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人教版 (2019)选择性必修 第二册2 法拉第电磁感应定律学案及答案
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1.理解并掌握法拉第电磁感应定律，能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小.
2.能够运用E＝Blv或E＝Blvsin θ计算导体切割磁感线时产生的感应电动势.
科学探究
1.了解动生电动势的概念，知道导线切割磁感线，通过克服安培力做功把其他形式的能转化为电能．
一、电磁感应定律
1．感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
2.感应电动势与感应电流的关系
产生感应电动势的部分导体相当于电源,闭合导体回路中有感应电动势就有感应电流,若导体回路不闭合,则没有感应电流,但仍有感应电动势。
3．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，其中n为线圈的匝数．
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏(V)．
二、导线切割磁感线时的感应电动势
1．导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，如图1所示，E＝Blv.
图1 图2
2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图2所示，E＝Blvsin_θ.
3．导体棒切割磁感线产生感应电流，导体棒所受安培力的方向与导体棒运动方向相反，导体棒克服安培力做功，把其他形式的能转化为电能．
1．判断下列说法的正误．
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流．( × )
(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小．( × )
(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大．( × )
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．( √ )
(5)闭合电路置于磁场中，当磁感应强度很大时，感应电动势可能为零；当磁感应强度为零时，感应电动势可能很大．( √ )
2．图3甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E甲＝________，E乙＝________.
图3
答案 Blv Blvsin θ
一、对电磁感应定律的理解
如图4所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中．
图4
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用一根磁体和两根磁体以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)感应电动势的大小取决于什么？
答案 (1)磁通量的变化量相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大．
(2)用两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大．
(3)感应电动势的大小取决于eq \f(ΔΦ,Δt)的大小．
1．磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)的比较：
特别提示 (1)Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的大小没有直接关系,这一点可与运动学中v、Δv、ΔvΔt三者类比。(2)Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的大小与线圈的匝数n无关。
2.对法拉第电磁感应定律的理解
(1)E= neq \f(ΔΦ,Δt)一般用来求Δt时间内感应电动势的平均值。其中n为线圈匝数,ΔΦ总是取绝对值。
(2)常见感应电动势的计算式有:
①线圈面积S不变,磁感应强度B均匀变化:E=nΔBΔt·S。(ΔBΔt为B-t图像上某点切线的斜率的绝对值)
②磁感应强度B不变,线圈面积S均匀变化:E=nB·ΔSΔt。
(3)感应电动势E:其大小取决于穿过电路的磁通量的变化率ΔΦΔt,而与磁通量Φ的大小、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然的联系,与电路的电阻R无关;感应电流的大小与感应电动势E、回路总电阻R有关。
例1 (多选)如图甲所示线圈的匝数n=100,横截面积S=50 cm2,线圈总电阻r=10 Ω,沿轴向有匀强磁场,磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化,则在开始的0.1 s内( )
A.磁通量变化量的大小为0.25 Wb
B.磁通量的变化率为2.5×10-2 Wb/s
C.a、b间电压为零
D.在a、b间接一个理想电流表时,电流表的示数为0.25 A
答案 BD
解析 通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关,若设Φ2=B2S为正,则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ=B2S-(-B1S),代入数据即ΔΦ=(0.1+0.4)×50×10-4 Wb=2.5×10-3 Wb,A错误;磁通量的变化率ΔΦΔt=2.5×10-30.1 Wb/s=2.5×10-2 Wb/s,B正确;根据法拉第电磁感应定律可知,当a、b间断开时,其间电压等于线圈产生的感应电动势,感应电动势大小为E=nΔΦΔt=2.5 V且恒定,C错误;在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路,回路总电阻即为线圈的总电阻,故感应电流大小I=Er=0.25 A,D正确。
针对训练1 如图6甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω.在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：
图6
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；
(2)t＝5 s时，a、b两点哪点电势高；
(3)t＝5 s时，电阻R两端的电压U.
答案 (1)1 V (2)a点 (3)3.2 V
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(1 000×0.4－0.2×2×10－2,4) V＝1 V.
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在减弱，根据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即感应电流产生的磁场方向垂直纸面向里，由安培定则可知，线圈中产生顺时针方向的感应电流，故a点的电势高．
(3)由题图知，在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝neq \f(|ΔΦ′|,Δt)＝eq \f(1 000×|0－0.4|×2×10－2,2) V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝eq \f(E′,R＋r)＝eq \f(4,4＋1) A＝0.8 A
故电阻R两端的电压U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V.
例2 （2023春•阿勒泰地区期末）如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀的增大到2B．在此过程中，线圈中产生的感应电动势为（ ）
A．Ba22ΔtB．nBa22ΔtC．nBa2ΔtD．2nBa2Δt
答案 B
解析 在此过程中，线圈中的磁通量改变量大小为：
△Φ=(2B-B)×a22=Ba22Φ，
根据法拉第电磁感应定律得：E=n△ϕΔt=n△BΔtS=nBa22Δt，故B正确ACD错误；
针对训练2 （2023春•天津期末）如图所示，置于匀强磁场中的闭合金属线圈，磁场方向垂直线圈平面向里，当磁感应强度随时间均匀减小时，线圈中将产生（ ）
A．顺时针方向恒定的电流
B．逆时针方向恒定的电流
C．顺时针方向逐渐减小的电流
D．逆时针方向逐渐减小的电流
答案 A
解析 磁感应强度减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向，
磁感应强度随时间均匀减小，可知ΔBΔt不变，
由E=nΔΦΔt=nΔBΔtS可知E不变，
由闭合电路欧姆定律I=ER可知电流不变，故A正确，BCD错误。
二、导线切割磁感线时的感应电动势
1.如图甲所示,闭合电路的一部分导体ab处于匀强磁场中,磁感应强度为B,ab的长度为l,ab以速度v匀速切割磁感线,求回路中产生的感应电动势。
2.若将轨道一端抬高,如图乙所示,直导线ab仍与磁场垂直,但速度与磁感线方向有一个夹角θ(θ≠90°),则此时直导线上产生的感应电动势表达式是什么?
答案 1.设在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1,如图丙所示,这时线框面积的变化量为ΔS=lvΔt
穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS=BlvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E=ΔΦΔt=Blv。
2.设在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1,如图丁所示,这时线框面积的变化量为ΔS=lvΔt
穿过闭合电路磁通量的变化量为
ΔΦ=BΔSsin θ=BlvΔtsin θ
根据法拉第电磁感应定律得E=ΔΦΔt=Blvsin θ。
1．导线切割磁感线时感应电动势表达式的推导
如图8所示，闭合电路一部分导线ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为l，ab以速度v匀速垂直切割磁感线．
图8
则在Δt内穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝Blv.
2．对公式的理解
(1)当B、l、v三个量的方向互相垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向互相平行时，导线将不切割磁感线，E＝0.
(2)当l垂直B且l垂直v，而v与B成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ.
(3)若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度．
图9
图9甲中的有效切割长度为：L＝eq \x\t(cd)sin θ；
图乙中的有效切割长度为：L＝eq \x\t(MN)；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，L＝eq \r(2)R；沿v2的方向运动时，L＝R.
