高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合学案

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组合
一、 课堂目标
1．理解并掌握组合和组合数的概念．
2．掌握组合数公式及其性质并能熟练解决数学问题．
2．掌握一些组合问题模型并能熟练运用．
【备注】【教师指导】
1.本讲内容的重点是组合的定义，组合数的计算方法，组合数的性质以及组合的简单应
用；难点是组合问题模型，包括不同元素分组分配问题，相同元素分组—隔板法，涂色问
题等等，这些问题需要学生掌握其求解方法.
2.本讲的关联知识包括排列、统计概率.
二、 知识讲解
1. 组合与组合数
知识精讲
组合的定义
一般地，从 个不同元素中取出
个元素的一个组合．
， ，
个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出
【备注】【教师指导】
排列与组合的联系与区别
共同点：都是从 个不同元素中取出
， ，
个元素.
不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
知识点睛
（1）组合定义中的两个要点
①取出元素，且要求 个元素是不同的；
②“只取不排”，即取出的 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.
（2）两个组合相同
只要两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何.
知识精讲
（2）组合数
从 个不同元素中取出， ，个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中
取出 个元素的组合数，用符号 表示.注意：
①组合数与组合是两个不同的概念，组合是从 个不同的元素中任取并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.
， ，
个元素
②从集合的角度来看，从 个不同的元素中任取
体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.
， ，
个元素并成一组的组合的全
知识精讲
（3）组合数公式①连乘表示
， ，.
②阶乘表示
.
规定：
注意：
，
.
组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.
组合数公式②的主要作用有：计算较大时的组合数；对含有字母的组合数式子进行变形.
（4）组合数性质①
②
【备注】【教师指导】
（1）性质①反映了组合数的对称性：当
时，不直接计算 而改为计算
，这
样起到了简化运算的效果；
（2）要注意性质②的灵活运用：顺用可以将一个组合数拆成两个，在进行化简时此种手段可以产生抵消的效果；逆用可以将两个组合数合并为一个，求值时可以循环使用此种手段进行并项．
经典例题
1. 给出下列问题：
①由 ， ， ， 构成的含 个元素的集合；
②从 名班委中选 人担任班长和团支书；
③从数学组的 名教师中选 人去参加市里新课程研讨会；
④由 ， ， ， 组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的是（ ）．
A. ①③B. ②④C. ①②D. ①②④
【备注】【教师指导】
这道题考查对概念的辨析，需要学生掌握组合的概念.
【答案】A
【标注】【知识点】组合
2. 若，则 （ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查排列数与组合数的综合计算.
【答案】B
【解析】，则，
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算
巩固练习
3. 若，则 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】A【解析】∵
，
∴，
即，
求得，或（舍去）．
故选 ．
【标注】【知识点】排列数计算；组合数计算
经典例题
4. 方程的解为．
【备注】【教师指导】
本题考查组合数的性质，需要学生熟练掌握.
【答案】
【解析】因为，
所以根据组合数的性质可得
或
，
解得：或（不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【标注】【知识点】组合数计算
巩固练习
5. 若，则 的值为（ ）．
A.B. 或C.D. 或
【答案】D
【解析】依题意得：
或
，
解得：，或，
经检验和都符合题意．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】组合数计算
2. 组合问题模型
知识精讲
（1）不同元素分组分配问题
①不同元素均匀分组问题
【模型】 个不同元素平均分成 组，每组的元素个数相等．
【实例】 本不同的书平均分成三组，其分法种数为
．
②不同元素部分均匀分组问题
【模型】 个不同元素分成 组，其中 组元素个数相同．
【实例】 个人分成三组，去参加不同的活动，其安排方法应为种．
③不同元素不均匀分组问题
【模型】 个不同元素分成 组，每组元素个数均不相等．
【实例】 本书分成三组，其分法种数为．
经典例题
6. 将 本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？（ 1 ）分给学生甲 本，学生乙 本，学生丙 本．
（ 2 ）分给甲、乙、丙 人，其中 人得 本、 人得 本、 人得 本．
（ 3 ）分给甲、乙、丙 人，每人 本．
（ 4 ）分成 堆，一堆 本，一堆 本，一堆 本．
（ 5 ）分成 堆，每堆 本．
（ 6 ）分给甲、乙、丙 人，其中一人 本，另两人每人 本．
（ 7 ）分成 堆，其中一堆 本，另两堆每堆 本．
【备注】【教师指导】
本题考查不同元素的分组分配问题，题目较综合，包括分给人和将书分堆的问题，覆盖情
况较全面.
第（1）问考查指定人应得数量不均匀问题，不需要考虑排列；
第（2）问考查没有指定人应得数量的非均匀问题，需要考虑排列；第（3）问考查指定人应得数量均匀问题，不需要考虑排列；
第（4）问同第（1）问等价，实际就是分了组没有进行分配，不需要考虑排列；第（5）问考查均匀分堆（分组）问题，需要考虑排列；
第（6）问考查部分均匀地分给人的问题，需要考虑排列；第（7）问考查部分均匀分堆的问题，需要考虑排列.
