高中数学3.3 幂函数综合训练题

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题型1 判断函数是否是幂函数
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义即可得解.
【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确
故选：D.
2．下列函数中幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.
【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意；
B：函数为二次函数，故B不符合题意；
C：函数为二次函数，故C不符合题意；
D：函数为幂函数，故D符合题意.
故选：D

题型2 求幂函数的值域、定义域和解析式
1．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．偶函数D．减函数
【答案】A
【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，
所以，所以，
对A、B：因为，定义域为，值域为，
故A正确、B错误；
对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误；
对D：在区间，上单调递减，
由可知在定义域上不是减函数，故D错误.
故选：A.
2．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A．B．的定义域是
C．在上为减函数D．为奇函数
【答案】C
【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.
【详解】设幂函数，由，解得，
由，A选项错误；
的定义域是，B选项错误；
在上为减函数，C选项正确；
由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误.
故选：C
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出.
【详解】设，由，得，
，则.
故选：D
4．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设幂函数，将点的坐标代入即可.
【详解】设幂函数，将点代入得，所以,
所以幂函数的解析式为.
故选：B.

题型3 根据函数是幂函数或幂函数的值域求参数值
1．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．或1B．或2C．1D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得.
故选：C.
2．已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
3．已知函数，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为1
C．的最小值为1D．的最小值为0
【答案】B
【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值.
【详解】因为，所以定义域为，
由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以当时，，
当时，.
故选：B.
4．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可．
【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．

题型4 求与幂函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性
1．若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
2．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可.
【详解】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得
故选：B
3．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（ ）
A．B．C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解.
【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），
则，即，所以，
所以，
所以y＝f（x2）﹣2f（x） ，
当且仅当，即时取等号，
即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于，
故选：D.
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题.
4．函数在区间上的最小值是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性计算可得.
【详解】因为，所以在上单调递增，
所以.
故选：B
5．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.
【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，，所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，，所以为奇函数，
当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；
故选：B.

题型5 幂函数图象的判断及应用
1．函数的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的特点即可求解.
【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像.
故选：A.
2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
3．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，
且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；
当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，
是曲线；综上所述幂函数，，，，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.
故选：D.

题型6 幂函数的单调性的其他应用
1．幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（ ）
A．B．－1C．1D．－3
【答案】C
【分析】
设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值.
【详解】设幂函数，将代入，得：，
解得：，
故，它在上单调递减，故当时，取得最大值，
.
故选：C
2．幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（ ）
A．0B．0或2C．2D．0或1或2
【答案】B
【分析】由题得，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可．
【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数，
故，且是奇数，且是整数，
，，
当时，，是奇数，；
当时，，不是奇数；
当时，，是奇数；
故或2．
故答选：B
题型7 判断五种常见幂函数的奇偶性
1．已知幂函数．若是奇函数，则的值为 ．
【答案】3
【分析】由幂函数的定义结合奇函数的定义即可求解.
【详解】由题意，解得或，又是奇函数，
当时，不满足题意；当时，满足题意.
故答案为：3.
2．已知幂函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义和奇偶性即可求解.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.
当时，，是奇函数；
当时，，是偶函数，符合题意，
所以的值为1.
故答案为：1
3．写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意①定义域为；②是偶函数；故不妨取，是正整数，且容易验证，此时满足③当时，，故令，即可得满足题意的一个幂函数的解析式.
【详解】由题意当时，定义域为，且是偶函数（直接由解析式看出），
当时，，，故满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.

题型8 由幂函数的单调性求参数、解不等式或比较大小
1．已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】BC
【分析】根据幂函数的图象与性质，求得，再由二次函数的性质，求得，结合选项，即可求解.
【详解】由幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得在上单调递增，不符合题意；
又由函数在上不单调，则满足，
即，解得，
结合选项，可得选项BC符合题意.
故选：BC.
2．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
【答案】ACD
【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式.
【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
故选：ACD
3．已知（）（ ）
A．当时，的值域为B．当时，
C．当时，是偶函数D．当时，是奇函数
【答案】BC
【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.
【详解】当时，，此时的值域为，故A错误，
当时，在上单调递增，所以，B正确，
当时，，，所以是偶函数，C正确，
当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，
故选：BC

1．已知幂函数为偶函数，且函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)对任意实数恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据函数为幂函数得到方程，结合函数的奇偶性得到，得到，，换元法得到的解析式；
（2）变形得到，，换元后，利用基本不等式求出最小值，得到，求出答案.
【详解】（1）由为幂函数，得，解得或.
因为为偶函数，所以，
则.
由，可得，令，
则，
所以.
（2）由，可得，
故，，
令，则，
当且仅当1，即时，等号成立，
所以，即，所以的取值范围为.
2．已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的表达式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
【答案】(1)；
(2)① 或；②或；③且
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数即可得解；
（2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，得出交点坐标，结合函数图象即可比较大小.
【详解】（1），∵图象过点，故，解得，∴；
，∵图象过点，∴，解得．∴．
（2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示．
由图象可知，、的图象均过点和．
所以①当或时，；
②当或时，；
③当且时，．
3．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性并证明；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）减函数，证明见详解；
（2）的最大值为；最小值为
【分析】（1）函数在区间上是减函数，在上任取两个实数，且，最后判定的符号，得出结论；
（2）利用函数在区间上的单调性可求出函数最大值和最小值；
【详解】（1）函数在区间上是减函数，
证明如下：设是区间上任意两个实数，且，
则，
，
、，，
，即
所以函数在区间上是减函数.
（2）由（1）可知函数在区间上是减函数，
所以当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为.
【点睛】本题主要考查利用定义证明函数的单调性、根据函数的单调性求最值，用定义证明单调性步骤：“，任取、作差、变形、定号”，属于基础题.