3.导体转动切割磁感线产生的电动势
如图所示,长为l的导体棒ab以a为圆心,以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动,其感应电动势可从两个角度推导。
图10
(1)棒上各点速度不同,其平均速度v=12ωl,由E=Blv得棒上感应电动势大小为E=Bl·12ωl=12Bl2ω。
(2)若经时间Δt,棒扫过的面积为ΔS=πl2ω·Δt2π=12l2ω·Δt,磁通量的变化量ΔΦ=B·ΔS=12Bl2ω·Δt,由E=ΔΦΔt得棒上感应电动势大小为E=12Bl2ω。
4.公式E=nΔΦΔt与E=Blvsin θ的区别与联系
类型一 导体平动切割磁感线
例3 如图所示,MN、PQ为两条平行放置的金属导轨,左端接有定值电阻R,金属棒ab斜放在两导轨之间,与导轨接触良好,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面,设金属棒与两导轨接触点之间的距离为l,金属棒与导轨间夹角为60°,以速度v水平向右匀速运动,不计导轨和棒的电阻,则流过金属棒中的电流为( )
A.I=BlvRB.I=3Blv2R C.I=Blv2RD.I=3Blv3R
答案 B
解析 B与l、B与v是相互垂直的,但l与v不垂直,故l垂直于v的长度lsin θ
即为有效切割长度,所以E=Blvsin 60°=32Blv,由欧姆定律I=ER得I=3Blv2R,选项B正确。
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)与E＝Blv的比较
1．区别：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)研究的是整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中Δt内的平均感应电动势；E＝Blv研究的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体做切割磁感线运动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．
2．联系：E＝Blv是由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)在一定条件下推导出来的，该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论．
针对训练3 (2023湖南邵阳期末)如图所示,间距为l的U形导轨固定在水平面上,垂直导轨向下的匀强磁场磁感应强度为B。质量为m、电阻为r的金属杆PQ沿着粗糙U形导轨以初速度v开始水平向右滑行,金属杆PQ与U形导轨之间的动摩擦因数为μ,ab间电阻为R,导轨电阻忽略不计,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.通过金属杆的电流由P到Q
B.PQ开始运动时ab间的电压为Blv
C.PQ运动的过程中系统产生的焦耳热为12mv2
D.开始运动时PQ的加速度大小为B2l2vm(R+r)+μg
答案 D
解析 根据右手定则可知,金属杆中的电流由Q到P,故A错误;PQ开始运动时产生的电动势为E=Blv,ab间的电压为U=Rr+RBlv,故B错误;根据功能关系可知,PQ运动的过程中有12mv2=Q+Wf,所以系统产生的焦耳热小于12mv2,故C错误;开始运动时PQ受到向左的摩擦力和安培力,两力的合力提供加速度,有F安+μmg=ma,而F安=BIl=B2l2vR+r,联立可得加速度大小为a=B2l2vm(R+r)+μg,故D正确。
类型二 导体转动切割磁感线
例4 长为l的金属棒ab以a点为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动,如图所示,磁感应强度为B。求:
(1)ab棒的平均速率。
(2)ab两端的电势差。
(3)经时间Δt金属棒ab扫过的面积中磁通量为多少?此过程中平均感应电动势多大?
答案 (1)12ωl (2)12Bl2ω (3)12Bl2ωΔt 12Bl2ω
解析 (1)ab棒的平均速率v=va+vb2=0+ωl2=12ωl。
(2)ab两端的电势差E=Blv=12Bl2ω。
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过的扇形面积为ΔS,则
ΔS=12l2θ=12l2ωΔt,ΔΦ=BΔS=12Bl2ωΔt。
由法拉第电磁感应定律得
E=ΔΦΔt=12Bl2ωΔtΔt=12Bl2ω。
针对训练4 (多选)(2022山东卷)如图所示,xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为2l的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为l的正方形金属框绕其始终在O点的顶点,在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动。t=0时刻,金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响,关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是( )
A.在t=0到t=π2ω的过程中,E一直增大
B.在t=0到t=π2ω的过程中,E先增大后减小
C.在t=0到t=π4ω的过程中,E的变化率一直增大
D.在t=0到t=π4ω的过程中,E的变化率一直减小
答案 BC
解析 根据电磁感应定律有E=Bl切2ω2,l切为切割磁感线的有效长度;当t=π4ω,即转过π4时,l切最大,电动势E最大,所以t=0到t=π2ω,即转动角度0~π2的过程中,E先增大后减小,选项A错误,B正确。设0~t时刻,金属框转动的角度为α,在t=0到t=π4ω,即转动角度0~π4过程中,E=Bl切2ω2=Bl2ω2cs2α=Bl2ω2cs2ωt,对其求导可得,ΔEΔt=Bl2ω2tanωtcs2ωt=2Bl2ω2tanωtcs2ωt+1,在t=0到t=π4ω过程中,tan ωt在增大,cs 2ωt在减小,可知,E的变化率一直增大,选项C正确,D错误。
1.(导体切割磁感线时的感应电动势)(多选)一根直导线长0.1 m,在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中以10 m/s的速度匀速运动,则导线中产生的感应电动势( )
A.一定为0.1 V B.可能为零
C.可能为0.01 V D.最大值为0.1 V
答案 BCD
解析 当公式E=Blv中B、l、v互相垂直,且全部导体切割磁感线运动时,感应电动势最大,最大为Em=Blv=0.1×0.1×10 V=0.1 V,当B、l、v中任意两个量平行时,感应电动势为零,故B、C、D正确,A错误。
2.(法拉第电磁感应定律)(多选)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴垂直于磁场,若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图所示,则0~D过程中( )
A.线圈中0时刻感应电动势最大
B.线圈中D时刻感应电动势为零
C.线圈中D时刻感应电动势最大
D.线圈中0至D时间内平均感应电动势为0.4 V
答案 ABD
解析 由法拉第电磁感应定律知线圈中0至D时间内的平均感应电动势E=ΔΦΔt=2×10-30.012 V=0.4 V,D项正确;由感应电动势的物理意义知,感应电动势的大小与磁通量的大小Φ和磁通量的改变量ΔΦ均无必然联系,仅由磁通量的变化率ΔΦΔt决定,而任何时刻磁通量的变化率ΔΦΔt就是Φ-t图像上该时刻切线的斜率,不难看出0时刻处切线斜率最大,D点处切线斜率最小且为零,故A、B正确,C错误。
3.(导体切割磁感线时的感应电动势)如图所示,空间有一匀强磁场,一直金属棒与磁感应强度方向垂直,当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时,棒两端的感应电动势大小为ε,将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线,置于与磁感应强度相垂直的平面内,当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时,棒两端的感应电动势大小为ε'。则ε'ε等于( )
A.12B.22C.1D.2
答案 B
解析 设折弯前导体切割磁感线的长度为l0,ε=Bl0v;折弯后,导体切割磁感线的有效长度为l=l022+l022=22l0,故产生的感应电动势为ε'=Blv=B·22l0v=22ε,所以ε'ε=22,B正确。
4.(法拉第电磁感应定律)(2022全国甲卷)三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框,正方形线框的边长与圆线框的直径相等,圆线框的半径与正六边形线框的边长相等,如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中,线框所在平面均与磁场方向垂直,正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则( )
A.I1I3>I2
C.I1=I2>I3 D.I1=I2=I3
答案 C
解析 设正方形的边长为2a,由几何关系可得,正方形的面积为S1=(2a)2,圆形的面积为S2=πa2,正六边形的面积为S3=6×12a×32a=332a2,三个线框的周长分别为D1=8a,D2=2πa,D3=6a,故根据法拉第电磁感应定律,有E=SΔBΔt,回路电阻R=ρDS',回路电流I=ER,解得I1∶I2∶I3=2∶2∶3,选项C正确,A、B、D错误。
5.(导体切割磁感线时的感应电动势)如图所示,导轨OM和ON都在纸面内,导体AB可在导轨上无摩擦滑动,AB⊥ON,若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑,导体与导轨都足够长,匀强磁场的磁感应强度为0.2 T。求:
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少?此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大?
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少?此过程中的平均感应电动势为多少?
