人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算课后练习题

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题型1 交集的概念及运算
1．集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出.
【详解】因为集合，
所以.
故选：A.
3．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图可知阴影部分表示的集合为，先求出集合，再求两集合交集即可.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
由，得，所以，
因为，
所以，
故选：B
题型2 根据交集结果求集合或参数
1．已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答.
【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意.
故选：A
2．下列命题正确的是（ ）
A．若不等式的解集为，则实数
B．集合，，若，则满足条件的所有取值是或
C．已知集合，，则满足条件的集合有3个
D．设集合，，则
【答案】AC
【分析】A,对分三种情况讨论得解,该选项正确；
B, 满足条件的所有取值是或或0，所以该选项错误；
C, 满足条件的集合有3个,所以该选项正确；
D. ，所以该选项错误.
【详解】A.当时，，所以，无解；当时，，所以，所以，显然不满足题意，所以该选项正确；
B. 集合，,所以,则满足条件的所有取值是或或0，所以该选项错误；
C. 已知集合，，则满足条件的集合有3个，它们是，所以该选项正确；
D. ，所以该选项错误.
故选：AC
3．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若与“相交”，则可能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先求出集合M，再由集合M，N的特点并结合给定定义确定出集合M，N恰有一个公共元素即可得解.
【详解】依题意，，显然集合M，N都含有两个元素，
由两个集合“相交”的意义得：集合M，N恰有一个公共元素，
或者，解得或，
所以可能等于4或1.
故选：AD
题型3 并集的概念及运算
1．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人．则两科都在90分以上的人数为 ．
【答案】8
【分析】由题意设出集合，，得到集合，以及中元素的个数，即可得出中元素的个数.
【详解】设集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有25个元素，
集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有21个元素，
表示两科中至少有一科在90分以上的学生，则集合中有38个元素，
表示两科都在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
所以两科都在90分以上的人数为8人.
故答案为：8.
2．设{语文，数学，英语，德育}，{数学，语文，体育}．则 ， ．
【答案】 {语文，数学} {语文，数学，英语，德育，体育}
【分析】根据交集和并集的定义求和即可.
【详解】根据题意得{语文，数学}，{语文，数学，英语，德育，体育}.
故答案为：①{语文，数学}；②{语文，数学，英语，德育，体育}.
3．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
【答案】3
【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
题型4 根据并集结果求集合或参数
1．已知集合，若，则（ ）
A．0或5B．0或3C．1或D．1或3
【答案】B
【分析】
根据对进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】由于，所以或，
当时，，满足，
当时，解得或，
当时，，满足，
当时，不满足集合元素的互异性.
综上所述，的值为或.
故选：B
2．已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合中元素的互异性分情况讨论求解即可.
【详解】因为中有三个元素，且，，所以或．
①当时，解得或，均符合题意；
②当时，解得，符合题意．
故选：C
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可.
【详解】对于选项A和B，，，
若，则的取值范围是，所以A错误，B正确；
对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误.
故选：BD.
题型5 补集的概念及运算
1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，
而，，则，
得，
故所求集合为.
故选：C.
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知，，又，
所以.
故选：A
3．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由集合交并补的定义运算.
【详解】，
，，B选项正确；
，，或，ACD选项都不符合.
故选：B
题型6 根据补集结果求集合或参数
1．已知全集，集合，，则的值为
A．3B．C．3D．
【答案】C
【详解】试题分析：由
考点：集合的补集运算
2．已如集合，则
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．
【详解】解：由10，即0，即解得，
即，则
故选D．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．已知，且，，，则 .
【答案】
【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案.
【详解】由题意得，
又，故，
又，故，且，，
因为，故，，
因为，故，，
综上：，画出韦恩图如下：
故答案为：
题型7 交并补混合运算
1．已知集合，，，则 ．
【答案】
【分析】借助集合交并补的概念计算即可得.
【详解】由，，故，
故.
故答案为：.
2．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
【答案】 /
【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即或又，故.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.
3．已知非空集合，同时满足以下四个条件：
①；
②；
③；
④．
注：其中、分别表示、中元素的个数．
（1）如果集合中只有一个元素，那么 ；
（2）如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是 ．
【答案】 3
【分析】由题意，结合交集和并集的定义，注意检验条件，可得答案.
【详解】（1）如果集合中只有一个元素，则，由③得：，④，可得，即，可得，；
（2）如果集合中有3个元素，则，可得，由，可得中至少含2个元素，且，可得为二元集，，可得，可得．则，；或，；或，．
故答案为：；3．
题型8 根据交并补混合运算求集合或参数
1．若，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合运算结果作出图，由图可求得结果.
【详解】根据集合运算结果可得图如下图所示，
.
故选：C.
2．已知集合，若，则实数a等于（ ）
A．或3B．0或C．3D．
【答案】C
【分析】先由得到，然后根据集合相等求出的值，最后还要注意检验.
【详解】由可知，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合题意.
故选：C.
3．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．
【详解】，且，，
∴的值可以为．
故选：D．
【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．
题型9 利用Venn图求集合
1．已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根据韦恩图及补集、交集的定义判断即可.
【详解】由韦恩图可知包含区域①④，
所以表示的区域为①.
故选：A
2．某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】D
【分析】设出未知数，作出韦恩图，得到方程，求出答案.
【详解】设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为，
作出韦恩图如下：
故，
解得，
故对A，B都赞成的学生人数为21.
故选：D
3．某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解.
【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为，
足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素，
全集中有个元素，
∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，

∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图，
∴.

要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图，
∴，解得：.
∴.
故选：D.
题型10 容斥原理的应用
1．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3B．11，3C．9，12D．3，9
【答案】D
【分析】利用韦恩图法即可快速求解.
【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，
则，解得，
即同时学习必修二和选修一的有3人，
则只学习必修一的有（人），
故选：D.
.
2．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人B．17人C．15人D．12人
【答案】B
【分析】利用容斥原理可得.
【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，
则参加田径运动的同学人数，
参加球类运动会的同学人数，
两次运动会都参赛的同学人数，
则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为
.
故选：B.
3．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】设对两项运动都喜爱的人数为，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】设对两项运动都喜爱的人数为
根据已知作出venn图，

根据venn图可得，，
解得.
故选：C.
1．设全集为R，集合，.
(1)若a=3，求，；
(2)若，求a的集合.
【答案】(1)，
(2).
【详解】（1）因为全集为R，，所以或.
当时，集合.
所以，或；
（2）若，则所以.
所以的集合为.
2．已知集合，
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，0，1，2，3；
(2).
【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数；
（2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）不等式，解得，得
∴集合中的所有整数为，0，1，2，3；
（2）∵，∴，
①当时，，即，成立；
②当时，由，有，解得，
所以实数的取值范围为.
3．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值.
【答案】
【分析】根据描述法的定义，分别化简集合 ，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果.
【详解】
，因此且，
所以，即；
又，
因此
即，，所以；
又，
因此
即，，所以.
【点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．