.
故选：C.
18．D
【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出x的值．
【详解】角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且，
若点M（x，8）是角θ终边上一点，
则：x＜0，利用三角函数的定义：，
解得：x=-6．
故选：D．
19．C
【详解】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．
详解：∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则
点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键．
20．BD
【分析】利用角的知识逐一判断即可.
【详解】对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，角的终边在第二象限，
，，
，
当为偶数时，，，得是第一象限角；
当为奇数时，，，得是第三象限角，故正确．
故选：BD
21．AC
【分析】假设，为内的角，可得，再由终边相同角的表示即可求解.
【详解】假设，为内的角，如图所示：

由和的终边关于轴对称，
所以
根据终边相同角的概念，
可得，
所以满足条件的为A、C
故选：AC
22．BCD
【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.
【详解】设扇形的半径为，由，故D正确；
由，
所以，解得，故C正确；
由，则，
所以，
所以，故B正确.
故选：BCD
23．（答案不唯一）
【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.
【详解】由题意得，，由诱导公式知，
显然满足题意，解得.
故答案为：（答案不唯一）.
24．①②③
【分析】先将角化为的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.
【详解】因为，所以①正确，
令k=0，可得②正确；
令k=-1，可得③正确.
故答案为：①②③.
25．4
【分析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，再根据面积公式转化成关于R的二次函数，通过解二次函数最值求出结果．
【详解】解：扇形的弧长为l＝8﹣2R，
∴扇形的面积为SlR（8﹣2R）•R＝﹣R2+4R＝4﹣（R﹣2）2，
∴当半径R＝2cm时，扇形的面积最大值为4cm2．
故答案为：4
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，通过对实际问题的分析，抽象出数学模型，利用二次函数定义求解，是基础题目．
26．
【分析】由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.
【详解】如图，，，△AOB中，过O作OM⊥AB于M，
则M是弦AB中点，，，，
则，“弓”所在的弧长，
所以其肩宽为.
故答案为：
27．9
【分析】读懂题意，理解“弦”、“矢”的含义，求出圆心角为，半径等于4米的“弦”、“矢”，根据题中的公式弧田面积＝ （弦 矢＋）计算即可得出答案.
【详解】
根据题意 ,，
则 ， ，
则弦为 ，矢为 ,
所以弧田面积约为 .
故答案为：9
28．
【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标．
【详解】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查逻辑思维能力，属于常考题.
29．－8
【详解】答案：－8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角．
30．
【分析】利用诱导公式化简求得所求表达式的值.
【详解】
.
故答案为：
31．
【分析】将化为弧度，并化为的形式，由此可求得结果.
【详解】，因此，与终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查终边相同的角的求解，考查计算能力，属于基础题.
32．(－1，)
【分析】由已知∠AOx＝30°，则∠BOx＝120°，又OB=2，结合三角函数定义求点B的坐标.
【详解】依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cs 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，).
故答案为：(－1，).
33．
【分析】根据角的终边上的点的坐标结合余弦函数的定义列出方程，解方程即可.
【详解】∵，∴或，∴或，
∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.
故答案为：.
34．
【分析】根据条件，利用三角函数的定义即可求出结果.
【详解】因为点为角的终边与单位圆的交点，且纵坐标为，将代入，
得到，又因为是锐角，所以，故，从而有，
由三角函数的定义可得：.
35．（1）（2），
【详解】(1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得
，所以，
(2) 花坛的面积为．
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用的比，
令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．
答：当x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
36．－1.
【分析】先根据对称性要求求出点P、Q，然后由三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a).
所以，sinα＝，csα＝，tanα＝；
sinβ＝，csβ＝，tanβ＝.
故有sinα·csα＋sinβ·csβ＋tanα·tanβ＝.
故答案为：.