答案 (1)53 m 53 V (2)1532 Wb 523 V
解析 (1)第3 s末,夹在导轨间导体的长度为l=vt·tan 30°=5×3×tan 30°
m=53 m
此时E=Blv=0.2×53×5 V=53 V。
(2)3 s内回路中磁通量的变化量为
ΔΦ=BS-0=0.2×12×15×53 Wb=1532 Wb
3 s内电路中产生的平均感应电动势为
E=ΔΦΔt=15323 V=523 V。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.下列说法正确的是( )
A.线圈中磁通量变化越大,线圈中产生的感应电动势一定越大
B.线圈中磁通量越大,线圈中产生的感应电动势一定越大
C.线圈处在磁场越强的位置,线圈中产生的感应电动势一定越大
D.线圈中磁通量变化得越快,线圈中产生的感应电动势越大
答案 D
解析 线圈中产生的感应电动势E=nΔΦΔt,即E与ΔΦΔt成正比,与Φ或ΔΦ的大小无直接关系。磁通量变化越快,即ΔΦΔt越大,产生的感应电动势越大,故只有选项D正确。
2.如图所示,光滑铜环水平固定,半径为l,长为l、电阻为r的铜棒OA的一端在铜环的圆心O处,另一端与铜环接触良好,整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。现使铜棒OA以角速度ω逆时针(俯视)匀速转动,A端始终在铜环上,定值电阻的阻值为3r,上方导线与O点连接,下方导线与铜环连接,其他电阻不计。下列说法正确的是( )
A.O点的电势比A点的电势高
B.回路中通过的电流为ωBl24r
C.该定值电阻两端的电压为38ωBl2
D.该定值电阻上的热功率为ω2B2l416r
答案 C
解析 由右手定则可知电流方向从O点指向A点,OA是电源,电流从低电势流向高电势,故O点的电势比A点的电势低,故选项A错误。由法拉第电磁感应定律可知E=Bl0+lω2=12Bl2ω,由闭合电路欧姆定律可知回路中通过的电流为I=Er+3r=E4r,两式联立可得I=Bl2ω8r,故选项B错误。该定值电阻两端的电压为U=I·3r,将前面求得的电流代入可得U=38ωBl2,故选项C正确。由焦耳定律可知该定值电阻上的热功率P=I2·3r=3ω2B2l464r,故选项D错误。
3.(2023·辽宁卷)如图所示,空间中存在水平向右的匀强磁场,一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动,且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是( )
答案 C
解析 设导体棒长为L,匀速转动的角速度为ω,线速度大小为v,t时刻导体棒相对竖直轴OP转动的角度为θ,如图所示
在t时刻导体棒的线速度沿垂直磁场方向的分速度大小v1=vcs θ,其中θ=ωt,由法拉第电磁感应定律可得u=BLv1=BLvcs ωt,可知导体棒两端的电势差u随时间t按余弦规律变化,选项C正确,A、B、D错误。
4.如图所示,一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场,直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止,下列结论错误的是( )
A.感应电流方向不变
B.CD段直线始终不受安培力
C.感应电动势最大值E=Bav
D.感应电动势平均值E=14πBav
答案 B
解析 在闭合回路进入磁场的过程中,通过闭合回路的磁通量逐渐增大,根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针,方向不变,选项A正确,不符合题意。根据左手定则可以判断,CD段受安培力向下,选项B错误,符合题意。当半圆闭合回路进入磁场一半时,等效长度最大,为a,这时感应电动势最大,为E=Bav,选项C正确,不符合题意。感应电动势平均值E=ΔΦΔt=B·12πa22av=14πBav,选项D正确,不符合题意。
5.如图甲所示,圆环a和b均由相同的均匀导线制成,a环半径是b环的两倍,两环用不计电阻且彼此靠得较近的导线连接。若仅将a环置于图乙所示变化的磁场中,则导线上M、N两点的电势差UMN=0.4 V。下列说法正确的是( )
A.图乙中,变化磁场的方向垂直纸面向里
B.图乙中,变化磁场的方向垂直纸面向外
C.若仅将b环置于图乙所示变化的磁场中,则M、N两端的电势差UMN=-0.4 V
D.若仅将b环置于图乙所示变化的磁场中,则M、N两端的电势差UMN=-0.2 V
答案 AD
解析 a环置于磁场中,M点电势高,感应电流方向为逆时针,又因为原磁场磁感应强度增大,由楞次定律得,原磁场的方向垂直纸面向里,故选项A正确,B错误。a环与b环的半径之比为2∶1,故周长之比为2∶1,面积之比为4∶1,根据电阻定律R=ρlS,电阻之比为2∶1,M、N两点间电势差大小为路端电压,U=Rr+RE,根据法拉第电磁感应定律公式E=ΔBΔtS,两次电动势的大小之比为4∶1,故两次的路端电压之比为U1∶U2=2∶1,根据楞次定律可知,将b环置于磁场中,N点的电势高,故电势差 UMN=-0.2 V,故选项C错误,D正确。
6.如图所示,质量均为m的金属棒MN、PQ垂直于水平金属导轨放置且与导轨接触良好,金属棒MN与金属导轨间的动摩擦因数为2μ,金属棒PQ与金属导轨间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下。则金属棒MN在恒力F=3μmg作用下向右运动的过程中,有( )
A.安培力对MN棒做正功
B.PQ棒不受安培力作用
C.MN棒做加速度逐渐减小的加速运动,最终匀速运动
D.PQ棒始终静止,安培力对PQ不做功
答案 CD
解析 金属棒MN所受最大静摩擦力为Ff1=2μmg,在恒力F=3μmg作用下向右运动的过程中,产生NMPQN方向的电流,由左手定则可知,MN所受安培力方向向左,安培力对MN做负功,PQ受到向右的安培力,选项A、B错误。随着导体棒MN速度的增加,感应电流变大,安培力变大,MN的加速度减小,当满足F=2μmg+F安1,即F安1=μmg时,加速度为零,速度最大,以后将做匀速运动,选项C正确。此时PQ所受的安培力达到最大值,为F安2=μmg=Ff2,PQ始终保持静止,安培力对PQ不做功,选项D正确。
二、非选择题
7.如图甲所示,三角形单匝金属线框内有垂直于线框平面向外的匀强磁场,线框中磁通量随时间变化的规律如图乙所示,金属线框与阻值为2 Ω的定值电阻R连接,电压表为理想电压表,读数为2 V,连接电路的导线电阻不计。
(1)求电路中的感应电动势大小。
(2)求金属线框的电阻大小。
答案 (1)5 V (2)3 Ω
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律,可得E=nΔΦΔt,解得E=5 V。
(2)设金属线框的电阻大小为r,根据闭合电路欧姆定律可得I=ER+r,又I=UR,联立可得r=3 Ω。
8. 如图所示,A、B两单匝闭合圆形导线环用相同规格的导线制成,它们的半径之比rA∶rB=2∶1,在两导线环包围的空间内存在一正方形边界的匀强磁场区域,磁场方向垂直于两导线环所在的平面。在磁场的磁感应强度随时间均匀增大的过程中,流过两导线环的感应电流大小之比为( )
A.IAIB=1B.IAIB=2
C.IAIB=14D.IAIB=12
答案 D
解析 A、B两导线环的半径不同,它们所包围的面积不同,但某一时刻穿过它们的磁通量相等,所以两导线环上的磁通量变化率是相等的,E=ΔΦΔt相同,得EAEB=1,I=ER,R=ρlS1(S1为导线的横截面积),l=2πr,所以IAIB=EArBEBrA,代入数值得IAIB=rBrA=12。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.一单匝矩形金属线框置于匀强磁场中,线框平面与磁场方向垂直。先保持线框的面积不变,将磁感应强度在1 s时间内均匀地增大到原来的两倍。接着保持增大后的磁感应强度不变,在1 s时间内,将线框的面积均匀地减小到原来的一半。先后两个过程中,线框中感应电动势的比值为( )
A.12B.1
C.2D.4
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E=ΔΦΔt,设初始时刻线框面积为S0,初始时刻磁感应强度为B0,则第一种情况下的感应电动势为E1=(2B0-B0)S0Δt=B0S0Δt;第二种情况下的感应电动势为E2=2B0S0-S02Δt=B0S0Δt,所以两种情况下线框中的感应电动势相等,比值为1,故选项B正确。
2.如图所示,半径为R的n匝线圈套在边长为l的正方形abcd之外,匀强磁场垂直穿过该正方形,当磁场以ΔBΔt的变化率变化时,线圈产生的感应电动势的大小为( )
A.πR2ΔBΔtB.l2ΔBΔt
C.nπR2ΔBΔtD.nl2ΔBΔt
答案 D
解析 由题目条件可知,线圈中磁场的面积为l2,根据法拉第电磁感应定律可知,线圈中产生的感应电动势大小为E=nΔΦΔt=nl2ΔBΔt,故选项D正确。
3.两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为l,底端接阻值为R的电阻,将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示,除电阻R外其余电阻不计,现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放,则( )