【答案】（ 1 ）7 ） ．
【解析】（ 1 ）是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为
（ 2 ）是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法
．(无序非等分)
．(非等分，
有序)
（ 3 ）是指定人应得数量的均匀问题：方法数为（ 4 ）是分堆的非均匀问题(与(1)等价)：方法数为（ 5 ）是分堆的均匀问题：方法数为
（ 6 ）是部分均匀地分给人的问题：方法数为（ 7 ）是部分均匀地分堆的问题：方法数为
．(等分有序)
．(非等分无序)．(等分无序)
．(局部等分有序)
．
【标注】【知识点】分组分配法；倍缩法；分步乘法计数原理
巩固练习
7. 按下列要求把 个人分成 个小组，各有多少种不同的分法？
（ 1 ）各组人数分别为 ， ， 人；（ 2 ）平均分成 个小组；
（ 3 ）平均分成 个小组，进入 个不同车间．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
种．
种．
种．
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
（ 3 ）分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，
故有种不同的分法．
【标注】【知识点】分组分配法
知识精讲
（2）相同元素分组问题—隔板法
个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把 个元素排成一排，从个空中
选个空，各插一个隔板，有．
经典例题
8. 把 个相同的小球放到三个编号为 ， ， 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
则共有多少种放法（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
这道题较难，难在“每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数”，而15个小球相同，因此可将三个盒子分别放入1、2、3个小球，则剩下9个，再将剩下的9个用隔板法进行分组即可.
【答案】B
【解析】根据题意， 个相同的小球放到三个编号为 ， ， 的盒子中，且每个盒子内的小球数要
多于盒子的编号数，
先在 号盒子里放 个球，在 号盒子里放 个球，在 号盒子里放 个球，
则原问题可以转化为将剩下的 个小球，放入 个盒子，每个盒子至少放 个的问题，将剩下的 个球排成一排，有 个空位，在 个空位中任选 个，插入挡板，有
种不同的放法，即有 个不同的符合题意的放法，故选 ．
【标注】【知识点】隔板法
巩固练习
9. 现将五本相同的作文书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，不同的分法种数共有（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】将 本相同的作文书分给甲、乙、丙三人，且每人至少一本，可用挡板法，有 个挡板，
本书有 个空位，
∴总情况有，
故选 ．
【标注】【知识点】隔板法
10.个相同的球分给 个人，允许有人可以不取，但必须分完，则有多少种分法？
【答案】 ．
【解析】要保证每个人都要取，先给这 个人都补一个球，球的总数是 个，中间有 个空，插入
个隔板，可得有种分法．
故答案为： ．
【标注】【知识点】隔板法
知识精讲
（3）涂色问题
①若图形不是很规则，则往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步计数原理；
②若图形具有一定的对称性，则先对涂色方案进行分类，每一类再分步.
经典例题
11. 如图为我国数学家赵爽（约 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种颜色给其中 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）．
A.种B.种C.种D.种
【备注】【教师指导】
这道题属于图形不规则类型，可以分步涂色，将5个区域进行编号，分步涂色.
【答案】B
【解析】设 个区域依次为 ， ， ， ， ，分 步分析：
①对于 区域，有 种颜色可选；
②对于 区域，与 区域相邻，有 种可选；
③对于 区域，与 、 区域相邻，有 种可选；
④对于 、 区域，若 与 颜色相同, 有 种可选；若 与 颜色不同， 有 种可选，有 种可选，
∴对于 、 区域有 种选择；
∴不同涂色共有种．
故选 ．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
12. 用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共
有种不同的涂色方法．
【备注】【教师指导】
这道题是图形规则型，可以先分类在分步进行涂色.
【答案】
【解析】考虑 、 、 用同一颜色，此时共有
种方法．
考虑 、 、 用 种颜色，此时共有种方法．
考虑 、 、 用 种颜色，此时共有种方法．
故共有种不同的涂色方法．
故答案为： ．
【标注】【知识点】分组分配法；特殊位置优先法；分步乘法计数原理；加法原理与乘法原理的综
合运用；分类加法计数原理
巩固练习
13. 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不
同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．
【答案】
【解析】根据题意，分为三类：
第一类是只用两种颜色则为：
种，
第二类是用三种颜色则为：种，
第三类是用四种颜色则为：种，
由分类计数原理，共计为种，
故答案为： ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；组合
知识精讲
（4）“至多”或“至少”问题
处理这类问题通常采用“排除法”，也可以用直接法.
如从3名男生，2名女生中选出3人参加某项活动，问：
至少有1名女生的选法种数为：种或种；
至多有2名男生的选法种数为：种或.
