2025年新高考数学高频考点+重点题型专题25平面向量的数量积含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题25平面向量的数量积含解析答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在如图的平面图形中，已知,则的值为
A．B．
C．D．0
2．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
4．已知向量＝（x，1）（x＞0），＝（1，2），，则，的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，若，则的最小值为（ ）
A．6B．C．3D．
8．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
9．已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）
A．B．
C．6D．4
10．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数（ ）
A．B．C．4D．＋1
12．向量，．若，则（ ）
A．－2B．±C．±2D．2
13．已知向量满足，则（ ）
A．3B．
C．7D．
14．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
15．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知非零向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
17．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
18．在平面内， ，动点， 满足， ，则的最大值是
A．3B．4C．8D．16
19．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝λ，则当＝0时，λ的值所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
20．若点A，B在圆C上，则的值（ ）
A．与圆C的半径有关B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关D．与点A，B的位置有关
21．设是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数λ，使得
D．若存在非零实数λ，使得，则
22．设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．不与垂直
D．
23．已知平面向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
24．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
25．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
26． 已知向量，，， ．
27．若，则 ， .
28．已知向量，则 .
29．已知向量，，，， .
30．已知向量，满足，，则 ．
31．已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
32．若向量满足，则 .
33．已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为 .
34．已知向量，若，则 ．
35．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
36．已知向量．若，则 ．
37．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
38．已知平面上三点、、满足，，，则的值等于 ．
39．已知平面向量，则与夹角为45°的一个非零向量的坐标可以为 ．（写出满足条件的一个向量即可）
40．已知向量满足，，则的最大值为 ．
四、解答题
41．如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段 为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，求的取值范围．

42．设两个向量满足,,的夹角为60°,若向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
43．已知，．
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)若，，求的面积．
44．在平面直角坐标系xOy中，点.
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值.
参考答案：
1．C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
2．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
4．C
【解析】根据向量的减法运算求出，根据求出x＝3，再根据夹角可得解.
【详解】因为＝＝(1－x，1)，
所以＝(1－x)2＋1＝5，
即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍).
设，的夹角为θ，则cs θ＝，所以θ＝.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，考查了向量的模长公式，考查了向量的夹角公式，属于基础题.
5．D
【分析】
借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.
【详解】
，
，
故.
故选：D.
6．D
【分析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角．
【详解】解：，
，
，
，
，
设与的夹角为，
．
，，
．
故选：D．
7．C
【分析】由，再平方转化为关于的关系，即可根据二次函数性质求出.
【详解】
，
则当时，取得最小值为3.
故选：C.
8．D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
9．A
【分析】结合数量积的定义即可求解.
【详解】因为向量，，，
与的夹角为60°，所以，
所以
＝(m－n)·－m＋n
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，
所以＝，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量垂直时的数量积关系、向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
10．A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
11．D
【分析】利用向量的投影公式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以向量在向量方向上的投影为，
则.
故选：D.
12．C
【分析】由向量的数量积与向量垂直的关系可直接求得答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，所以，即，解得.
故选：C.
法二：因为，所以，
所以，所以，所以，解得，
故选：C.
13．D
【分析】由题设条件两边平方求得，再利用向量模的公式计算即得.
【详解】由两边平方得，，因，代入解得：，
故.
故选:D.
14．A
【分析】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得.
【详解】

