2025年新高考数学高频考点+重点题型专题27复数含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题27复数含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知（R，为虚数单位），则a+b=
A．B．C．D．
5．设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
7．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9．已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．5D．
10．已知，则（ ）
A．1B．C．3D．9
11．已知是虚数单位，复数与复平面内的点对应，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i，则“a＝2”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
13．设复数，i为虚数单位，，则由z的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
14．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
15．设复数满足，且在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
16．若复数，则（ ）
A．|z|=2B．|z|=4
C．z的共轭复数=+iD．
17．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是B．
C．复数z的共轭复数是D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
18．若非零复数分别对应复平面内的向量，且，线段的中点M对应的复数为，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知复数在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．满足的点表示的轨迹为直线
D．满足的点表示的轨迹为椭圆
20．设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（ ）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
21．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若为实数，则B．若，则为实数
C．若为实数，则为实数D．若为实数，则为实数
22．设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
23．已知是复数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则至少有一个是虚数
24．下列结论正确的是（ ）
A．若复数满足，则为纯虚数
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数，满足，则
25．设复数z满足，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．B．z的虚部为2
C．z的共轭复数为D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
26．设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
27．已知复数（其中为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
B．为实数
C．若，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限
D．若，复数z是纯虚数，则
28．下列命题正确的是（ ）
A．复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数
B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数
C．复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)
D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，y∈R)，则x＋y＝1
三、填空题
29．设复数，满足，，则= .
30．写出一个使得成立的非零复数 .
31．已知复数z满足，则复数z的实部的最小值为 ．
32．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知，，，其中，，则 ．(结果表示代数形式)
33．是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .
34．设是原点，向量对应的复数分别为，，表示虚数单位，那么向量对应的复数为 .
35．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的模为 ．
36．若复数（，，i为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数 ．
37．已知，， i是虚数单位，则 ；若复数，则在复平面内对应的点位于第 象限.
四、解答题
38．设复数z满足，.求z的值和|z－ω|的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
2．C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
3．C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
4．A
【详解】试题分析：利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则a+b可求．故选A
考点：复数相等的条件
5．A
【分析】根据复数的运算法则，求得，，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算性质，可得，，
所以，可得对应复平面内点的坐标为，在第一象限.
故选:A.
6．A
【解析】如图，先判断出对应的复数，然后根据复数除法计算出的值，即可求解出的值.
【详解】由图可知：，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数.
7．A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
8．B
【分析】令中即得解.
【详解】令中得：
，所以在复平面内对应的点为
因为，
所以在复平面内对应的点在第二象限.
故选：B
9．C
【分析】由复数的乘法法则计算后可得．
【详解】，虚部为5．
故选：C．
10．C
【分析】由复数相等求得，然后由复数模的定义求得模．
【详解】因为，所以，
．
故选：C．
11．D
【分析】先得到，再根据复数的除法运算得，再根据复数的几何意义要得答案.
【详解】由复数与复平面内的点对应，可知，
所以，其对应的点为.
故选：D.
12．A
【分析】先化简“z为纯虚数”的等价命题为“”，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i为纯虚数，等价于，即a＝±2，
由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“”的充分不必要条件，
所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
13．B
【分析】通过复数的运算可得，对进行讨论可得结果.
【详解】，i为虚数单位，，当时，；
当时，；当时，；
故选：B.
14．D
【解析】先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
15．D
【分析】根据题意，求得，结合复数模的运算，即可求得复数的轨迹方程，得到答案.
【详解】因为在复平面内对应的点为，所以，则,
所以，所以，
整理得.
故选：D.
16．AC
【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意，故A选项正确，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
17．CD
【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
18．AD
【分析】利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到，再由线段的中点M对应的复数为，得到，即可求解.
【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，，
又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，
因为，所以四边形是矩形，则，
又因为线段的中点M对应的复数为，所以，
所以．
故选：AD.
19．AD
【分析】根据复数模值的定义以及复数的几何意义逐项验证即可.
【详解】对于A选项：表示以为邻边的平行四边形对角线相等，则四边形为矩形，，故A选项正确；
对于B选项：在复平面中，设，，，
又，，
，，
，若，则，故B选项不正确
对于C选项：在复平面中，表示以为圆心，为半径的圆，故C选项不正确；
对于D选项：在复平面中，点到间距离为，设，
,
点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D选项正确；
故选：AD
20．BC
【分析】根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可以举反例．
【详解】A：由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；
B：由可得，因为，所以，即，B正确；
C：若，则，有，
又，则，故，故C正确；
D：取，，显然满足，但，D错误.
故选：BC．
21．ABC
【分析】根据复数相关定义和概念，结合选项进行逐一分析即可.
