福州金山中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份福州金山中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 估计的值在（ ）
A. 6和8之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间
答案：C
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
∴估计的值在2和3之间，
故选：C．
2. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：解：
、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意，
、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，
、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，
、不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意，
故选：．
3. 解方程，下列用配方法进行变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：∵，
∴，即，
故选：D．
4. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出4个球，下列事件是必然事件的为（ ）
A. 至少有1个球是白球B. 至少有2个球是白球
C. 至少有1个球是黑球D. 至少有2个球是黑球
答案：C
解析：
详解：解：一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出4个球；
A、至少有1个球是白球，是随机事件，故A不符合题意；
B、至少有2个球是白球，是随机事件，故B不符合题意；
C、至少有1个球是黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、至少有2个球是黑球，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
5. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
答案：C
解析：
详解：解：扇形的弧长：，
则圆锥的底面直径：．
故选：C．
6. 乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：阿虹离场时间介于当日的间，
阿虹的停车费为：元．
故选：B．
7. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．

8. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：∵是公共角，
∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意；
当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意；
当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意．
故选：D．
9. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（ ）

A. B.
C. 或D. 或
答案：C
解析：
详解：解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
答案：A
解析：
详解：解：当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且；
当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且．
故选：．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程的根是___________．
答案：
解析：
详解：解：，
，
或，
，
故答案为：．
12. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____．
答案：##0.6
解析：
详解：解：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EAB∽△EDC，
∴，
又∵AE=3，ED=5，
∴．
故答案为：．
13. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

答案：3
解析：
详解：连接OC，

Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
14. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．
答案：4
解析：
详解：∵⊙O的周长为8π
∴⊙O半径为4
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴正六边形ABCDEF中心角为
∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的
∴正六边形ABCDEF边长为4.
故答案为：4．
15. 将抛物线向下平移4个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
答案：1或5
解析：
详解：解：抛物线向下平移4个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移1个单位或5个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：1或5．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线（）第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则______．
答案：2
解析：
详解：解：设，，
，轴，
，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
，
，
设CD的关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴CD的关系式为：，
联立，解得：或，
∵点D在第一象限，
∴，
，
连结，设与轴交于点，
，
∵，
，
为AB的中点，，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形OBCE为平行四边形，
∴CE=OB，
∵OA=OB，
∴OA=CE，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
过点A作AM⊥x轴于点M，
∵AB=AC，，，
∴，
，
，
，
∴．
三、解答题（共86分）
17. ．
答案：
解析：
详解：解：
．
18. 已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
答案：(1)见解析；(2)m=-1-3.
解析：
详解：解: （1）∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
19. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：．
答案：见解析
解析：
详解：证：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
在和中
∵，
∴．
20. 小辉家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也不会亮）．
（1）若小惠任意闭合一个开关，“楼梯灯亮了”是 事件；
若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是 事件．（填“不可能”“必然”或“随机”）
（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
答案：（1）随机事件，不可能
（2）“客厅和楼梯灯都亮了”的概率为
解析：
小问1详解：
若小惠任意闭合一个开关，“楼梯灯亮了”是随机事件；
∵走廊的灯已坏，
∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件；
故答案为：随机；不可能；
小问2详解：
设楼梯灯亮了为事件A，客厅灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C，
则树状图如下：
所以共有6种等可能结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，
所以“客厅和楼梯灯都亮了”的概率为．
21. 小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．

（1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____；
（2）列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____；
（3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
（4）解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米．
答案：（1），
（2），
（3）见解析 （4），
解析：
小问1详解：
解：∵用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，小花园的一边长为米，
∴小花园的另一边长为，
∵总篱笆长为米，
∴，
故答案为：，；
小问2详解：
由（1）可知：，
当时，，
当时，，
故答案为：，；
小问3详解：
在坐标系中描点和，并用平滑的曲线连接点，如图所示：
小问4详解：
由图像可知：当时，有最小值为．
∴小强确定篱笆长至少为米．
故答案为：，．
22. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”.
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 ；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 ；
（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'
①求点E'的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值.
答案：（1）①
②
（2）①
②
解析：
小问1详解：
解：①∵点A在y轴上，
∴点B在x轴的正半轴上，且有，
∴点B的坐标为（2,0），
②∵点B在第一象限，
∴点A在第四象限，且，
设点A坐标为（m，n），其中，
∵，直线OB过点O、B，直线OA过点O、A，
∴直线OB的解析式为，直线OA的解析式为，
∴ ，
解得，
∴点A的坐标为（1，-2）；
小问2详解：
解：①设点坐标为（b，c），
∵，
又∵直线EG过点E、G，直线过点、G，
∴直线EG的解析式为，直线的解析式为，
∴ ，
解得 ，，
∴点的坐标为或，
设点的坐标为（e，f），
∵，
∵直线FG过点F、G，直线过点、G，
∴直线FG的解析式为，直线的解析式为，
∴ ，
解得 ，，
∴点的坐标为或，
∴为以点和点为端点的线段，或以点和点为端点的线段，
∵按定义为顺时针旋转，旋转90°后，点在点正上方距离为1，
∴为以点和点为端点的线段，
∴点的坐标为，
② E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，则有，
为以点和点为端点的线段，所以有，
由（1）式解得，
由（2）式解得，
∵，
∴，
此时，
∴，
∴当时，有最大值．
23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若，AB＝4，AD＝2，求AF的长．
答案：（1）相切，理由解析；（2）
解析：
详解：解：（1）相切．
理由是：连接，如图1．
四边形内接于，，
是的直径，即点在上．
．
．
．
又，
，即．
于点．
是的切线．
（2）如图2，与交于点，
，
．
．
．
，．
，，
．
．
．
设，则．
在中，，
．
解得：，（舍．
．
24. 已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：∵，
∴，
∵点在点右侧，
∴，
∴抛物线的解析式是，
小问2详解：
解：当时，，
∴，
把代入得：，
解得，
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
∴，
∴，
即，
把和代入解析式，得：
，解得：，
，
解方程组得(舍）,
∴；
小问3详解：
如图，过E，F两点作轴，轴于点，则，
解：把代入得，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
，
联立与解得，即
联立和解得（舍）或，即，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，即m有最小值，最小值为．
25. 如图，在等边中，D，E分别是边上的点，且，点C与点F关于对称，连接交于G．
（1）连接，则之间的数量关系是_______；
（2）若，求的大小；（用α的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明．
答案：（1）见解析 （2）
（3）．理由见解析
解析：
小问1详解：
解：如图：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点C与点F关于对称，
∴，
∴．
故答案为：．
小问2详解：
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵点C与点F关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴F，E，C在以D为圆心，为半径的圆上，
∴．
小问3详解：
解：结论：．理由如下：
如图：连接，延长交于点H，
∵是等边三角形，
∴，
∵点C与点F关于对称，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
四边形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵，
∴．停车时段
收费方式
20元小时
该时段最多收100元
5元小时
该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
1
2
3
4
5
10
6