湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．8B．9C．10D．100
3．（5分）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
5．（5分）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，则不同关灯方式的种数是（ ）
A．21B．35C．70D．126
6．（5分）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
7．（5分）已知奇函数及其导函数的定义域均为，．若，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知O为坐标原点，，，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列说法正确的有（ ）
A．的展开式的第4项的系数是280
B．对于随机变量X，若，则
C．已知随机变量，若，则
D．一组数据8，9，9，11，13，14，15，18，20，21的第60百分位数为14.5
（多选）10．（6分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动点．若，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆E的离心率为
B．若，则
C．直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于
D．符合条件的点P有且仅有2个
（多选）11．（6分）已知A，B两点的坐标分别为，，直线，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ）
A．点M的轨迹关于y轴对称B．点M的轨迹关于原点对称
C．若且，则恒成立D．若且，则恒成立
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为2%，乙厂生产的次品率为3%，60%，从中任取一件产品______．
13．（5分）已知函数的部分图象如图所示．若在中，，______．
14．（5分）祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，E是边BC的中点，且
16．（15分）如图所示，AB是的直径，点C是上异于A，PC⊥平面ABC，E，F分别为PA
（1）求证：EF⊥平面PBC；
（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．
17．（15分）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1
（1）求的方程；
（2）若过点的直线l与相交于A，B两点，求直线l的方程．
18．（17分）已知函数，，其中．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，令函数，证明：．
19．（17分）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“k阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”．
例如：
1，3，7，13，21
后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…
这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，31…为“二阶等差数列”．
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
（2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为；
（3）若“三阶等差数列”的前4项依次为1，4，10，，求．
2023-2024学年湖南省邵阳市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．
【解答】解：集合，则．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．【分析】利用复数模的公式求解即可．
【解答】解：，则．
故选：C．
【点评】本题考查了复数模的求法，是基础题．
3．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出函数的值．
【解答】解：由于，故，
故．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的诱导公式，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．【分析】根据空间中各要素的位置关系逐一判断即可．
【解答】解：若，，∴A选项错误；
若，，∴B选项错误；
若，，又，∴C选项正确；
若，，，则不一定成立．
故选：C．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5．【分析】根据题意，采用插空法完成，先将保留的8盏灯排成一排，在8盏灯形成的7个空位中，选出5个空插空即可得解．
【解答】解：因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的8盏灯排成一排，进而在8盏灯形成的2个空位中，所以共有（种）不同的关灯方式．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了插空法的应用，属于基础题．
6．【分析】根据等差数列性质可得，从而，进而，由此能求出的最小值．
【解答】解：∵公差不为0的等差数列满足，
∴根据等差数列性质可得，∴，
∴
当且仅当时，取“＝”号，
∴的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．【分析】构造函数，判断的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：设，
若为奇函数，则，
所以，即函数为偶函数，
因为．
又当时，，
所以，则函数在，
故在（上为增函数．
则，，且．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8．【分析】由平面向量的坐标运算可得P的轨迹方程，由条件可得Q的轨迹方程，再求圆上一点到直线上一点的距离的最小值即可．
【解答】解：因为，，
设，，，
所以点P的轨迹方程为：，
又由，得点Q的轨迹方程为：，
所以为圆上一点到直线上一点的距离，所以．
故选：B．
【点评】本题平面向量的坐标运算，点到直线的距离求法，属于基础题．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．【分析】根据二项展开式的通项公式可判断A；由期望的性质即可判断B；根据正态分布的对称性即可判断C；由百分位数的定义求解即可判断D．
【解答】解：对于A，的展开式的第4项为，所以第4项的系数为280，故A正确；
