高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质同步训练题

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题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可.
【详解】当时，满足，但，故充分性不成立，
若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，故B正确.
故选：B
2．已知、、，则下列选项可能成立的是（ ）
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、，
【答案】C
【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可.
【详解】因为、，故，排除BD；
因为，所以，，
又，所以，
故A错误，C正确.
故选：C
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据特殊值法，集合间关系，元素和集合的关系及不等式的性质判断各个选项即可.
【详解】对于A:当不为0，A选项错误；
对于B:当，则,B选项错误；
对于C:当,则,C选项错误；
对于D:当,则,D选项正确.
故选：D.
题型2 由不等式的性质比较数（式）大小
1．若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过画数轴即可求解.
【详解】通过画数轴，根据解集为，判断出和的关系，得．
故选：C.
2．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
3．若,且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】由得，当时，，此时，，故CD错误，
当时，，此时A错误，
综上可知，当时，则成立，故B正确，
故选:B.
题型3 作差法比较代数式的大小
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论.
【详解】由于，则成立，等价于成立，
充分性：若，且，则，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中，且，
则可得成立，即成立，满足必要性；
故选：C.
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接由作差法逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意，即，故A错误；
对于B，由题意，即，故B错误；
对于C，由题意，即，故C正确；
对于D，由题意，即，故D错误.
故选：C.
3．已知且，，则、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】由作差法比较大小.
【详解】已知.则，
所以，
，因此，.
故选:C.
题型4 作商法比较代数式的大小
1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
2．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
3．设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
题型5 由不等式的性质证明不等式
1．若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，判断各选项是否正确.
【详解】由，则，A选项错误；
由，时，不满足，B选项错误；
由，则，C选项错误；
由，则，D选项正确.
故选：D
2．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可.
【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确；
B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误；
C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误；
D项，若，当时，，故D错误.
故选：A.
3．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题.
【详解】法一：已知，，
令，，，，
则，，，故A项不正确；
又，，，故B项不正确；
而，故C项也不正确；
所以排除ABC.
法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾；
，与B项矛盾；
由，又，，
故不一定小于，故C项不正确；
由得，，又，两式相乘得，
两边同除以负数可得，，故D项正确.
故选：D.
题型6 用不等式表示不等关系
1．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．
【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，
故选：D．
2．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等关系求解即可.
【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即
故选：D
3．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意直接列不等式即可求解.
【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，
所以，
因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，
所以.
故选：BC.
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.
【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；
所以.
故选：A.
2．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A；举例说明判断BCD.
【详解】由及在R上单调递增，可得，A正确；
取，满足，而，B错误；
由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；
取，满足，而，D错误.
故选：BCD
3．比较大小： ．
【答案】＞
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：>.
4．若，则、、、中最小的是 .
【答案】
【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以，，
因为，，所以，
即
故答案为：
5．（1）已知，求证：；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得.
【详解】（1）由，得，则，
又，则，即，
不等式两边同乘，得，
而，所以．
（2）由，，得，即，
又，所以．
6．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论.
【答案】(1)
(2)变好，证明见详解
【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得；
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断.
【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为.
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125