深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷及参考答案

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1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．设非零向量，则“”是“或”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
5．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
6．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B．C．D．
8．设函数，，若存在x1，x2，使得，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则函数（ ）
A．单调减区间为B．在区间上的最小值为
C．图象关于点中心对称D．极大值与极小值的和为
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线是的一条渐近线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在数列中，，，则数列的通项公式为 ．
13．已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是 .
14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
16．（15分）
如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）
随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大?
18．（17分）
已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
19．（17分）
牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
(1)若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值；
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：．