高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式达标测试

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题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错．
【详解】，，故A错；
，，即，可得，，故B错；
，，且，则，故C正确；
，，而，则，故D错.
故选：C
2．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式的推导式结合作差法可直接判定结果.其余选项可用举反例和做差法来判定.
【详解】由于，可得，可知选项A错误，选项B正确；
可得则，可知选项C错误；
正负不定，
则大小不定，可知选项D错误.
故选项：B.
3．若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 .
【答案】
【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关不等式的问题，正确解题的关键是能够熟练掌握基本不等式，注意等号成立的条件.
题型2 由基本不等式证明不等关系
1．已知，求证：，并说明等式成立的条件．
【答案】证明见解析，
【分析】应用基本不等式证明，再计算取等条件即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立．
2．已知，求证.
【答案】证明见解析
【分析】直接写出三个重要不等式相加即得证.
【详解】∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(当且仅当等号成立).
3．已知，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将要求证的等式左边平方，利用基本不等式结合已知条件即可证结论，注意等号成立条件.
（2）利用“1”的代换有，再由基本不等式求证即可，注意等号成立条件.
【详解】（1），当且仅当时，等号成立．
．
（2）．（当且仅当时，等号成立）．

题型3 基本不等式求积的最大值
1．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，
当且仅当，即时等号成立，故最大值为，
故选：B
2．函数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】，，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最大值为，
故选：B.
3．已知，且满足，则（ ）
A．的最小值为48B．的最小值为
C．的最大值为48D．的最大值为
【答案】A
【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意得，所以，
所以，
当且仅当时取等，此时，故A正确.
故选：A
4．已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可．
【详解】，
当且仅当，
即时等号成立，
故答案为：．

题型4 基本不等式求和的最小值
1．函数的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】将函数化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，则，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故选：C
2．若，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】分同号和异号两种情况进行讨论，结合基本不等式即可直接求得答案.
【详解】因为，所以当同号时，，
，当且仅当时等号成立；
当异号时，，
，当且仅当时等号成立；
故选：C.
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可.
【详解】由，，，得，当且仅当时取等号，
反之，，，，取，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】根据条件整理，代入，利用基本不等式求解．
【详解】因为，，
，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
故答案为：8．
5．若，使取得最小值时的值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求出最小值及取最小值时的值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，即.
故答案为：
题型5 二次与二次（或一次）的商式的最值
1．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【详解】，因为，故，
则，当且仅当，也即取得等号，
故的最小值为.
故选：D.
2．设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．
故选：A.
3．函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
4．已知，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】变形式子，由均值等式求最值即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当．即时，等号成立．
故答案为：2
5．若正数，满足，则的最大值为 .
【答案】2
【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可.
【详解】，，，所以，即，，
根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2.
故答案为：2.
题型6 条件等式求最值
1．若，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式变形求解．
【详解】∵，
所以，当且仅当时等号成立，
，所以，当且仅当时取等号，
故选：C．
2．已知a，b为正实数，，则（ ）
A．ab的最小值为4B．ab的最大值为4
C．ab的最小值为2D．ab的最大值为2
【答案】A
【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得.
【详解】因a，b为正实数，由可得，
即得，当且仅当时取等号，
即时，ab的最小值为4.
故选：A.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．如果，那么的最小值是
D．如果，，，那么的最大值为1
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断AB，根据基本不等式求最值，判断CD.
【详解】A.根据不等式的性质可知，若，，则，故A正确；
B.若，则，，则，故B正确；
C.，则，当时，等号成立，所以的最大值是，故C错误；
D.若，，，即，
则，即，
所以时，最大值为1，故D正确.
故选:ABD
题型7 基本不等式的恒成立问题
1．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时，取得等号，
所以有最小值为，
因为不等式在上恒成立，
所以，解得，所以的最小值为4，
故选:C.
2．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解
【详解】不等式恒成立
由题意知，
，，且
当且仅当，即时取等号
，即
解得
故实数的取值范围是
故选：C
3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为18，可得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B.
4．若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解．
【详解】，
当且仅当，且，
即，时等号成立，
所以，
故答案为：．
5．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式恒成立，则,
因为,所以，当且仅当取等号，
所以.
故答案为：.
题型8 对勾函数求最值
1．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】选项A，利用排除法，当时，；
选项B，由配方法，可得；
选项C，利用基本不等式，可得解；
选项D，采用换元法，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，得解．
【详解】选项A，当时，，即A不符合题意；
选项B，，即B不符合题意；
选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意；
选项D，令，则在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意．
故选：C．
2．下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．（其中）
C．的最小值为2D．的最小值为2（其中）
【答案】B
【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可；
对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可；
对于C，D由对勾函数的性质求解即可.
【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故错误；
对于B，因为，所以，
所以，当，即时，等号成立，故正确；
对于C，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故错误；
对于D，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
即，故错误.
故选：B.
3．若函数在 时取得最小值，最小值为 .
【答案】 5 6
【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案.
【详解】由题设，则，
当且仅当时等号成立，函数最小值为6.
故答案为：5，6
4．函数的最小值为 ，此时＝ ．
【答案】 /
【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定对应自变量取值即可.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
所以函数在时取最小值.
故答案为：，
5．设实数满足，则函数的最大值是
【答案】/
【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值.
【详解】因为，所以中，，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
题型9 基本（均值）不等式的应用
1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．小于10gB．等于10g
C．大于10gD．大于或等于10g
【答案】C
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
故选：C
2．由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样D．采用哪种方案无法确定
【答案】B
【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得.
【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．
第一种方案的均价：
，当且仅当时取等号；
第二种方案的均价：
,因，则，故，当且仅当时取等号.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选:B．
3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A．第一种B．第二种C．都一样D．不确定
【答案】B
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，为正数，且，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，
则购买的平均价格为，
由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济.
故选：B

