江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

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这是一份江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知，，则，定义两种运算，，则函数为，设，，且恒成立，则n的最大值是，已知函数，则，下列说法正确的是，有下列四种说法，正确的说法有等内容，欢迎下载使用。

1．若函数是幂函数且为奇函数，则m的值为（）
A．2B．3C．4D．2或4
2．已知，，则（）
A．B．C．D．
3．定义两种运算，，则函数为（）
A．奇函数B．偶函数
C．奇函数且为偶函数D．非奇且非偶函数
4．设，，且恒成立，则n的最大值是（）
A．2B．3C．4D．6
5．若函数，若，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
6．已知偶函数在上是减函数，且，则x的取值范围是（）
A．B．
C．D．
7．已知函数是偶函数，则实数k的值为（）
A．B．C．D．
8．已知函数，则（）
A．B．0C．2D．
二．多选题（共4小题）
9．下列说法正确的是（）
A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数
B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数
C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数
D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数
10．有下列四种说法，正确的说法有（）
A．幂函数的图象一定不过第四象限；
B．奇函数图象一定过坐标原点；
C．命题“，”的否定是“，”
D．定义在R上的函数对任意两个不等实数a、b，总有成立，则在R上是增函数
11．某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（）
A．等式对恒成立；
B．若，则一定有；
C．若，方程有两个不等实数根；
D．函数在R上有三个零点．
12．已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（）
A．B．C．D．
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，则____________．
14．若实数，且，则的最小值是____________．
15．已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则在上的最小值为____________．
16．函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是____________．
四．解答题（共6小题）
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
18．（1）设a，b，c，d为实数，求证：；
（2）已知，求证：．
19．已知奇函数满足，且当时，．
（1）证明：；
（2）求的值．
20．已知正数a，b满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
21．定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且．
（1）求函数与的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值．
22．已知函数的定义域为，且．当时，．
（1）求；
（2）证明：函数在为增函数；
（3）如果，解不等式．
南京外国语2023~2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷
答案
1．【答案】D
【解答】解：∵函数为幂函数，
∴，
∴或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是奇函数，满足题意；
∴或4，
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：由，，得到，即，
由B中，得到，
则，
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：结合题中新定义的运算有：
，
函数有意义，则：，求解不等式可得函数的定义域为，
则函数的解析式为：
据此有：，
据此可得函数是奇函数．
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：∵恒成立
∴恒成立
∴的最小值
∵
得．
故选：C．
5．【答案】B
【解答】解：①当时，即，
即，
所以，
解得；
当时，即，
所以，
解得：，
综上：，
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：∵为偶函数，∴，
则即为，
又在上是减函数，
∴，即，解得，
故选：C．
7．【答案】C
【解答】解：∵是偶函数，
∴，
即，
∴，即，
即，∴．
故选：C
8．【答案】D
【解答】解：
∴，
∴．
故选：D．
9．【答案】BC
【解答】解：对A：若函数在R上为增函数，则对于任意且，则定成立，
若成立，不具有一般性，比如不一定成立，所以函数在R上不一定是增函数，故A错误；
对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立，
则若，函数在R上不是减函数，故B正确；
对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数，
则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确；
对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数，
而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误；
故选：BC．
10．【答案】ACD
【解答】对于A，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，A正确；
对于B，奇函数的图象不一定过坐标原点，如的图象，∴B错误；
对于C，命题“，”的否定是“，”，C正确；
对于D，根据题意知，时，，时，，
由单调性的定义知，在R上是增函数，D正确；
故选：ACD．
11．【答案】AB
【解答】对于A，因为，所以是奇函数，故对恒成立，即A正确；
对于B，则当时，反比例函数的单调性可知，在上是增函数
再由①知在上也是增函数，从而为单调递增函数，
所以，则一定有成立，故B正确；
对于C，因为为单调递增函数，所以为偶函数，因为在为单调递增函数，所以函数在上单调递减，且，所以当时有两个不相等的实数根，当时不可能有两个不等的实数根，故C错误；
对于D，可以判断为奇函数，并且在上单调递减，即在上，在上单调递减，即在上，故函数在R上有一个零点．D错误；
故答案为：AB．
12．【答案】AD
【解答】根据题意，作图如下：
如图所示：，．
故AD正确
故答案为：AD
13．【答案】1
【解答】解：∵
，
∴．
故答案为：1．
14．【答案】21
【解答】解：因为，所以，，
所以，
当且仅当即，时等号成立，
所以，即，
所以的最小值是21．
故答案为：21．
15．【答案】
【解答】解：因为对任意非零实数x，均有，
所以，解得，
所以，解得，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
即在上的最小值为．
故答案为：．
16．【答案】
【解答】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且，
即在R上成立，且．
而，当且仅当时，即时等号成立，
故，且，即k的取值范围是．
故答案为：．
17．【答案】（1）9；（2）1
【解答】解：（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴
．
18．【答案】证明见解析
【解答】证明：（1）
，当且仅当时，等号成立，
故；
（2），
则，
，
故．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）
【解答】解：（1）∵奇函数满足，∴，∴周期是4，故有
（2）．
20．【答案】（1）；（2）18
【解答】（1）因为，，且，则，
所以，
当且仅当，即，即，时等号成立，
故的最小值为．
（2）因为，，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为18．
21．【答案】（1），；（2）见解析
【解答】（1）根据题意，，
则，①
又由是偶函数，是奇函数，则有，②
联立①②可得：，．
（2）根据题意，，
当时，在区间上递减，其最小值为，
当时，在区间上递减，上递增，其最小值为．
故当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为．
22．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）
【解答】（1）∵，
令，则，
∴；
（2）证明：由，
可得，则，
设，，
又，
∴，，
即，
所以函数在为增函数；
（3）∵，∴，
∴，∴，
由，得
从而得到，
解得．