A.金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为a→b
B.金属棒向下运动时弹簧弹力和安培力一直在增大
C.金属棒运动过程中所受安培力的方向始终与运动方向相反
D.金属棒减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能
答案 C
解析 根据右手定则可知,金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为b→a,选项A错误。导体棒向下运动过程中速度先增大后减小,故产生的安培力先增大后减小,选项B错误。金属棒向下运动过程中,产生的安培力向上,向上运动过程中,产生的安培力向下,选项C正确。金属棒减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能和弹性势能,选项D错误。
4.如图所示,Q是单匝金属线圈,M是一个螺线管,它的绕线方向没有画出,Q的输出端a、b和M的输入端c、d之间用导线相连,P是在M的正下方水平放置的用细导线绕制的软弹簧线圈。若在Q所处的空间加上与环面垂直的变化磁场,发现在t1至t2时间段内弹簧线圈处在收缩状态,则所加磁场的磁感应强度的变化情况可能是( )
答案 D
解析 在t1至t2时间段内弹簧线圈处在收缩状态,根据楞次定律的另一种表述“增缩减扩”,知螺线管M中产生的磁场在增加,即螺线管中的电流增大,根据法拉第电磁感应定律,E=nΔΦΔt=nΔBΔtS,知ΔBΔt增大,故选项D正确,A、B、C错误。
5.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落,一段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是( )
答案 ACD
解析 设ab棒的有效长度为l,S闭合时,若B2l2vR>mg,先减速再匀速,选项D有可能。若B2l2vR=mg,匀速,选项A有可能。若B2l2vR6.(2023·全国甲卷)一有机玻璃管竖直放在水平地面上,管上有漆包线绕成的线圈,线圈的两端与电流传感器相连,线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布,下部的3匝也均匀分布,下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离,如图甲所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落,电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图乙所示。则( )
A.磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B.下落过程中,磁体的N极、S极上下颠倒了8次
C.下落过程中,磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D.与上部相比,磁体通过线圈下部的过程中,磁通量变化率的最大值更大
答案 AD
解析 由题图乙可得,感应电流的峰值越来越大,说明感应电动势越来越大,小磁体在玻璃管内下降的速度越来越快,选项A正确。下落过程中,小磁体在接近、远离线圈的时候,电流的方向不断变化,并不是小磁体的N极、S极上下颠倒,选项B错误。感应电流的峰值越来越大,小磁体受到的电磁阻力不断变化,选项C错误。与线圈上部相比,小磁体通过线圈下部的过程中,感应电流的峰值更大,说明磁通量变化率的最大值更大,选项D正确。
二、非选择题
7.如图所示,MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l=0.5 m,导轨所在平面与水平面夹角为θ=37°,M、P间接阻值为R=9 Ω的电阻。匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直,磁感应强度大小为B=2 T。质量为m=0.1 kg、阻值为r=1 Ω的金属棒放在两导轨上,在平行于导轨的恒定拉力F=1 N作用下,从静止开始向上运动。已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触,导轨电阻不计,导轨和磁场足够大,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)当金属棒的速度为2 m/s时的加速度;
(2)金属棒能获得的最大速度;
(3)若金属棒从开始运动到获得最大速度在导轨上滑行的距离是2.5 m,这一过程中R上产生的焦耳热。
答案 (1)2 m/s2 (2)4 m/s (3)0.18 J
解析 (1)在沿斜面方向上,导体棒受到沿斜面向上的拉力、沿斜面向下的重力的分力以及安培力,根据牛顿第二定律可得F-B2l2vR+r-mgsin θ=ma
解得当金属棒的速度为2 m/s时的加速度为a=2 m/s2。
(2)当金属棒受力平衡时,速度最大,故F-B2l2vmR+r-mgsin θ=0,解得vm=4 m/s。
(3)根据动能定理可得WF-W安-WG=12mv2
又知道电阻R上产生的焦耳热为QR=RR+rW安
联立解得QR=0.18 J。
8.(多选)如图甲所示,水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R,导体棒MN放在导轨上且接触良好,整个装置放于垂直导轨平面的磁场中,磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正),MN始终保持静止,则0~t2时间内(不计初始时刻)( )
A.电容器C的电荷量大小始终没变
B.电容器C的a板先带正电后带负电
C.MN所受安培力的大小始终没变
D.MN所受安培力的方向先向右后向左
答案 AD
解析 由题图乙可知,磁感应强度均匀变化,根据公式E=nSΔBΔt可知,产生恒定电动势,由C=QU可知,感应电动势不变,电容器的电压U不变,则电荷量大小不变,故A正确;根据楞次定律可知MN中的感应电流方向由N到M,电容器的a极板一直带正电,故B错误;感应电流不变,由于磁感应强度的大小变化,MN所受安培力F=BIl,所以安培力的大小先减小后增大,方向先向右后向左,故C错误,D正确。
9.如图甲为健身用的单车,在人骑行时,车内的传感器可以把轮盘的速度值以及人体骑行消耗的能量转化为电信号显示在车头的显示屏上。它的工作原理可以简化成如图乙所示,其中a、b分别是从轮盘边缘和中心引出的导线的端点。已知匀强磁场磁感应强度B=2 T,方向与轮盘垂直,轮盘半径r=0.25 m,轮盘和导线电阻可忽略不计。某人在骑行时,保持轮盘边缘的线速度大小为v=8 m/s。
(1)请判断a、b哪一点电势高。
(2)求a、b两点间的电压。
(3)若在a、b间接一个阻值R=10 Ω的电阻,假定人体消耗的能量转化为电能的效率为50%,请问此人骑行该单车1小时,消耗了身体多少能量?
答案 (1)a点 (2)2 V (3)2 880 J
解析 (1)转动的轮盘相当于切割磁感线的导体,根据右手定则,可知在外电路中,电流由a点流向b点,所以a点电势高。
(2)由法拉第电磁感应定律得Uab=Brv2=2 V。
(3)由焦耳定律得电阻R一小时消耗的电能为Q=Uab2Rt=1 440 J
所以人骑行一小时消耗的能量E=Q50%=2 880 J。
磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)
物理意义
某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数
在某一过程中，穿过某个面的磁通量的变化量
穿过某个面的磁通量变化的快慢
当B、S互相垂直时的大小
Φ＝BS⊥
ΔΦ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Φ2－Φ1,B·ΔS,S·ΔB))
eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|Φ2－Φ1|,Δt),B·\f(ΔS,Δt),\f(ΔB,Δt)·S))
注意
若穿过的平面中有方向相反的磁场，则不能直接用Φ＝BS.Φ为抵消以后所剩余的磁通量
开始和转过180°时平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零
在Φ－t图像中，可用图线的斜率表示eq \f(ΔΦ,Δt)
公式
E=n
E=Blvsin θ
研究
对象
某个回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
内容
(1)求的是Δt时间内的平均感应电动势,E与某段时间或某个过程对应;
(2)当Δt→0时,E为瞬时感应电动势
(1)若v为瞬时速度,求的是瞬时感应电动势;
(2)若v为平均速度,求的是平均感应电动势;
(3)当B、l、v三者均不变时,平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用
范围
对任何电路普遍适用
只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系
(1)E=Blvsin θ是由E=nΔΦΔt在一定条件下推导出来的;
(2)整个回路的感应电动势为零时,回路中某段导体的感应电动势不一定为零
1.理解并掌握法拉第电磁感应定律，能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小.