题型10 容积的最值问题
1．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元．
【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
2．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【答案】长为m，宽为m时总造价最低．
【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出．
【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，
当且仅当，又，即，时取到等号，
故长为m，宽为m时总造价最低．
3．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
(1)请根据基本不等式，证明：；
(2)请利用（1）的结论，证明：；
(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)米
【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案；
（2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证；
（3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值.
【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立,
所以当且仅当，时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）解：由于，当且仅当时等号成立，
令, 得，
即，故.
所以，当且仅当时等号成立.
（3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为.
所以.
由（2）中已证的不等式，可知，
当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立.
所以，因此，
综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米.

题型11 基本不等式的内容及辨析
1．下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．对任意，均成立.
【答案】A
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，当时，，所以C选项错误.
D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.
故选：A
2．设a，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】若，则成立，当且仅当时取等，
若，不妨设，则不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．的最小值为
C．若，则
D．存在，使得成立
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值不为，故B错误；
对于C，例如满足，但，故C错误；
对于D，存在，使得成立，故D正确.
故选：AD.
题型12 基本不等式“1”的妙用求最值
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】结合基本不等式，用“1的代换”即可求解.
【详解】，，
又，
，
当且仅当即，时等号成立.
故选：B．
2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【答案】B
【分析】由已知得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为25.
故选：B
3．已知均为实数且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为1.
故答案为：1.
1．已知正数、满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)1
(2)．
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）利用乘“1”法即可由不等式求解.
【详解】（1）∵，，∴．
又，∴．
当且仅当时等号成立，∴的最大值为1．
（2），
当且仅当，即时，的最小值为．
2．已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过，，，三式相加，可得：
.
再根据，，∴，，且，可得结果.
（2）先用公式和把原式转化为：
，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为，且，所以，，所以，
所以．
故.
（2），
，
当且仅当，时取等号，
的最大值为．
【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加．
3．若正实数x，y满足.
（1）若，求的最小值；
（2）若求的最小值
【答案】（1）；（2）18.
【解析】（1）利用“1”的代换凑出积为定值后由基本不等式得最小值；
（2）利用基本不等式得出关于不等式，解得可得．
【详解】（1），则，则，
∴
当且仅当时取等号，∴的最小值为
（2），，∴，∴，的最小值为18.此时．
【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方。