高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列学案

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离散型随机变量及其分布列
一、 课堂目标
1．理解离散型随机变量的概念．
2．掌握求离散型随机变量分布列的步骤．
3．掌握两点分布，会求两点分布的分布列．
4．熟练求解离散型随机变量的均值（数学期望）和方差．
5．掌握离散型随机变量的均值和方差的性质及其应用．
【备注】1.本讲整体难度不大，属于基础知识点，但是是高考和期中、期末必考内容.其重点是理解离散型随机变量的概念，掌握求离散型随机变量分布列的步骤，会求两点分布的分布列，能够根据分布列的性质求参数问题，熟练求解离散型随机变量的均值和方差，以及掌握离散型随机变量的均值和方差的性质及应用；重点题型是求离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及离散型随机变量均值和方差性质的应用.
2.本讲的前置知识是条件概率和事件的独立性，后置知识是二项分布、超几何分布以及正态分布.
注意：本讲的内容按照新A的顺序进行设计，新B中离散型随机变量的期望与均值是在二项分布和超几何分布之后学习的，考虑知识的整体性和讲解更合理，将期望与均值放到二项分布和超几何分布前面讲解，因为考查二项分布和超几何分布，不仅仅会考查分布列，也会考查均值和方差，综合考查，更符合考试的规律.
二、 知识讲解
1. 随机变量及其与事件的联系
知识精讲
（1）随机试验的判定
一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可在相同的情形下重复进行；
②试验所有可能出现的结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验的结果总是这些可能出现的结果中的一个，但是在每一次试验之前却不能肯定这次试验会出
现哪一个结果.这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.
【备注】【教师指导】
有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如抛掷一枚硬币这一随
机试验，可能出现两种结果——正面向上和反面向上，虽然这两种结果不具备数量性质，
但我们可以用表示正面向上，表示反面向上，这样就建立起所有可能的试验结
果与实数的一个对应关系.
（2）随机变量的概念
一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点，变量 都对应有唯一确定的实
数值，就称 为一个随机变量.随机变量一般用大写英文字母 Ｙ Ｚ 或小写希腊字母 ， ，等
表示.随机变量所有可能的取值组合的集合，称为这个随机变量的取值范围.
【备注】【教师指导】
注意：
①随机变量具有不确定性，即在试验之前不能确定试验结果.
②随机变量是将随机试验的结果数量化.
③随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件.如，“掷一枚骰子”这一随机试验中所得
点数是一随机变量 ，“”对应随机事件“掷一枚骰子，出现2点”.
（3）随机变量之间的关系
若 是随机变量，
是常数，则 也是随机变量.
如，一个面包的价格是3元，则购买的面包个数 是一个随机变量，购买面包所需的钱数 也是一个随机
变量，且.
（4）离散型随机变量的概念
如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量．
与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个区间.例
如，用 表示某品牌节能灯的寿命，则 的取值范围可以认为是量.
，
，这里的 是一个连续型随机变
【备注】【教师指导】
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：
离散型随机变量与连续型随机变量的区别是前者的可能取值是有限个或即使是无限个但至少可以按次序一一列举，后者我们甚至连两项都无法列举出来；当然二者也有联系：通过人为的操作手段，可以将连续型随机变量转化为离散型随机变量．如连续性随机变量
（单位： ）为电灯泡的使用寿命，我们以的使用寿命作为检验灯泡是否合格的标
准，并将合格定义为 ，不合格定义为 ，则为离散型随机变量．
经典例题
1. ①某电话亭内的一部电话 小时内使用的次数记为 ；
②某人射击 次，击中目标的环数之和记为 ；
③测量一批电阻，阻值在～之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为 ．
其中是离散型随机变量的个数是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查离散型随机变量的概念，要求学生要深刻理解离散型随机变量与连续性随机变量
的概念.
【答案】B
【解析】①某电话亭内的一部电话 小时内使用的次数记为 ， 是离散型随机变量；
②某人射击 次，击中目标的环数之和记为 ， 是离散型随机变量；
③测量一批电阻，阻值在～之间，是连续型随机变量；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为 ， 不是随机变量．
故离散型随机变量的个数是 个．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的概念
2. 某地上网的费用为月租 元，上网时每分钟 元（不足 分钟的按 分钟计算），某学生在一个月内上网的时间为随机变量 （分钟），求该学生在一个月内上网的费用 （元），并判断 与 是不是离散型随机变量．
【备注】【教师指导】
本题要注意两个点：①什么是离散型随机变量？②随机变量之间的关系.要求学生要深刻理解这两点，为后面的学习打好扎实的基础.