2.能够运用E＝Blv或E＝Blvsin θ计算导体切割磁感线时产生的感应电动势.
科学探究
1.了解动生电动势的概念，知道导线切割磁感线，通过克服安培力做功把其他形式的能转化为电能．
一、电磁感应定律
1．感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
2.感应电动势与感应电流的关系
产生感应电动势的部分导体相当于电源,闭合导体回路中有感应电动势就有感应电流,若导体回路不闭合,则没有感应电流,但仍有感应电动势。
3．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，其中n为线圈的匝数．
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏(V)．
二、导线切割磁感线时的感应电动势
1．导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，如图1所示，E＝Blv.
图1 图2
2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图2所示，E＝Blvsin_θ.
3．导体棒切割磁感线产生感应电流，导体棒所受安培力的方向与导体棒运动方向相反，导体棒克服安培力做功，把其他形式的能转化为电能．
1．判断下列说法的正误．
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流．( × )
(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小．( × )
(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大．( × )
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．( √ )
(5)闭合电路置于磁场中，当磁感应强度很大时，感应电动势可能为零；当磁感应强度为零时，感应电动势可能很大．( √ )
2．图3甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E甲＝________，E乙＝________.
图3
答案 Blv Blvsin θ
一、对电磁感应定律的理解
如图4所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中．
图4
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用一根磁体和两根磁体以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)感应电动势的大小取决于什么？
答案 (1)磁通量的变化量相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大．
(2)用两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大．
(3)感应电动势的大小取决于eq \f(ΔΦ,Δt)的大小．
1．磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)的比较：
特别提示 (1)Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的大小没有直接关系,这一点可与运动学中v、Δv、ΔvΔt三者类比。(2)Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的大小与线圈的匝数n无关。
2.对法拉第电磁感应定律的理解
(1)E= neq \f(ΔΦ,Δt)一般用来求Δt时间内感应电动势的平均值。其中n为线圈匝数,ΔΦ总是取绝对值。
(2)常见感应电动势的计算式有:
①线圈面积S不变,磁感应强度B均匀变化:E=nΔBΔt·S。(ΔBΔt为B-t图像上某点切线的斜率的绝对值)
②磁感应强度B不变,线圈面积S均匀变化:E=nB·ΔSΔt。
(3)感应电动势E:其大小取决于穿过电路的磁通量的变化率ΔΦΔt,而与磁通量Φ的大小、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然的联系,与电路的电阻R无关;感应电流的大小与感应电动势E、回路总电阻R有关。
例1 (多选)如图甲所示线圈的匝数n=100,横截面积S=50 cm2,线圈总电阻r=10 Ω,沿轴向有匀强磁场,磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化,则在开始的0.1 s内( )
A.磁通量变化量的大小为0.25 Wb
B.磁通量的变化率为2.5×10-2 Wb/s
C.a、b间电压为零
D.在a、b间接一个理想电流表时,电流表的示数为0.25 A
答案 BD
解析 通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关,若设Φ2=B2S为正,则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ=B2S-(-B1S),代入数据即ΔΦ=(0.1+0.4)×50×10-4 Wb=2.5×10-3 Wb,A错误;磁通量的变化率ΔΦΔt=2.5×10-30.1 Wb/s=2.5×10-2 Wb/s,B正确;根据法拉第电磁感应定律可知,当a、b间断开时,其间电压等于线圈产生的感应电动势,感应电动势大小为E=nΔΦΔt=2.5 V且恒定,C错误;在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路,回路总电阻即为线圈的总电阻,故感应电流大小I=Er=0.25 A,D正确。
针对训练1 如图6甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω.在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：
图6
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；
(2)t＝5 s时，a、b两点哪点电势高；
(3)t＝5 s时，电阻R两端的电压U.
答案 (1)1 V (2)a点 (3)3.2 V
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(1 000×0.4－0.2×2×10－2,4) V＝1 V.
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在减弱，根据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即感应电流产生的磁场方向垂直纸面向里，由安培定则可知，线圈中产生顺时针方向的感应电流，故a点的电势高．
(3)由题图知，在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝neq \f(|ΔΦ′|,Δt)＝eq \f(1 000×|0－0.4|×2×10－2,2) V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝eq \f(E′,R＋r)＝eq \f(4,4＋1) A＝0.8 A
故电阻R两端的电压U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V.
例2 （2023春•阿勒泰地区期末）如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀的增大到2B．在此过程中，线圈中产生的感应电动势为（ ）
A．Ba22ΔtB．nBa22ΔtC．nBa2ΔtD．2nBa2Δt
答案 B
解析 在此过程中，线圈中的磁通量改变量大小为：
△Φ=(2B-B)×a22=Ba22Φ，
根据法拉第电磁感应定律得：E=n△ϕΔt=n△BΔtS=nBa22Δt，故B正确ACD错误；
针对训练2 （2023春•天津期末）如图所示，置于匀强磁场中的闭合金属线圈，磁场方向垂直线圈平面向里，当磁感应强度随时间均匀减小时，线圈中将产生（ ）
A．顺时针方向恒定的电流
B．逆时针方向恒定的电流
C．顺时针方向逐渐减小的电流
D．逆时针方向逐渐减小的电流
答案 A
解析 磁感应强度减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向，
磁感应强度随时间均匀减小，可知ΔBΔt不变，
由E=nΔΦΔt=nΔBΔtS可知E不变，
由闭合电路欧姆定律I=ER可知电流不变，故A正确，BCD错误。
二、导线切割磁感线时的感应电动势
1.如图甲所示,闭合电路的一部分导体ab处于匀强磁场中,磁感应强度为B,ab的长度为l,ab以速度v匀速切割磁感线,求回路中产生的感应电动势。
2.若将轨道一端抬高,如图乙所示,直导线ab仍与磁场垂直,但速度与磁感线方向有一个夹角θ(θ≠90°),则此时直导线上产生的感应电动势表达式是什么?
答案 1.设在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1,如图丙所示,这时线框面积的变化量为ΔS=lvΔt
穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS=BlvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E=ΔΦΔt=Blv。
2.设在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1,如图丁所示,这时线框面积的变化量为ΔS=lvΔt
穿过闭合电路磁通量的变化量为
ΔΦ=BΔSsin θ=BlvΔtsin θ
根据法拉第电磁感应定律得E=ΔΦΔt=Blvsin θ。
1．导线切割磁感线时感应电动势表达式的推导
如图8所示，闭合电路一部分导线ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为l，ab以速度v匀速垂直切割磁感线．
图8
则在Δt内穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝Blv.
2．对公式的理解
(1)当B、l、v三个量的方向互相垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向互相平行时，导线将不切割磁感线，E＝0.
(2)当l垂直B且l垂直v，而v与B成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ.
(3)若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度．
图9
图9甲中的有效切割长度为：L＝eq \x\t(cd)sin θ；
图乙中的有效切割长度为：L＝eq \x\t(MN)；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，L＝eq \r(2)R；沿v2的方向运动时，L＝R.
