2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，函数的极值，f′x＜0，f′x＞0，极值点，fafb，考点突破题型剖析，若a≠0，①若a＜－1时，即a＝－e2等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧___________.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧___________.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______.
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值_______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
2.函数的最大(小)值
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
解析　(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.(　　)(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(　　)(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)(4)函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号为左负右正.
∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时，y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减，
∴当x＝38时，函数取值最大值，
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，
5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_______________________.
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
例1 (多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　)
角度1　根据函数图象判断极值
解析　根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确.因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.
令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
角度2　求已知函数的极值
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解　由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.
角度3　由函数的极值求参数
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
训练1 (1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
此时，f(x)在x＝－2处取得极大值，符合题意.
∴f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意；
∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意；
当x＞－2时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意.综上，a的取值范围为(－∞，－1).
当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得4x＋y－5＝0.
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4).
所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，
解　易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
令f′(x)＝0，得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意.
故实数a的值为－e2.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.
1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
解析　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
2.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)A.－4 B.－2 C.4 D.2
故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，
解析　由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，
解析　由函数f(x＋2)是偶函数，得f(x)关于直线x＝2对称，即f(x＋4)＝f(－x)，因为f(x＋4)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，
当x∈(0，2)时，f′(x)＝－3x2＋9x－6，令f′(x)＝0，得x＝1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，故x＝1时，f(x)取极小值，即最小值，
A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
解析　由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，2)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，∴f(x)的图象如图所示，
由图知C正确，D不正确.
解析　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.
7.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.
解析　由f(x)＝(x2＋ax)ex，得f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，
8.已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________.
解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
9.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.
综上，f(x)min＝1.
解　因为f(x)＝excs x－x，所以f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
10.已知函数f(x)＝excs x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解　设h(x)＝ex(cs x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cs x－sin x－sin x－cs x)＝－2exsin x.
解　因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
11.设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
解　因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，
令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1).令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，f′(x)变化如下表：
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
12.(多选)对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　 　)A.x＝3是函数f(x)的一个极值点B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)C.f(x)在区间(1，2)上单调递减D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
令2x2－8x＋6＝0，得x＝1或x＝3，则f(x)在(－1，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故A、C正确，B错误.f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，且y＝16ln 3－16＝f(2)，根据f(x)在(1，3)上单调递减得f(1)＞f(2)＞f(3)，又x→－1时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点，故D正确.
解析　f(x)＝xln x＋mex(x＞0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x＞0)，
13.已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_______________.
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
解　由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
解　因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cs x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cs x－(x－a)sin x－cs x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)，令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cs x≥0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)＝0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cs x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝a时，g(x)取到极大值，
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.
③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时g(x)取到极小值，