【答案】是．
【解析】因为上网时间不足 分钟按 分钟计算，
所以 的取值可以一一列举出来，所以 是一个离散型随机变量．
又，
所以 也是一个离散型随机变量．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
巩固练习
3. 袋中装有大小和颜色均相同的 个乒乓球，分别标有数字 ， ， ， ， ，现从中任意抽取两个，
设两个球上的数字之积为 ，则 所有可能值的个数是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】 的所有可能值有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共计 个．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
4. 从 张标有 ， ， ， 的卡片中任意取出两张，若 表示这两张卡片之和，请写出 的可能取值及此时
表示的意义．
【答案】证明见解析．
【解析】 的可能取值为 ， ， ， ， ，
其中
表示取出分别标有 ， 的两张卡片，表示取出分别标有 ， 的两张卡片，
表示取出分别标有 ， 或 ， 的两张卡片，表示取出分别标有 ， 的两张卡片，
表示取出分别标有 ， 的两张卡片．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
2. 离散型随机变量的分布列
知识精讲
（1）定义
一般地，当离散型随机变量 的取值范围是时，如果对任意，概率
都是已知的，则称 的概率分布是已知的.离散型随机变量 的概率分布可以用如下形
式的表格表示，这个表格称为 的概率分布或分布列．
（2）求离散型随机变量的概率分布列的步骤
①找出随机变量 所有可能取的不同值 ，
；
②求出取每一个值的概率，；
③列出表格.
（3）离散型随机变量的分布列的性质
性质①：，；
性质②：；
性质③：且.
【备注】【教师指导】
离散型随机变量的分布列的性质①②是检验一个分布列正确与否的标准；还可以利用性质
②求分布列中的某些参数．
经典例题
5. 设随机变量 的分布列为
则 的值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要根据离散型随机变量的分布列的性质求参数，注意要对参数的值进行检验.
【答案】D
【解析】由题可知：
，
，
，
，
，，
∵当
时，
，
∴应舍去，
∴，
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
6. 设随机变量 的分布列为，，则实数 的值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵ 随机变量 的分布列为，，
∴，解得．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
经典例题
7. 已知随机变量 的布列为，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要根据离散型随机变量的分布列的性质②求参数，根据性质③求概率.
【答案】B
【解析】依题意，解得，
所以．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
8. 设随机变量 的分布列为，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D【解析】
，
∴，
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
经典例题
9. 设离散型随机变量 的分布列为
求：
（ 1 ）（ 2 ）
的分布列．
的分布列．
【备注】【教师指导】
本题考查离散型随机变量之间的关系：当
时，随机变量 和
、
对应的
概率相同；另外随机变量取值一样的，其对应的概率要合并.
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
【解析】（ 1 ）由分布列的性质知：
，
解得．
首先列表：
从而由上表得
（ 2 ）由分布列的性质知：
的分布列：
，
解得．
首先列表：
从而由上表得
的分布列：
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
10. 设随机变量 的分布列如表所示．
表
（ 1 ）求随机变量（ 2 ）求随机变量
的分布列．
的分布列．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）因为
，所以 的概率分布与相应 的概率分布相同， 的所有可能取值为
， ， ， ， ， ，其概率分别等于 取 ， ， ， ， ， 时的概率，故 的分布列为：
（ 2 ）因为，所以 的所有可能取值为 ， ， ， ，而， 时各包含两种情
况，
，
(或)，
(或)，
．所以， 的分布列为：
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式
3. 两点分布
知识精讲
若随机变量 的分布列为
则称这个随机变量服从参数为 的两点分布（或0-1分布）.
【备注】【教师指导】
两点分布的试验结果只有两种可能性，且它们的概率之和为 .
一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为 ，一次伯努利试验中成功的次数为 ，则 服从参数为 的两点分布.因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的 也常称为成功概率.
经典例题
11. 下列随机变量中服从两点分布的是（ ）．
A. B. C. D.
射击一次命中目标的次数
抛掷三枚骰子，所得的点数之和
抛掷一枚骰子，所得的点数
张卡片上分别标有号码 ， ， ， ， ， ，从中任取 张，三张卡片中最大的号码
【备注】【教师指导】
考查两点分布的概念：随机变量取值有且仅有两种结果.