3.导体转动切割磁感线产生的电动势
如图所示,长为l的导体棒ab以a为圆心,以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动,其感应电动势可从两个角度推导。
图10
(1)棒上各点速度不同,其平均速度v=12ωl,由E=Blv得棒上感应电动势大小为E=Bl·12ωl=12Bl2ω。
(2)若经时间Δt,棒扫过的面积为ΔS=πl2ω·Δt2π=12l2ω·Δt,磁通量的变化量ΔΦ=B·ΔS=12Bl2ω·Δt,由E=ΔΦΔt得棒上感应电动势大小为E=12Bl2ω。
4.公式E=nΔΦΔt与E=Blvsin θ的区别与联系
类型一 导体平动切割磁感线
例3 如图所示,MN、PQ为两条平行放置的金属导轨,左端接有定值电阻R,金属棒ab斜放在两导轨之间,与导轨接触良好,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面,设金属棒与两导轨接触点之间的距离为l,金属棒与导轨间夹角为60°,以速度v水平向右匀速运动,不计导轨和棒的电阻,则流过金属棒中的电流为( )
A.I=BlvRB.I=3Blv2R C.I=Blv2RD.I=3Blv3R
答案 B
解析 B与l、B与v是相互垂直的,但l与v不垂直,故l垂直于v的长度lsin θ
即为有效切割长度,所以E=Blvsin 60°=32Blv,由欧姆定律I=ER得I=3Blv2R,选项B正确。
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)与E＝Blv的比较
1．区别：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)研究的是整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中Δt内的平均感应电动势；E＝Blv研究的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体做切割磁感线运动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．
2．联系：E＝Blv是由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)在一定条件下推导出来的，该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论．
针对训练3 (2023湖南邵阳期末)如图所示,间距为l的U形导轨固定在水平面上,垂直导轨向下的匀强磁场磁感应强度为B。质量为m、电阻为r的金属杆PQ沿着粗糙U形导轨以初速度v开始水平向右滑行,金属杆PQ与U形导轨之间的动摩擦因数为μ,ab间电阻为R,导轨电阻忽略不计,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.通过金属杆的电流由P到Q
B.PQ开始运动时ab间的电压为Blv
C.PQ运动的过程中系统产生的焦耳热为12mv2
D.开始运动时PQ的加速度大小为B2l2vm(R+r)+μg
答案 D
解析 根据右手定则可知,金属杆中的电流由Q到P,故A错误;PQ开始运动时产生的电动势为E=Blv,ab间的电压为U=Rr+RBlv,故B错误;根据功能关系可知,PQ运动的过程中有12mv2=Q+Wf,所以系统产生的焦耳热小于12mv2,故C错误;开始运动时PQ受到向左的摩擦力和安培力,两力的合力提供加速度,有F安+μmg=ma,而F安=BIl=B2l2vR+r,联立可得加速度大小为a=B2l2vm(R+r)+μg,故D正确。
类型二 导体转动切割磁感线
例4 长为l的金属棒ab以a点为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动,如图所示,磁感应强度为B。求:
(1)ab棒的平均速率。
(2)ab两端的电势差。
(3)经时间Δt金属棒ab扫过的面积中磁通量为多少?此过程中平均感应电动势多大?
答案 (1)12ωl (2)12Bl2ω (3)12Bl2ωΔt 12Bl2ω
解析 (1)ab棒的平均速率v=va+vb2=0+ωl2=12ωl。
(2)ab两端的电势差E=Blv=12Bl2ω。
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过的扇形面积为ΔS,则
ΔS=12l2θ=12l2ωΔt,ΔΦ=BΔS=12Bl2ωΔt。
由法拉第电磁感应定律得
E=ΔΦΔt=12Bl2ωΔtΔt=12Bl2ω。
针对训练4 (多选)(2022山东卷)如图所示,xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为2l的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为l的正方形金属框绕其始终在O点的顶点,在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动。t=0时刻,金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响,关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是( )
A.在t=0到t=π2ω的过程中,E一直增大
B.在t=0到t=π2ω的过程中,E先增大后减小
C.在t=0到t=π4ω的过程中,E的变化率一直增大
D.在t=0到t=π4ω的过程中,E的变化率一直减小
答案 BC
解析 根据电磁感应定律有E=Bl切2ω2,l切为切割磁感线的有效长度;当t=π4ω,即转过π4时,l切最大,电动势E最大,所以t=0到t=π2ω,即转动角度0~π2的过程中,E先增大后减小,选项A错误,B正确。设0~t时刻,金属框转动的角度为α,在t=0到t=π4ω,即转动角度0~π4过程中,E=Bl切2ω2=Bl2ω2cs2α=Bl2ω2cs2ωt,对其求导可得,ΔEΔt=Bl2ω2tanωtcs2ωt=2Bl2ω2tanωtcs2ωt+1,在t=0到t=π4ω过程中,tan ωt在增大,cs 2ωt在减小,可知,E的变化率一直增大,选项C正确,D错误。
1.(导体切割磁感线时的感应电动势)(多选)一根直导线长0.1 m,在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中以10 m/s的速度匀速运动,则导线中产生的感应电动势( )
A.一定为0.1 V B.可能为零
C.可能为0.01 V D.最大值为0.1 V
答案 BCD
解析 当公式E=Blv中B、l、v互相垂直,且全部导体切割磁感线运动时,感应电动势最大,最大为Em=Blv=0.1×0.1×10 V=0.1 V,当B、l、v中任意两个量平行时,感应电动势为零,故B、C、D正确,A错误。
2.(法拉第电磁感应定律)(多选)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴垂直于磁场,若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图所示,则0~D过程中( )
A.线圈中0时刻感应电动势最大
B.线圈中D时刻感应电动势为零
C.线圈中D时刻感应电动势最大
D.线圈中0至D时间内平均感应电动势为0.4 V
答案 ABD
解析 由法拉第电磁感应定律知线圈中0至D时间内的平均感应电动势E=ΔΦΔt=2×10-30.012 V=0.4 V,D项正确;由感应电动势的物理意义知,感应电动势的大小与磁通量的大小Φ和磁通量的改变量ΔΦ均无必然联系,仅由磁通量的变化率ΔΦΔt决定,而任何时刻磁通量的变化率ΔΦΔt就是Φ-t图像上该时刻切线的斜率,不难看出0时刻处切线斜率最大,D点处切线斜率最小且为零,故A、B正确,C错误。
3.(导体切割磁感线时的感应电动势)如图所示,空间有一匀强磁场,一直金属棒与磁感应强度方向垂直,当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时,棒两端的感应电动势大小为ε,将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线,置于与磁感应强度相垂直的平面内,当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时,棒两端的感应电动势大小为ε'。则ε'ε等于( )
A.12B.22C.1D.2
答案 B
解析 设折弯前导体切割磁感线的长度为l0,ε=Bl0v;折弯后,导体切割磁感线的有效长度为l=l022+l022=22l0,故产生的感应电动势为ε'=Blv=B·22l0v=22ε,所以ε'ε=22,B正确。
4.(法拉第电磁感应定律)(2022全国甲卷)三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框,正方形线框的边长与圆线框的直径相等,圆线框的半径与正六边形线框的边长相等,如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中,线框所在平面均与磁场方向垂直,正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则( )
A.I1
C.I1=I2>I3 D.I1=I2=I3
答案 C
解析 设正方形的边长为2a,由几何关系可得,正方形的面积为S1=(2a)2,圆形的面积为S2=πa2,正六边形的面积为S3=6×12a×32a=332a2,三个线框的周长分别为D1=8a,D2=2πa,D3=6a,故根据法拉第电磁感应定律,有E=SΔBΔt,回路电阻R=ρDS',回路电流I=ER,解得I1∶I2∶I3=2∶2∶3,选项C正确,A、B、D错误。
5.(导体切割磁感线时的感应电动势)如图所示,导轨OM和ON都在纸面内,导体AB可在导轨上无摩擦滑动,AB⊥ON,若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑,导体与导轨都足够长,匀强磁场的磁感应强度为0.2 T。求:
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少?此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大?
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少?此过程中的平均感应电动势为多少?
