高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精练

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题型1 求集合的子集（真子集）或个数
1．集合的一个子集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简集合，结合选项可得答案.
【详解】因为，所以的子集有，；
故选：D.
2．若集合恰有两个子集，则的值可能是（ ）
A．0B．C．1D．0或1
【答案】AB
【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解.
【详解】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，
当时，，符合要求，
当时，，此时，符合要求，
故或，
故选：AB
3．集合的一个真子集可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
4．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个．
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以，有两个元素，
则的子集个数是个．
故选：B．
5．设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7个B．8个C．16个D．15个
【答案】D
【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得.
【详解】由和可得，
所以集合A的真子集个数为个.
故选：D
6．若集合恰有1个真子集，则的取值是（ ）
A．-1B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素，
当时，即，则，符合题意；
当时，即，则关于的方程只有一个实数解，
则，解得；
综上所述，或.
故选：D
7．（多选）若集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，则集合可以是（ ）
A．{1，2}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【答案】ABCD
【解析】根据所给包含关系直接可得答案.
【详解】因为集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，
所以集合可以为{1}，{1，2}，{1，3},{1，4}，{1，2，3}，{1，2， 4}，{1， 3，4}，{1，2，3，4}，
故选：ABCD
题型2 判断两个集合的包含关系
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确，
因为，所以选项B错误，
因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，
又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，
故选：ACD.
2（多选）若集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，则集合可以是（ ）
A．{1，2}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【答案】ABCD
【解析】根据所给包含关系直接可得答案.
【详解】因为集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，
所以集合可以为{1}，{1，2}，{1，3},{1，4}，{1，2，3}，{1，2， 4}，{1， 3，4}，{1，2，3，4}，
故选：ABCD
3．在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）．
【答案】②
【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可.
【详解】由数集的定义知：，，则①③错；
由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错.
故答案为：②
题型3根据集合的包含关系求参数
1．已知，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解.
【详解】解：因为，且，
若，则
故选：D.
2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【详解】集合，，又，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
3．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用建立不等关系，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
4．已知集合，集合，若，则 .
【答案】0或1
【分析】根据题意先求集合，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知：，
，
因为，可知或，可得或.
故答案为：0或1.
5．已知集合，则的取值集合为 .
【答案】
【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.
【详解】由题意可知：，
因为,所以当时，；
当时，则,
则或，解得或，
综上得，a的取值集合是.
故答案为：
题型4判断两个集合是否相等及求参
1．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断.
【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误；
B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误；
C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确；
D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误；
故选：C.
2．已知集合，，若，则（ ）
A．-1B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据集合相等的定义，即可求解.
【详解】由可知，.
故选：A
3．已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）.
【答案】
【分析】化简集合即可判断得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
4．已知，若集合，则 .
【答案】2
【分析】
根据集合相等的性质可得，从而可得结果
【详解】因为，所以，于是可得或，
由得，而无解，所以，
所以=2.
故答案为：2
5．集合，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合关系，可得，从而可求解.
【详解】由题意得，
则，解得.
故答案为：.
题型5空集的概念以及判断
1．任何一个集合都是它本身的 ；空集是 的子集；
【答案】 子集 任何一个集合
【分析】考查空集与其他集合的关系和子集的概念。
【详解】任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。
2．下列四个集合中是空集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解.
【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，
对于B,方程无实数解，∴集合为空集，
对于C，是无限集，所以不是空集，
对于D, ，不是空集.
故选：B．
3．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，
则，解得，
所以a的取值范围值是.
故答案为：.
4．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合.
求的值．
【答案】1
【分析】根据集合相等，分类讨论求得的值，注意根据集合元素的互异性检验取舍，然后计算即得.
【详解】解：由a，，1组成一个集合，可知，
由题意可得＝0，即，
此时两集合分别为和，
因此，解得或(不满足集合中元素的互异性，舍去)，
因此，且b＝0，
所以．
故答案为：1.
1．下列命题中真命题的编号是 ．
①是一元二次方程； ②空集是任何非空集合的真子集；
③互相包含的两个集合相等； ④若，则；
⑤满足的集合M有7个．
【答案】②③④
【分析】对于①：根据一元二次方程的定义分析判断；对于②③⑤：根据空集以及集合间的关系分析判断；对于④：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于①：方程不一定是一元二次方程，例如，故①错误；
对于②：由空集的性质可知：空集是任何非空集合的真子集，故②正确；
对于③：若，等价于，故③正确；
对于④：若，则，所以，故④正确；
对于⑤：若，则集合M中必含有元素1，2，且不止2个元素；
若，则集合M中含有元素3，4，5中至少一个元素，但不能包含全部元素；
所以集合M的个数即为集合的非空真子集个数，有个，故⑤错误；
故答案为：②③④.
2．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解；
（2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.