【答案】A
【解析】一次射击命中目标的次数 取值只可能为 ， ， 表示没有命中， 表示命中，符合两点
分布．
【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列
12. 袋内有 个白球， 个红球，从中摸出两球，记
两球全红
两球非全红
，求随机变量 的分布列．
【备注】【教师指导】
考查两点分布的分布列：求随机变量两种取值的概率，我们一般先求比较好求的随机变量取值对应的概率，然后求另一个取值的对应的概率直接用1减去求得的概率.
【答案】
【解析】由题设可知，随机变量 服从两点分布，
，
∴
．
∴ 的分布列为
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；两点分布
巩固练习
13. 一个袋子中有五个大小相同的玻璃球，其编号分别为 ， ， ， ， ，从中任取两个，试构造两点
分布的模型，求取出的两球的较大编号大于 的概率并列出两点分布列．
【备注】【教师指导】
本题的重点是如何构造两点分布的模型.
【答案】取出的两球的较大编号大于 的概率为 ；
【解析】设取出两球的较大编号是否大于 用 表示，
令
取出两球的较大编号不大于取出两球的较大编号大于
,
事实上， 服从两点分布．
从五个玻璃球中任取两个的不同结果有
种，
其中，较大的编号为 的结果有 种，较大的编号为 的结果有 种，
∴，
∴取出的两球的较大编号大于 的概率
．
∴两点分布列为
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列；两点分布
4. 离散型随机变量的均值
知识精讲
（1）离散型随机变量的均值概念
一般地，如果离散型随机变量 的分布列如下表所示：
则称，为离散型随机变量 的均值或数学期望（简称期
望），表示为或 ．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值．
【备注】【教师指导】
离散型随机变量的分布列和均值：
①离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同.分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
②随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值.从这三个方面表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值，而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.
（2）随机变量的均值的性质
若，其中 、 是常数 ( 是随机变量 )，则 也是随机变量，且有
.
证明：
如果
，其中
、
为常数，那么 也是随机变量.
因此
有
，
， ， ，
，
，所以 的分布列为
，
即.
知识点睛
均值（数学期望）的性质
①（ 为常数）.
②.
③.
④若相互独立，则.
【备注】【教师指导】
随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，在大量的试验下，它总是稳定的，不具有随机性而样本的平均值是一个随机变量，它随着样本抽取的不同而变化对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.
经典例题
14. 在一个口袋中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 个球，则摸出的
个球中白球的个数 的数学期望为．
【备注】【教师指导】
本题主要考查求离散型随机变量的期望：
第一步：求随机变量的取值，
第二步：求随机变量每个取值的概率（最重要）
第三步：根据期望公式求离散型随机变量的期望（可以列出分布列，这样会更清晰一些）.
【答案】
【解析】由题意可知 的可能取值为 ， ， ， ，
，
，，，
∴ 的数学期望
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
巩固练习
15. 如果随机变量 表示抛掷一个各面分别标有 ， ， ， ， ， 的均匀的正方体后面向上的数字，那
么随机变量 的期望为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】掷出各数字的概率均为 ．
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
16. 口袋中有 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 ， ， ， ， ，从中任取 个球，以 表示取
出球的最小号码，则．
【答案】
【解析】由题意知， 的可能取值为：
．
，，，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望
经典例题
17. 已知随机变量 的分布列为：
试求①；②若，求．
【备注】【教师指导】
第（1）问离散型随机变量分布列的性质②求 ，然后根据期望公式求离散型随机变量的期
望；
第（2）问可以根据数学期望的性质②求期望（方法一）；也可以
先写出随机变量 的分布列，再求期望（方法2）.
