初中数学的经典解题法

这是一份初中数学的经典解题法，共7页。试卷主要包含了一个等式等内容，欢迎下载使用。
在初中数学的学习中，我们主要应用的就是完全平方式，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
以用配方法解一元二次方程为例，我们主要介绍下它的解题步骤：
（1）移项：把常数项移到方程的右边；
（2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
（3）变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
（4）开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解。
因式分解法
因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有拆项添项、求根分解、换元、待定系数等需要同学们对此有一定的了解和掌握。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
多项式因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
换元法
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，让问题易于解决。
换元法的一般步骤：
（1）在题目中寻找各项共同项或者可替换的项
（2）将想要替换的式子进行设元
（3）根据设元后的结果重新整理式子
（4）寻找设元后化简的式子与设元的关系
（5）进行求解并化简
判别式与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，也可以在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中有所应用。
◆ 常见的求解类型：
（1）已知一元二次方程的一个根，求另一根；
（2）已知两个数的和与积，求这两个数；
（3）求根的对称函数；
（4）讨论二次方程根的符号，解方程组；
（5）根和系数之间的关系等。
◆韦达定理的应用在初中数学的学习中尤为重要，我们需要注意以下事项：
（1） 注意根的符号
（2） 注意用韦达定理的前提条件
（3） 注意结论的隐蔽条件
（4） 注意用方程根的定义转化方程
（5） 注意韦达定理逆定理的运用
待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，根据题设条件列出关于待定系数的等式，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法，它是中学数学中常用的方法之一。
使用待定系数法的解题步骤是：
（1）确定所求问题所含有待定系数的解析式
（2）根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程
（3）解方程组或者消去待定系数，从而使问题得以解决
待定系数法在求解函数解析式的问题，以及在最值问题的若干应用相对较广，同学们务必对此用法引起重视。
构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。
通过挖掘题目中潜在的信息，构造与之相关的函数，将陌生问题转化为熟悉问题，可使问题顺利解决。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
如：构造法在几何中的应用
遇60度旋60度，造等边三角形；
遇90度旋90度，造等腰直角；
遇等腰旋顶点，造旋转全等；
遇中点旋180度，造中心对称。
面积法
平面几何中讲的面积公式，以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，还可以运用面积关系来证明或计算平面几何题。
面积问题主要涉及以下两部分内容：
(一）怎样证明面积相等——理论依据
1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比，同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4。
7. 三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
(二）用面积法解几何问题
（1）常用的解题思路
1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
（2）用面积法证线段相等
几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。
几何变换包括：
01
平移
①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
02
旋转
①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，旋转180即为中心对称。
②经过旋转，图形每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
03
对称
轴对称：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
证明一个命题时，命题中若出现逻辑词语，如“至少”、“最少”、“至多“字眼时，大多数情况下，这种问题是采用反证法来解决。
(1) 假设命题的结论不成立；
(2) 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。