答案 (1)53 m 53 V (2)1532 Wb 523 V
解析 (1)第3 s末,夹在导轨间导体的长度为l=vt·tan 30°=5×3×tan 30°
m=53 m
此时E=Blv=0.2×53×5 V=53 V。
(2)3 s内回路中磁通量的变化量为
ΔΦ=BS-0=0.2×12×15×53 Wb=1532 Wb
3 s内电路中产生的平均感应电动势为
E=ΔΦΔt=15323 V=523 V。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.下列说法正确的是( )
A.线圈中磁通量变化越大,线圈中产生的感应电动势一定越大
B.线圈中磁通量越大,线圈中产生的感应电动势一定越大
C.线圈处在磁场越强的位置,线圈中产生的感应电动势一定越大
D.线圈中磁通量变化得越快,线圈中产生的感应电动势越大
答案 D
解析 线圈中产生的感应电动势E=nΔΦΔt,即E与ΔΦΔt成正比,与Φ或ΔΦ的大小无直接关系。磁通量变化越快,即ΔΦΔt越大,产生的感应电动势越大,故只有选项D正确。
2.如图所示,光滑铜环水平固定,半径为l,长为l、电阻为r的铜棒OA的一端在铜环的圆心O处,另一端与铜环接触良好,整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。现使铜棒OA以角速度ω逆时针(俯视)匀速转动,A端始终在铜环上,定值电阻的阻值为3r,上方导线与O点连接,下方导线与铜环连接,其他电阻不计。下列说法正确的是( )
A.O点的电势比A点的电势高
B.回路中通过的电流为ωBl24r
C.该定值电阻两端的电压为38ωBl2
D.该定值电阻上的热功率为ω2B2l416r
答案 C
解析 由右手定则可知电流方向从O点指向A点,OA是电源,电流从低电势流向高电势,故O点的电势比A点的电势低,故选项A错误。由法拉第电磁感应定律可知E=Bl0+lω2=12Bl2ω,由闭合电路欧姆定律可知回路中通过的电流为I=Er+3r=E4r,两式联立可得I=Bl2ω8r,故选项B错误。该定值电阻两端的电压为U=I·3r,将前面求得的电流代入可得U=38ωBl2,故选项C正确。由焦耳定律可知该定值电阻上的热功率P=I2·3r=3ω2B2l464r,故选项D错误。
3.(2023·辽宁卷)如图所示,空间中存在水平向右的匀强磁场,一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动,且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是( )
答案 C
解析 设导体棒长为L,匀速转动的角速度为ω,线速度大小为v,t时刻导体棒相对竖直轴OP转动的角度为θ,如图所示
在t时刻导体棒的线速度沿垂直磁场方向的分速度大小v1=vcs θ,其中θ=ωt,由法拉第电磁感应定律可得u=BLv1=BLvcs ωt,可知导体棒两端的电势差u随时间t按余弦规律变化,选项C正确,A、B、D错误。
4.如图所示,一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场,直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止,下列结论错误的是( )
A.感应电流方向不变
B.CD段直线始终不受安培力
C.感应电动势最大值E=Bav
D.感应电动势平均值E=14πBav
答案 B
解析 在闭合回路进入磁场的过程中,通过闭合回路的磁通量逐渐增大,根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针,方向不变,选项A正确,不符合题意。根据左手定则可以判断,CD段受安培力向下,选项B错误,符合题意。当半圆闭合回路进入磁场一半时,等效长度最大,为a,这时感应电动势最大,为E=Bav,选项C正确,不符合题意。感应电动势平均值E=ΔΦΔt=B·12πa22av=14πBav,选项D正确,不符合题意。
5.如图甲所示,圆环a和b均由相同的均匀导线制成,a环半径是b环的两倍,两环用不计电阻且彼此靠得较近的导线连接。若仅将a环置于图乙所示变化的磁场中,则导线上M、N两点的电势差UMN=0.4 V。下列说法正确的是( )
A.图乙中,变化磁场的方向垂直纸面向里
B.图乙中,变化磁场的方向垂直纸面向外
C.若仅将b环置于图乙所示变化的磁场中,则M、N两端的电势差UMN=-0.4 V
D.若仅将b环置于图乙所示变化的磁场中,则M、N两端的电势差UMN=-0.2 V
答案 AD
解析 a环置于磁场中,M点电势高,感应电流方向为逆时针,又因为原磁场磁感应强度增大,由楞次定律得,原磁场的方向垂直纸面向里,故选项A正确,B错误。a环与b环的半径之比为2∶1,故周长之比为2∶1,面积之比为4∶1,根据电阻定律R=ρlS,电阻之比为2∶1,M、N两点间电势差大小为路端电压,U=Rr+RE,根据法拉第电磁感应定律公式E=ΔBΔtS,两次电动势的大小之比为4∶1,故两次的路端电压之比为U1∶U2=2∶1,根据楞次定律可知,将b环置于磁场中,N点的电势高,故电势差 UMN=-0.2 V,故选项C错误,D正确。
6.如图所示,质量均为m的金属棒MN、PQ垂直于水平金属导轨放置且与导轨接触良好,金属棒MN与金属导轨间的动摩擦因数为2μ,金属棒PQ与金属导轨间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下。则金属棒MN在恒力F=3μmg作用下向右运动的过程中,有( )
A.安培力对MN棒做正功
B.PQ棒不受安培力作用
C.MN棒做加速度逐渐减小的加速运动,最终匀速运动
D.PQ棒始终静止,安培力对PQ不做功
答案 CD
解析 金属棒MN所受最大静摩擦力为Ff1=2μmg,在恒力F=3μmg作用下向右运动的过程中,产生NMPQN方向的电流,由左手定则可知,MN所受安培力方向向左,安培力对MN做负功,PQ受到向右的安培力,选项A、B错误。随着导体棒MN速度的增加,感应电流变大,安培力变大,MN的加速度减小,当满足F=2μmg+F安1,即F安1=μmg时,加速度为零,速度最大,以后将做匀速运动,选项C正确。此时PQ所受的安培力达到最大值,为F安2=μmg=Ff2,PQ始终保持静止,安培力对PQ不做功,选项D正确。
二、非选择题
7.如图甲所示,三角形单匝金属线框内有垂直于线框平面向外的匀强磁场,线框中磁通量随时间变化的规律如图乙所示,金属线框与阻值为2 Ω的定值电阻R连接,电压表为理想电压表,读数为2 V,连接电路的导线电阻不计。
(1)求电路中的感应电动势大小。
(2)求金属线框的电阻大小。
答案 (1)5 V (2)3 Ω
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律,可得E=nΔΦΔt,解得E=5 V。
(2)设金属线框的电阻大小为r,根据闭合电路欧姆定律可得I=ER+r,又I=UR,联立可得r=3 Ω。
8. 如图所示,A、B两单匝闭合圆形导线环用相同规格的导线制成,它们的半径之比rA∶rB=2∶1,在两导线环包围的空间内存在一正方形边界的匀强磁场区域,磁场方向垂直于两导线环所在的平面。在磁场的磁感应强度随时间均匀增大的过程中,流过两导线环的感应电流大小之比为( )
A.IAIB=1B.IAIB=2
C.IAIB=14D.IAIB=12
答案 D
解析 A、B两导线环的半径不同,它们所包围的面积不同,但某一时刻穿过它们的磁通量相等,所以两导线环上的磁通量变化率是相等的,E=ΔΦΔt相同,得EAEB=1,I=ER,R=ρlS1(S1为导线的横截面积),l=2πr,所以IAIB=EArBEBrA,代入数值得IAIB=rBrA=12。
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.一单匝矩形金属线框置于匀强磁场中,线框平面与磁场方向垂直。先保持线框的面积不变,将磁感应强度在1 s时间内均匀地增大到原来的两倍。接着保持增大后的磁感应强度不变,在1 s时间内,将线框的面积均匀地减小到原来的一半。先后两个过程中,线框中感应电动势的比值为( )
A.12B.1
C.2D.4
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E=ΔΦΔt,设初始时刻线框面积为S0,初始时刻磁感应强度为B0,则第一种情况下的感应电动势为E1=(2B0-B0)S0Δt=B0S0Δt;第二种情况下的感应电动势为E2=2B0S0-S02Δt=B0S0Δt,所以两种情况下线框中的感应电动势相等,比值为1,故选项B正确。
2.如图所示,半径为R的n匝线圈套在边长为l的正方形abcd之外,匀强磁场垂直穿过该正方形,当磁场以ΔBΔt的变化率变化时,线圈产生的感应电动势的大小为( )
A.πR2ΔBΔtB.l2ΔBΔt
C.nπR2ΔBΔtD.nl2ΔBΔt
答案 D
解析 由题目条件可知,线圈中磁场的面积为l2,根据法拉第电磁感应定律可知,线圈中产生的感应电动势大小为E=nΔΦΔt=nl2ΔBΔt,故选项D正确。