对于B，对于随机变量X，则，故B正确；
对于C，已知随机变量，若，
则，
则，故C错误；
对于D，数据从小到大排列为8，5，9，13，15，20，
因为，所以第60百分位数为．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二项式定理，正态分布，期望的性质，百分位数的定义，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论．
【解答】解：由，可得，可得；
设，则，，
若，可得，，，故B错误；
设，则直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为；
由，可得以O为圆心，则符合条件，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
（多选）11．【分析】由直线的斜率公式可得，，且，判断函数的奇偶性可判断AB；由不等式的性质和恒成立思想可判断CD．
【解答】解：由直线AM的斜率与直线BM的斜率之和是2，可得，化为，，可得函数y为奇函数，关于原点对称，故A错误；
当且时，，故C正确；
当且时，可取，由，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查直线的斜率公式和函数的性质、不等式恒成立问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，从中任取一件产品．
故答案为：0.026．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13．（5分）【分析】结合周期先求出，结合特殊点求出，结合最值求A，进而可得及B，然后结合余弦定理及三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵，∴，
又，，∴．
又，∴．
∵，∴，又，∴，
设角B，C，D的对边为b，c，，当且仅当．
∴，
∴，∴面积最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数性质在的解析式求解中的应用，还考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．（5分）【分析】令，分别代入=和中，求得，，由点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别，计算圆环的面积，根据祖暅原理求出该几何体的体积．
【解答】解：令，分别代入和中，
解得：，．
记点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R，r．
则，，此圆环的面积，恒为定值．
根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体的体积计算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【分析】（1）利用三角变换即可求解；
（2）根据，得到，再结合余弦定理求c，利用勾股定理求AE即可．
【解答】解：（1）∵，
由正弦定理得，∴，
由余弦定理可得，∴，
又，∴；
（2）∵，∴，∴，
∴在中，由余弦定理得，∴，
由勾股定理得．
【点评】本题考查三角变换，余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．
16．（15分）
【分析】（1）根据已知条件，结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：由PC⊥平面ABC，知，
由AB是的直径，知，
∵，∴AC⊥平面PBC，
由E，F分别是PA，知，∴EF⊥平面PBC．
（2）以C为原点，CA，CP所在直线分别为x轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，b，，
易知平面PAC的一个法向量，
设平面PAB的一个法向量，则
则，即，∴．
取，得，则，
∵二面角的正弦值为，则其余弦值为，
∴，
又，（，
解得，．故．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
17．【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）设直线l的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及向量的坐标运算求出t的值，再进行验证即可得到直线方程．
【解答】解：（1）因为动点到直线的距离比它到定点
所以动点到直线的距离等于它到定点
则动点的轨迹是以，为准线的抛物线，
故Γ的方程为；
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去x并整理得，
此时，由韦达定理得，，
因为，
所以，
解得或，则．
当时，直线l的方程为；
当时，直线l的方程．
故直线l的方程为．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（17分）【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）对求导，结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论即可求解；
（3）先对求导，结合导数与单调性关系，不等式恒成立与最值的转化关系即可证明．
【解答】解：（1）由题意得，，，∴．
∴切线方程为：，即；
（2）由题意得，，
①当时，上单调递减；
②当时，时，．时，．
综上，当时，上单调递减．
当时，在，在上单调递增．
（3）证明：当时，，
∴，
令，则．
构建函数，∴．
∴当时，，∴函数单调递增．
∴当时，，∴．
∵，，∴在（40．
∴当，，∴函数单调递减．
当，，∴函数单调递增．
∴当时，函数取最小值．
∵，∴．
∴，．
构造函数，∴．
令，∴．
∴当时，．
∴当时，．
∴，∴．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的综合应用，属于中档题．
19．（17分）【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；
（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解；
（3）结合已知递推关系及等差数列的求和公式先求出，然后结合组合数公式即可求解．
【解答】解：（1），，
∴是公差为4的等差数列，则数列是“二阶等差数列”．
（2）由题意，
∴
，
∵满足上式，∴，．
（3）∵是“三阶等差数列”，∴是“二阶等差数列”，
设，∴是“一阶等差数列”．
由题意得，，，
∴，
∴，，
∵满足上式，∴，．
∴
，．
∵满足上式，∴，．
∴
．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了等差数列的定义，递推关系的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．