经典例题
14. 某市工商局对 种商品进行抽样检查，其中有 种假货，现从 种商品中选取 种．
（ 1 ）至少有 种假货在内，不同的取法有多少种？
（ 2 ）至多有 种假货在内，不同的取法有多少种？
【备注】【教师指导】
这道题要让学生充分理解“至多”或“至少”是什么意思：①至少有两种，是指大于等于2种，即两种或三种；②至多有两种，是指小于等于，即0种、一种或两种.
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；组合
巩固练习
15. 从 、 、 等 人中选出 人参加运动会．
（ 1 ）（ 2 ）
、 、 中至多有一人在内，有多少种选法？法、 、 三人不全在内，有多少种选法？
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【标注】【知识点】组合；加法原理与乘法原理的综合运用
经典例题
16. 现有甲、乙、丙、丁、戊 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 种作为教师“停课不停学”的
教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 种被选取的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查排列组合和概率的综合，未来高考中，也会考察类似题型.
【答案】D
【解析】由题意可知，从甲、乙、丙、丁、戊 种软件中选出 种，则其中至少有甲、乙、丙中的
种，
∴选取的 种软件中甲、乙、丙至多有 种被选的概率为
．
故选 ．
【标注】【知识点】古典概型的概率计算（涉及计数原理）
巩固练习
17. 从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，则所取的 个球中至多有 个白球的概率是
．
【答案】
【解析】
至多有 个白球是意思 个或 个白球，
．
【标注】【知识点】古典概型的概率计算（涉及计数原理）
知识精讲
（5）排列、组合综合问题
解决排列组合综合问题应遵循原则：先分类后分步，先组合后排列，先特殊后一般，避免重复和遗漏.
解排列组合问题时要注意：①分清分类加法计数原理与分步乘法计数原理.主要看是“独立”完成，还是“分步”完成.②分清排列问题与组合问题.主要看是否与“顺序有关”.③分清是否有限制条件.被限制的元素（或位置）称为特殊元素（或特殊位置）.可以采用特殊元素（或特殊位置）优先安排的方法，也可以不考虑限制条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数与组合数.
经典例题
18. 某班班会准备从含甲、乙的 人中选取 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时
参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）．
A.种B.种C.种D.种
【备注】【教师指导】
这道题考查先分类后分步问题，属于计数原理和排列组合综合.
【答案】C
【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，
则不同的发言顺序有种；
第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有
种．
共有：（种）．
故选： ．
【标注】【知识点】组合
巩固练习
19. 某次联欢会要安排 个歌舞类节目、 个小品类节目和 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相
邻的排法种数是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分 步进行分析：
、先将 个歌舞类节目全排列，有
种情况，排好后，有 个空位，
、因为 个歌舞类节目不能相邻，则中间 个空位必须安排 个节目，分 种情况讨论：
①将中间 个空位安排 个小品类节目和 个相声类节目，有种情况，
排好后，最后 个小品类节目放在 端，有 种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
②将中间 个空位安排 个小品类节目，有种情况，
排好后，有 个空位，相声类节目有 个空位可选，即有 种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
则同类节目不相邻的排法种数是，
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；排列组合综合
经典例题
20. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 、 、 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个
社区，每个社区至少一人．其中甲必须去 社区，乙不去 社区，则不同的安排方法种数为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
这道题属于先特殊后一般，先考虑甲、乙.
【答案】B
【解析】根据题意，分 种情况讨论：
①，乙和甲一起去 社区，此时将丙丁二人安排到 、 社区即可，有②，乙不去 社区，则乙必须去 社区，
若丙丁都去 社区，有 种情况，
若丙丁中有 人去 社区，先在丙丁中选出 人，安排到 社区，剩下 人安排到 或 社区，有种情况，
则不同的安排方法种数有种；
故选 ．
【标注】【知识点】分类加法计数原理；特殊元素优先法
巩固练习
种情况，
21. 某中学高二学生会体育部共有 人，现需从体育部选派 人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ）．
A.种B.种C.种D.种
【答案】C
【解析】①选甲：
．
②不选甲： ．∴共有
种．
故选： ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】排列组合综合；特殊元素优先法
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
22. 若组合数满足，则．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以．
故答案为： ．
【标注】【知识点】组合数计算
23. 工作需要，现从 名女教师， 名男教师中选 名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则
不同的组队方案种数为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】 男 女：
； 男 女：
；
所以共有．
故选 ．
【标注】【知识点】分组分配法
24. 在下列条件下，分别求出有多少种不同的做法？
（ 1 ）（ 2 ）
个不同的球，放入 个不同的盒子，每盒至少一球．个相同的球，放入 个不同的盒子，每盒至少一球．
【答案】（ 1 ） 种．
（ 2 ） 种．
【解析】（ 1 ）第一步从 个球中选出 个组成复合元素共有种方法，
再把 个元素（包含一个复合元素）放入 个不同的盒子中有
种，
根据分步计数原理放球的方法有种．
（ 2 ）利用插板法，把 个球排成一排，不包含两端，形成了 个空，插入 个板，有
种，
故 个相同的球，放入 个不同的盒子，每盒至少一球，有种．
【标注】【知识点】隔板法
16