青岛版九年级上册2.5 解直角三角形的应用精品第3课时同步练习题

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题型一 解直角三角形的应用——坡度
1．如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）

A．300csαmB．300sinαmC．D．
【答案】B
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】
解：在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
2．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A．米B．米C．15米D．10米
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据坡比为可得，据此可得答案．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵米，
∴米，
故选：A．
3．如图是河堤的横断面示意图，已知，堤高，则坡面的长度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出是解题的关键．
4．如图，某市准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度．
【详解】解：在中，，
设，，
则，
又∵，
∴，解得：，
∴；
故选C．
5．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长．
【详解】解：由题意可得，，，，
，
即需要准备的水管的长为，
故答案为：
6．如图斜坡的坡比为，坡面铅垂高度为4米，那么斜坡的长度是 ．

【答案】4米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，坡比的含义，先求解，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：∵坡比，，
∴，
∴，
∴，
∴斜坡的长度（米）．
故答案为：米
7．如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
【答案】
【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，，
，
，
中，米，
故物体所经过的路程为米．
故答案为：．
8．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为 ．
【答案】12800
【分析】本题考查了坡度比知识，解题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长以及熟练掌握勾股定理．先根据勾股定理求出和，再根据坡度比求出，最后根据即可求得答案．
【详解】解：∵,
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12800．
9．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，
(1)求大坝横截面的面积；
(2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值）
【答案】(1)2800
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
（1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可；
（2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可．
【详解】（1）∵迎水坡的坡比为，米，
∴，即
∴米；
∵背水坡的坡比为，米，
∴，即
∴米
∴大坝横截面的面积为；
（2）∵，米，米，
∴米
∵，米，米
∴米
∴周长为米．
10．如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为的坡面行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为的坡面，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．
(1)求D点到B点之间的水平距离；
(2)求山顶A点处的垂直高度是多少米？（，结果保留整数）
【答案】(1)D点到B点之间的水平距离为米
(2)山顶A点处的垂直高度是156米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
（1）过点作，根据坡比，求出的长即可；
（2）过点作，三角函数求出的长，利用求出的长即可．
【详解】（1）解：过点作，由题意，得：，
∵坡面的坡度为，
∴，
∴；
即：D点到B点之间的水平距离为米；
（2）过点作，则：四边形为矩形，
∴，
由题意，得：，，
∴，
∴，
即：山顶A点处的垂直高度是156米．
11．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，A、B间的距离为5.2米，．

(1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．
【答案】(1)会碰到头部，理由没见解析；
(2)平台EF的长度为7米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
（1）先连接，过点B作，交于点G，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；
（2）根据的长求出，再过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案．
【详解】（1）解：会碰到头部
连接，过点B作，交于点G，
，，
，
，
会碰到头部；
（2）解：，
，
过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N，
设，则，
段和段的坡度，
，，
，
（米）．
答：平台的长度为7米．
12．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）
A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米
【答案】C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：由题意可知：在中，，厘米，
，
（厘米），
故选：C．
13．如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】/
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
14．如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点处测得电视塔顶端的仰角为，在点处小明沿山坡向上到达点处，测得电视塔顶端的仰角为，已知山坡坡度，请你计算电视塔的高度为 ．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可设，则，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点作，垂足为，则四边形是矩形，
∴，，
山坡的坡度，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得：，
，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
电视塔的高度约为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，勾股定理，矩形的判定及性质，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．如图，在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯（即），设计要求左、右两边的滑梯，的坡度分别为和．测得米，米．
(1)求滑梯的长；
(2)试猜想两个滑梯，的位置关系，并证明；
(3)小亮（看成点）从点沿滑梯下滑，请直接写出他与处距离的最小值．
【答案】(1)米
(2)，证明见解析
(3)米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）勾股定理求出的长，再根据坡度求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）延长交于点，证明，推出，即可；
（3）垂线段最短，得到，得到重合时，最小，解直角三角形求出的长，求出的长，即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵滑梯的坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴滑梯的长为米；
（2），证明如下：
延长交于点，
∵，滑梯的坡度为，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵点在上，
∴当时，最小，
由（2）知：，
∴重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
16．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
(1)填空： ；
(2)求点到地面的距离；
(3)求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)米；
(3)米．
【分析】（）过点作，由平行公理的推论可得，进而由平行线的性质得，，再根据角的和差关系即可求解；
（）延长交于点，则，解即可求解；
（）过点作于，可得为等腰直角三角形，得到，设，解得，进而由米可得，解方程得到米，又可得是矩形，即得米，根据线段的和差关系即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．