【详解】不妨设，故可得，
若为实数，则，故，故A正确；
若，故可得，则，故B正确；
若为实数，故可得则，，显然，故C正确；
若，即，无法得到，故D错误.
故选：ABC.
22．ABD
【分析】利用复数运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设，
，，A正确.
，
，B正确.
，C错误.
，，，，D正确.
故选：ABD
23．BD
【分析】举例说明，即可判断AC；由只有实数才能比较大小，复数不能比较大小判断B；利用用反证法即可判断D．
【详解】A：设，满足，但不满足，故A错误；
B：∵，∴都是实数，移项得，故B正确；
C：设，则满足，但不满足，故C错误；
D：假设中没有一个虚数（即全为实数），
则有，与矛盾，所以假设错误，原命题正确，故D正确.
故选：BD．
24．BC
【分析】根据复数的概念，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，设复数，满足，不为纯虚数，故A选项错误；
对于B选项，设复数，则，所以，即，故B选项正确；
对于C选项，设复数，则，所以且，所以，即，故C选项正确；
对于D选项，设复数，，所以，但不成立，故D选项错误.
故选：BC
25．AC
【分析】根据复数的概念、模、共轭复数定义、几何意义判断各选项．
【详解】由题意，虚部为，共轭复数是，对应点坐标为，在第三象限．
故选：AC．
26．AD
【分析】根据复数模的计算公式，结合复数的乘法运算，判定AD正确；根据特殊值法，排除BC.
【详解】A选项，设，则，，，
所以，故A正确；
B选项，令，，则，，不满足，故B错；
C选项，若，，则，但不满足，故C错；
D选项，若，不妨令，
则，故D正确.
故选：AD.
27．ABD
【分析】对选项A，根据计算即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C错误，对选项D，根据z是纯虚数得到即可判断D正确.
【详解】对选项A，
，
故A正确.
对选项B，因为
，
所以为实数.故B正确.
对选项C，因为为第二象限角，所以，，
所以在复平面对应的点落在第二象限.
故C错误.
对选项D，复数是纯虚数，则，
又因为，所以，故D正确.
故选：ABD
28．BC
【分析】A.根据共轭复数的定义，举例判断；B.根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；C.分别判断充分和必要条件；D.利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得的值.
【详解】A.模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；
B.设， ，若是虚数，，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；
C.设，，若，则，所以复数是实数，若是实数，则 则，所以C正确；
D.由条件可知，，，若(x，y∈R)，
则，
所以 ，解得：，
所以，故D不正确.
故选：BC
【点睛】本题考查复数的定义和相关概念，属于基础题型，本题的关键是正确理解复数的有关概念.
29．
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
30．(或)
【分析】首先由复数非零，化简方程，再设出复数一般形式，代入方程，根据两复数相等条件建立方程组求解.
【详解】，且，，
设，
，
则，解得，或.
所以，非零复数，或.
故答案为：(或).
【点睛】复数中求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数(或范围)的基本思想是复数问题实数化.
31．/0.5
【分析】
设，化简，由，则的虚部为0，实部在区间内，列方程和不等式求的最小值.
【详解】设，则，
由，得，
则或.
当时，，从而；
当时，，此时，
由，当且仅当即时等号成立，从而.
综上，复数z的实部的最小值为.
故答案为：.
32．
【分析】根据，进而求得，，再利用复数的乘法，结合三角函数和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
又，，所以，
所以.
所以，
，
.
故答案为：.
33．
【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.
考点：复数的运算.
34．
【分析】根据题意写出两点的坐标，根据向量的坐标运算求得，进而写出对应的复数.
【详解】因为向量对应的复数分别为，，
故可得，则，
故其对应的复数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的运算，复数在复平面对应点坐标的求解，属综合基础题.
35．
【分析】根据复数运算法则，求出复数 ，再根据模的计算公式 求复数的模.
【详解】因为，
所以，
所以，
故．
故答案为：．
36．(答案不唯一)
【分析】先写，再利用列式化简，即得（可为任意实数）均满足题意，写出其中一个即可.
【详解】，故.
由知，，化简得，
故只要，即（可为任意实数）均满足题意，可取.
故答案为：(答案不唯一).
37． 0 二
【分析】根据乘法法则，可得，根据复数相等的条件，可得a，b，分析即可得答案.
【详解】由，得，
由复数相等的充要条件得，解得，，
所以，
所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：0；二.
38．，.
【分析】先设复数代数形式，根据题意列方程解得复数，再利用复数模长的定义化简，根据三角函数取值范围，即得结果.
【详解】解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入，
得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝，即
∴，解得，∴，
＝ ，
，
∵，∴.，即，
∴.