【答案】答案见解析
【解析】分布列中含有字母 ，应先根据分布列的性质，求出 的值，再利用均值定义求解．对
于②，可直接套用公式，也可以先写出 的分布列，再求
① 由随机变量分布列的性质，得，所以，
∴．
② 方法一：由公式，得
．
方法二：由于，所以 的分布列如下
∴．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
巩固练习
18. 已知随机变量 的分布列为
那么 的数学期望，设，则 的数学期望．
【答案】;
【解析】；．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
经典例题
19. 甲参加 ， ， 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表．假设三个科目的考试
甲是否成绩合格相互独立．
科目科目科目
甲
（ 1 ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；
（ 2 ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为 ，求 的分布列和数学期望．
【备注】【教师指导】
第（1）问：当所求事件的概率不好求时，可以求它对立面事件的概率，然后用1减去求得
的概率即为所求的概率；
第（2）问：求随机变量的分布列及期望
第一步：求随机变量的取值，；
第二步：求随机变量每个取值的概率（最重要）；
第三步：列出随机变量的分布列；
第四步：根据期望公式求离散型随机变量的期望.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件 ，
则
，
所以．
（ 2 ）依题意， ， ， ．
；
；
；
；
所以，随机变量 的分布列为：
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
巩固练习
20. 已知 件次品和 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不
放回，直到检测出 件次品或者检测出 件正品时检测结束．
（ 1 ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（ 2 ）已知每检测一件产品需要费用 元，设 表示直到检测出 件次品或者检测出 件正品时所需
要的检测费用（单位：元），求 的分布列和均值（数学期望）．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 的分布列为：
均值为 ．
【解析】（ 1 ）第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（ 2 ）依题意 的可能取值为．
则，
，
．
，
所以 的分布列为：
所以
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
5. 离散型随机变量的方差
知识精讲
（1）离散型随机变量方差的概念
如果离散型随机变量 的分布列如下表所示：
因为 的均值为，所以
称为离散型随机变量 的方差．离散型随机变量的 的方差
也可用 表示.
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均离散程度（或波动大小）．一般
地，叫做离散型随机变量 的标准差，其也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动
大小）．
【备注】【教师指导】
①
描述了
， ，
，
相对于均值
的偏离程度，而
是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 与其均值的平均偏离程度．随
机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越
小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
②随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．
越小，稳定性越高，波动越小．显然，标准差与随机变量本身有相同单
位．
（2）方差的性质
①（ 为常数）.
②随机变量 的方差是它与期望③.
④．
⑤若两两独立，则
（ ）差的平方的数学期望，即
）
.
.
【备注】【教师指导】
随机变量的方差与样本方差的关系：
随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而变化，是客观存在的常数；样本方差则是随机变量，它是随着样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差.
（3）两点分布的数学期望和方差①两点分布的数学期望
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则
．
②两点分布的方差
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则
．
经典例题
21. 随机变量 的分布列如图，若，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
第一步：利用期望和离散型随机变量分布列的性质②（概率之和等于1）求参数 ；第二步：利用方差公式
求方差.
【答案】A
【解析】由题可知：
，
解得：，
∴
，
.
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差；离散型随机变量的分布列
巩固练习
22. 已知 的分布列如表所示．
则的值为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
这道题建议老师按照例题的思路（即利用方差的公式求方差）讲解.
【答案】C
【解析】，
，
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
23. 随机变量 的分布列如表所示，若，则随机变量 的方差等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题知
，
，
联立解得，，
故．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
经典例题
24. 已知随机变量 的方差，设，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题根据方差性质③直接求解，通过本题的讲解要求学生熟练记忆方差的五个性质并能够
熟练应用.
【答案】A
【解析】∵，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
25. 若随机变量 服从两点分布，其中，则和的值分别是（
）．
A. 和B. 和C. 和D. 和
【备注】【教师指导】
本题可以根据：如果随机变量 服从参数为 的两点分布，那么
，来求和，再根据期望和方差的性质求解.
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从两点分布，且
，
∴，
∴，
，
∴，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
巩固练习
26. 随机变量 的分布列如表所示，若，则()．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵
，
∴由随机变量 的分布列得：
，解得
，
，
∴．
∴．
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、
出门测
27. 若随机变量 的分布列如下表，则 等于（ ）
012345
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由分布列的性质，可得
，∴
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
28. 设随机变量 的分布列如表所示，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D【解析】
．故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
29. 一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
则，．
【答案】0.44 ; 0.6064
【解析】
；
法一：
；
法二：．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差；离散型随机变量的数学期望
30. 甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是 ，假设每次射击是否命中相互之间没
有影响．
（ 1 ）在 次射击中，求甲至少有 次命中目标的概率．
（ 2 ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不
超过 次，求甲射击次数的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
的分布列为：
（环）．
【解析】（ 1 ）记“在 次射击中，甲至少有 次命中目标”为事件 ．则 表示事件“在 次射击中，甲没有命中目标”．
故
，
∴．
（ 2 ）记甲的射击次数为 ，则 的可能取值为 ， ， ，
，
，
，
的分布列为：
（环）．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
24
25