天津市四校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份天津市四校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设x,,向量,,且,则的值为( )
A.5B.-2C.-3D.-5
3．抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为( )
A.B.C.D.
4．在四棱柱中,设,,,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知圆截直线所得线段的长度是,则圆M与圆的位置关系为( )
A.内切B.外切C.相交D.外离
6．设,分别是椭圆的左右焦点,过的直线与椭圆交于A、B两点,若的周长为16,且的最小值为2,则椭圆的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知为等比数列的前n项和,,,则( )
A.3B.C.D.
8．设,分别是双曲线（,）的左右焦点,P为双曲线左支上一点,且满足,直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
9．直线与圆交于A、B两点,点E为中点,直线与两坐标轴分别交于P、Q两点,则面积的最大值为( )
A.B.9C.10D.
二、填空题
10．已知椭圆的短轴长为6,则实数m的值为__________.
11．已知等差数列的前n项和为,且,,成公比为q的等比数列,则q的值为_______________.
12．已知空间中三点,,,则点A到直线的距离为_______________.
13．过原点的一条直线与圆相切,交焦点为F的拋物线于点P,若,则p的值为________________.
14．已知圆,直线,过直线l上一点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则四边形面积的最小值为________________.
15．在数列中,,且,则______________.
三、解答题
16．已知圆C经过点和,且圆心C在直线上,
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点作圆C的切线l,求直线l的方程.
17．如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,E是的中点,点F在棱上且
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
18．已知为数列的前n项和,且,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前n项和;
(3)设数列的前n项和为,求数列的前n项和.
19．已知㭻圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线与椭圆C交于点P（异于顶点）与y轴交于点M,点F为椭圆的右焦点,O为坐标原点,,求直线的方程.
20．已知是等差数列,是递增的等比数列.,,.
(1)求数列和的通项公式及;
(2)若数列满足,,
（ⅰ）求证：为等比数列;
（ⅱ）设,对,都有恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得,
故直线斜率
由于倾斜的范围是,
则倾斜角为.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为向量,,且,
所以,即,
所以解得,,,
所以,
故选：D.
3．答案：A
解析：由抛物线可知焦点,
双曲线的渐近线方程为,
所以焦点到直线的距离,
故选：A.
4．答案：C
解析：
,
故选：C.
5．答案：A
解析：圆的圆心为,半径为,
则圆心到直线的距离为,
所以,解得,
故圆M的圆心为,半径为,
,故两圆内切,
故选：A
6．答案：B
解析：如图,
由椭圆定义知,
所以的周长为,
所以,
又最小时,轴,即为椭圆的通径,所以,
所以,
所以椭圆的标准方程为：,
故选：B.
7．答案：C
解析：由题意知,为等比数列的前n项和,
则,,成等比数列,
由等比中项,得,
即,解得或（舍去）.
故选：C.
8．答案：A
解析：如图,
由双曲线定义可得,又,
所以,又渐近线方程为,
因为渐近线,所以,所以,
所以,
即,化简可得,
平方可得,即,
解得或（舍去）,
故选：A.
9．答案：D
解析：因为圆,所以,
因为,即,所以过定点,
直线,令,则;令,则,
则,,,作出图象如图所示：
因为E为中点,所以,所以点的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,
所以点E到的最大距离为,
所以面积的最大值为.
故选：D.
10．答案：3
解析：因为,所以,即.
故答案为：3.
11．答案：3
解析：,所以,所以,
故,
故答案为：3.
12．答案：
解析：由点的坐标可得,
则点A到直线的距离为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：易知圆和曲线关于轴对称,
不妨设切线方程为,,
所以,解得：,
由解得：或,即,
由于,
所以,解得：.
当时,同理可得.
故答案为：2.
14．答案：1
解析：如图所示,由圆,可得圆心,半径为,
则四边形面积,
要使得四边形面积的最小值,只需最小,
由圆心到直线的距离为,
所以四边形面积的最小值为.
故答案为：1.
15．答案：
解析：由得,
所以为等差数列,且公差为1,首项为3,
故,进而,
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆C的方程为,
则,解得,
故圆C的方程为;
(2)易知当直线l的斜率不存在时,,此时圆心到直线的距离为1,等于半径,故满足题意;
当直线l的斜率存在时,设,即,
则点到直线l的距离为圆C的半径,
即,解得,此时.
综上,直线l的方程为或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)连接交于O,连接,
由底面为矩形,则O为的中点,
又E为的中点,所以,
又平面,平面,所以平面;
(2)根据题意,以点D为坐标原点,分别以,,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
由 ,
则,,,,,,
则,,,
故平面的一个法向量为,
设为平面的法向量,则,即,
令,则,,故,
所以,
根据题意,可得平面与平面夹角为锐角,
故平面与平面夹角的余弦值为;
(3)由(2)可知为平面的法向量,,
所以,
所以点F到平面的距离为.
18．答案：(1),
(2)
(3)
解析：(1)当时,,所以,
当时,由可得,
两式相减可得：,即,
所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列,
所以,
所以.
(2)因为,
所以,
,
两式相减得,
,
所以.
(3)因为数列的前n项和为,所以,
所以,
则
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得,
所以,,,
所以椭圆方程为;
(2)由题意可得直线的斜率存在,故设直线的方程为,,
,
所以,所以,
故,,
所以,
所以,
所以,解得,
故直线的方程为.
20．答案：(1),,
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
解析：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则,解得或（由等比数列递增知不符合题意,舍去）,
所以,
所以,.
.
(2)（ⅰ）因为,,
所以,
即,又
所以是以为首项,公比为的等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）知,所以,
故,
所以,
当,时,单调递减,所以,时有最大值,
当,时,单调递增,且,
因为,所以,即的最大值.
因为恒成立,所以.