3.两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为l,底端接阻值为R的电阻,将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示,除电阻R外其余电阻不计,现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放,则( )
A.金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为a→b
B.金属棒向下运动时弹簧弹力和安培力一直在增大
C.金属棒运动过程中所受安培力的方向始终与运动方向相反
D.金属棒减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能
答案 C
解析 根据右手定则可知,金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为b→a,选项A错误。导体棒向下运动过程中速度先增大后减小,故产生的安培力先增大后减小,选项B错误。金属棒向下运动过程中,产生的安培力向上,向上运动过程中,产生的安培力向下,选项C正确。金属棒减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能和弹性势能,选项D错误。
4.如图所示,Q是单匝金属线圈,M是一个螺线管,它的绕线方向没有画出,Q的输出端a、b和M的输入端c、d之间用导线相连,P是在M的正下方水平放置的用细导线绕制的软弹簧线圈。若在Q所处的空间加上与环面垂直的变化磁场,发现在t1至t2时间段内弹簧线圈处在收缩状态,则所加磁场的磁感应强度的变化情况可能是( )
答案 D
解析 在t1至t2时间段内弹簧线圈处在收缩状态,根据楞次定律的另一种表述“增缩减扩”,知螺线管M中产生的磁场在增加,即螺线管中的电流增大,根据法拉第电磁感应定律,E=nΔΦΔt=nΔBΔtS,知ΔBΔt增大,故选项D正确,A、B、C错误。
5.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落,一段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是( )
答案 ACD
解析 设ab棒的有效长度为l,S闭合时,若B2l2vR>mg,先减速再匀速,选项D有可能。若B2l2vR=mg,匀速,选项A有可能。若B2l2vR
A.磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B.下落过程中,磁体的N极、S极上下颠倒了8次
C.下落过程中,磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D.与上部相比,磁体通过线圈下部的过程中,磁通量变化率的最大值更大
答案 AD
解析 由题图乙可得,感应电流的峰值越来越大,说明感应电动势越来越大,小磁体在玻璃管内下降的速度越来越快,选项A正确。下落过程中,小磁体在接近、远离线圈的时候,电流的方向不断变化,并不是小磁体的N极、S极上下颠倒,选项B错误。感应电流的峰值越来越大,小磁体受到的电磁阻力不断变化,选项C错误。与线圈上部相比,小磁体通过线圈下部的过程中,感应电流的峰值更大,说明磁通量变化率的最大值更大,选项D正确。
二、非选择题
7.如图所示,MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l=0.5 m,导轨所在平面与水平面夹角为θ=37°,M、P间接阻值为R=9 Ω的电阻。匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直,磁感应强度大小为B=2 T。质量为m=0.1 kg、阻值为r=1 Ω的金属棒放在两导轨上,在平行于导轨的恒定拉力F=1 N作用下,从静止开始向上运动。已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触,导轨电阻不计,导轨和磁场足够大,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)当金属棒的速度为2 m/s时的加速度;
(2)金属棒能获得的最大速度;
(3)若金属棒从开始运动到获得最大速度在导轨上滑行的距离是2.5 m,这一过程中R上产生的焦耳热。
答案 (1)2 m/s2 (2)4 m/s (3)0.18 J
解析 (1)在沿斜面方向上,导体棒受到沿斜面向上的拉力、沿斜面向下的重力的分力以及安培力,根据牛顿第二定律可得F-B2l2vR+r-mgsin θ=ma
解得当金属棒的速度为2 m/s时的加速度为a=2 m/s2。
(2)当金属棒受力平衡时,速度最大,故F-B2l2vmR+r-mgsin θ=0,解得vm=4 m/s。
(3)根据动能定理可得WF-W安-WG=12mv2
又知道电阻R上产生的焦耳热为QR=RR+rW安
联立解得QR=0.18 J。
8.(多选)如图甲所示,水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R,导体棒MN放在导轨上且接触良好,整个装置放于垂直导轨平面的磁场中,磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正),MN始终保持静止,则0~t2时间内(不计初始时刻)( )
A.电容器C的电荷量大小始终没变
B.电容器C的a板先带正电后带负电
C.MN所受安培力的大小始终没变
D.MN所受安培力的方向先向右后向左
答案 AD
解析 由题图乙可知,磁感应强度均匀变化,根据公式E=nSΔBΔt可知,产生恒定电动势,由C=QU可知,感应电动势不变,电容器的电压U不变,则电荷量大小不变,故A正确;根据楞次定律可知MN中的感应电流方向由N到M,电容器的a极板一直带正电,故B错误;感应电流不变,由于磁感应强度的大小变化,MN所受安培力F=BIl,所以安培力的大小先减小后增大,方向先向右后向左,故C错误,D正确。
9.如图甲为健身用的单车,在人骑行时,车内的传感器可以把轮盘的速度值以及人体骑行消耗的能量转化为电信号显示在车头的显示屏上。它的工作原理可以简化成如图乙所示,其中a、b分别是从轮盘边缘和中心引出的导线的端点。已知匀强磁场磁感应强度B=2 T,方向与轮盘垂直,轮盘半径r=0.25 m,轮盘和导线电阻可忽略不计。某人在骑行时,保持轮盘边缘的线速度大小为v=8 m/s。
(1)请判断a、b哪一点电势高。
(2)求a、b两点间的电压。
(3)若在a、b间接一个阻值R=10 Ω的电阻,假定人体消耗的能量转化为电能的效率为50%,请问此人骑行该单车1小时,消耗了身体多少能量?
答案 (1)a点 (2)2 V (3)2 880 J
解析 (1)转动的轮盘相当于切割磁感线的导体,根据右手定则,可知在外电路中,电流由a点流向b点,所以a点电势高。
(2)由法拉第电磁感应定律得Uab=Brv2=2 V。
(3)由焦耳定律得电阻R一小时消耗的电能为Q=Uab2Rt=1 440 J
所以人骑行一小时消耗的能量E=Q50%=2 880 J。
磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)
物理意义
某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数
在某一过程中，穿过某个面的磁通量的变化量
穿过某个面的磁通量变化的快慢
当B、S互相垂直时的大小
Φ＝BS⊥
ΔΦ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Φ2－Φ1,B·ΔS,S·ΔB))
eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|Φ2－Φ1|,Δt),B·\f(ΔS,Δt),\f(ΔB,Δt)·S))
注意
若穿过的平面中有方向相反的磁场，则不能直接用Φ＝BS.Φ为抵消以后所剩余的磁通量
开始和转过180°时平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零
在Φ－t图像中，可用图线的斜率表示eq \f(ΔΦ,Δt)
公式
E=n
E=Blvsin θ
研究
对象
某个回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
内容
(1)求的是Δt时间内的平均感应电动势,E与某段时间或某个过程对应;
(2)当Δt→0时,E为瞬时感应电动势
(1)若v为瞬时速度,求的是瞬时感应电动势;
(2)若v为平均速度,求的是平均感应电动势;
(3)当B、l、v三者均不变时,平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用
范围
对任何电路普遍适用
只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系
(1)E=Blvsin θ是由E=nΔΦΔt在一定条件下推导出来的;
(2)整个回路的感应电动势为零时,回路中某段导体的感应电动势不一定为零
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