如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
15．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示及已知不等关系得，即可确定点的集合.
【详解】因为向量与关于轴对称，且点，所以，，
所以，即，
所以点的集合为以为圆心，为半径的圆的内部.
故选：B
16．A
【分析】根据题意，求得，再由，结合向量的运算法则，列出方程，即可求解.
【详解】因为非零向量的夹角为，且，可得，
又因为，可得，
即，因为，所以.
故选：A.
17．D
【分析】根据向量模的关系式，可选择设，化简此式推得，求得，继而利用向量的夹角公式即可求得.
【详解】设，则.
由，可得，
故以为邻边的平行四边形是矩形，且，
设向量与的夹角为θ，则cs θ＝,
又，所以.
故选：D.
18．B
【分析】先根据条件得是等边三角形，再建系求点M轨迹，最后根据圆的性质求的最大值.
【详解】由，
得.
所以是等边三角形，设的边长为，则，得.
以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,
则，
由，得点P满足： .
则为PC的中点，
设，则，满足： ，
整理得： ，即点M在以为圆心，1为半径的圆上，
则的最大值是圆心到B的距离加半径： .
故选B.
【点睛】对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错．
19．B
【分析】由已知可得，求出，，的值，结合平面向量的运算法则及，求得值后得答案.
【详解】在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得
所以，，
所以
又，所以
则
所以
代入可得：
即2λ2－7λ＋2＝0，解得(舍去)或.
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的加、减运算，平面向量的数量积运算等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
20．BC
【分析】利用数量积公式结合图形即可求解.
【详解】如图，连接AB，过点C作CD⊥AB交AB于点D，
则D是AB的中点，故，
故的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，
故选：BC.
21．ABD
【分析】综合运用平面向量数量积的定义和性质，及向量共线的充要条件逐项判断即可.
【详解】对于A，若，
则，
得，所以与不垂直，故A为假命题；
对于B，若，则，但，
所以，
即，所以B为假命题；
对于C，若，
则，
得，所以，即与反向，
因此存在实数λ，使得，故C为真命题.
对于D，由C分析知仅当，即与反向共线时，
成立，当非零实数λ不为负数，结论不成立，所以D为假命题；
故选：ABD.
22．BD
【分析】
由数量积的概念即可判断A；由向量的三角形法则结合三角形的性质即可判断B；由向量的数量积与向量垂直的关系即可判断C；由数量积的运算性质即可判断D.
【详解】由于是不共线的向量，因此的结果应为向量，故A错误；
由于不共线，故构成三角形，因此B正确；
由于，
故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得，故D是正确的.
故选：BD.
23．BC
【分析】结合向量平行、垂直、夹角公式与模长公式逐项判断即可得.
【详解】对A：，若，则有，即，故A错误；
对B，，若，则有，即，故B正确；
对C：若，则，则，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
24．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
25．
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
26．/
【分析】利用平面向量数量积的运算律，代入模长计算可得结果.
【详解】由已知可得，
因此．
故答案为：．
27． 0 3
【分析】利用平面向量线性运算法则和数量积运算法则计算即可.
【详解】，故，
故答案为：0，3
28．
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
29．
【分析】利用向量的坐标运算求出，进而求出，，结合向量的数量积公式即可求解.
【详解】，
又，
利用向量的数量积公式可知
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用，解题的关键是熟悉公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
30．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
31．
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
32．
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
33．
【解析】对两边平方，可得,根据二次函数的性质可知，当时，即，同理可得当时，，即，联立方程组即可求出， 再根据向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】因为,
所以当时，即，
因为，
所以当时，，
即，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的基本知识，解决本题的关键是利用二次函数的性质求出的最小值，的最小值，是解题的关键.
34．/
【分析】由平面向量垂直条件及数量积坐标运算知识可得答案.
【详解】因为，
所以由可得，，解得．
故答案为：．
35．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
36．.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
37．且
【分析】根据题意可知，，，，可得出的取值范围，再计算与同向时的值，即可得的取值范围.
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向，
所以，
因为，为互相垂直的单位向量，
所以，，，
所以，可得，
当与同向时，，即，
可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角，
综上所述：实数的取值范围为且.
故答案为：且.
38．
【分析】根据可得，，展开可得，代入即可得到答案．
【详解】解：由可得，
，，，
所以，
即
．
故答案为：
39．（答案不唯一，满足，且的任意一个均可）
【分析】依题意设出，根据题意，利用数量积的坐标式和定义式化简得到，即可得到的坐标.
【详解】设，则即,
化简得：，且，,
故可取x＝1，y＝0，此时.
故答案为：.
40．/
【分析】根据向量的模和夹角，考虑建立平面直角坐标系，将条件化简得到点C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，从而赋予的几何意义为圆上的点与的距离，结合圆的性质易得其最大值.
【详解】

设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因，则设，
由可得：
即，整理得：，∴点C在以为圆心，1为半径的圆上，
则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，∵圆心到点A的距离为，∴的最大值为.
故答案为：.
41．
【分析】
设，根据几何关系表达的坐标，结合数量积的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数值域的求解方法，即可求得结果.
【详解】
设，，
根据题意，则，故点的坐标为；
又，的补角为，
则，
，
故点的坐标为；
则
，
又，则，，，
故的范围为.
42．
【解析】根据()（)可求得，又与反向共线时，可求得，即可求的范围.
【详解】因为,,的夹角为60°,
所以60°，
因为向量与的夹角为钝角，
所以()（)，
所以，
即，解得，
又与反向共线时，必存在使（)，
即，
因为不共线，所以，
所以，且，
所以，
所以所求的范围是
【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的夹角，当两个向量的夹角为时，也满足数量积小于0，故要排除，这是容易错的地方，应该特别注意，属于中档题.
43．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把展开，利用向量的夹角公式可得答案；
（2）可先将平方转化为向量的数量积计算可得答案；
（3）求出与的夹角，利用三角形面积公式计算可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，
又，∴，
∴，∴，
又，∴；
（2），
∴；
（3）因为与的夹角，
∴，
又，，
所以.
44．(1)；
(2)
【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；
（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.
【详解】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，
所以，，
对角线，因此；
另一条对角线，
因此；
（2）因为，所以，，
由，即，
解得．