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河南省漯河市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份河南省漯河市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了直线与圆交于两点，则弦的长，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的､
1.已知等差数列的前项和为，且也为等差数列，，则（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.直线与圆交于两点，则弦的长（ ）
A. B. C. D.
4.甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
7.现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为.上述语句正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.随机变量
B.随机变量，则
C.若相互独立且，则
D.随机变量最大时，
10.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ）
A.为的中点时，平面平面
B.为的中点时，平面
C.存在点，使得三棱锥体积是8
D.存在点，使得直线与平面所成的角为
11.我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（ ）
A.曲线过原点
B.的横坐标最大值是
C.的纵坐标最大值是
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的展开式的各二项式系数之和为512，则其展开式的常数项的值为__________.
13.已知是函数的零点，则__________.
14.半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13）为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出10人组成一个小组，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
16.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥中，，，且在线段上，且满足平面.
（1）求；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上.
（1）求的方程；
（2）若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分17分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）对任意的恒成立，求的值；
（3）证明：.
19.（本小题满分17分）正项数列满足：对于，其中为非零常数，则称数列为平方等差数列.记.
（1）判断无穷数列和是否是平方等差数列，若是求出，若不是，说明理由；
（2）若是平方等差数列且，证明：任意的正常数，存在正整数，使得.
（3）若是平方等差数列，，令是不大于的最大整数，求.
漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测
高二数学参考答案
（解答题方法不唯一，请阅卷前先做题，然后同组老师讨论，细化评分标准；确保阅卷过程中宽严适度，始终如一，让努力学习､认真答题的学生有获得感.辛苦大家!）
一､单项选择题：
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.D
二､多项选择题：
9.BCD 10.ABC 11.ABD
三､填空题：
12.84 13.1 14.
四､解答题：
15.解：（1）零假设：选择课程与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关.
（2）由表可知，男生中选课程的人数占，选课程的人数占，
故10名男生中，选择课程的人数为，选择课程的人数为
则所求的概率为.
16.（1）过点作交于，连接，由于平面，由线面平行性质知，又四边形为平行四边形.所以，
则.
（2）取线段的中点，连接.
又平面平面，由已知：平面平面平面.
以为坐标原点，过作的垂线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则易得平面的一个法向量
，则.
设平面的法向量为，
则
令，可得.
设平面与平面夹角为.
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.解：（1）由已知：，
椭圆的方程为.
（2）设，则，
整理得，又在上，
.
①
由对称性知：若存在点满足恒成立，则在轴上，设，则，
即，
将①代入，得：，
适合题意.即存在定点满足恒成立.
18.解：（1）的定义域为，
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
（2）等价于，
令，则不等式等价于，
当，则在上单调递减，时不合题意；
当，令得的递增区间为，
令得的递减区间为，
若，则当时，，不合题意；
若，适合题意；
若，则当时，，不合题意；
综上，.
（3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立.
时，，
，
，
，即，
.
19.解：（1）数列是平方等差数列.
理由如下：，满足平方等差数列定义，此时.
数列不是平方等差数列.
理由如下：不是常数.
（2）由，得，从而.
由为正项数列，从而.
，
又由，得
故.要使，只需，即，
解得，令，
即满足.
（3）由于是平方等差数列，且，得，
易得.
又，
故，
所以.选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的､
1.已知等差数列的前项和为，且也为等差数列，，则（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.直线与圆交于两点，则弦的长（ ）
A. B. C. D.
4.甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
7.现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为.上述语句正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.随机变量
B.随机变量，则
C.若相互独立且，则
D.随机变量最大时，
10.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ）
A.为的中点时，平面平面
B.为的中点时，平面
C.存在点，使得三棱锥体积是8
D.存在点，使得直线与平面所成的角为
11.我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题正确的是（ ）
A.曲线过原点
B.的横坐标最大值是
C.的纵坐标最大值是
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的展开式的各二项式系数之和为512，则其展开式的常数项的值为__________.
13.已知是函数的零点，则__________.
14.半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13）为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出10人组成一个小组，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
16.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥中，，，且在线段上，且满足平面.
（1）求；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上.
（1）求的方程；
（2）若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分17分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）对任意的恒成立，求的值；
（3）证明：.
19.（本小题满分17分）正项数列满足：对于，其中为非零常数，则称数列为平方等差数列.记.
（1）判断无穷数列和是否是平方等差数列，若是求出，若不是，说明理由；
（2）若是平方等差数列且，证明：任意的正常数，存在正整数，使得.
（3）若是平方等差数列，，令是不大于的最大整数，求.
漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测
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（解答题方法不唯一，请阅卷前先做题，然后同组老师讨论，细化评分标准；确保阅卷过程中宽严适度，始终如一，让努力学习､认真答题的学生有获得感.辛苦大家!）
一､单项选择题：
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.D
二､多项选择题：
9.BCD 10.ABC 11.ABD
三､填空题：
12.84 13.1 14.
四､解答题：
15.解：（1）零假设：选择课程与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关.
（2）由表可知，男生中选课程的人数占，选课程的人数占，
故10名男生中，选择课程的人数为，选择课程的人数为
则所求的概率为.
16.（1）过点作交于，连接，由于平面，由线面平行性质知，又四边形为平行四边形.所以，
则.
（2）取线段的中点，连接.
又平面平面，由已知：平面平面平面.
以为坐标原点，过作的垂线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则易得平面的一个法向量
，则.
设平面的法向量为，
则
令，可得.
设平面与平面夹角为.
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.解：（1）由已知：，
椭圆的方程为.
（2）设，则，
整理得，又在上，
.
①
由对称性知：若存在点满足恒成立，则在轴上，设，则，
即，
将①代入，得：，
适合题意.即存在定点满足恒成立.
18.解：（1）的定义域为，
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
（2）等价于，
令，则不等式等价于，
当，则在上单调递减，时不合题意；
当，令得的递增区间为，
令得的递减区间为，
若，则当时，，不合题意；
若，适合题意；
若，则当时，，不合题意；
综上，.
（3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立.
时，，
，
，
，即，
.
19.解：（1）数列是平方等差数列.
理由如下：，满足平方等差数列定义，此时.
数列不是平方等差数列.
理由如下：不是常数.
（2）由，得，从而.
由为正项数列，从而.
，
又由，得
故.要使，只需，即，
解得，令，
即满足.
（3）由于是平方等差数列，且，得，
易得.
又，
故，
所以.选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
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