2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题1-1基本不等式及其应用【21类题型全归纳】-1含解析答案

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【题型1】基本不等式的直接使用
【题型2】常规凑配法求最值
【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法
【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换
【题型5】二次比一次型
【题型6】分离常数型
【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题
【题型8】利用对勾函数
【题型9】判断不等式是否能成立
【题型10】换元法（整体思想）
【题型11】基本不等式的实际应用问题
【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）
【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题
【题型14】消元法
【题型15】因式分解型
【题型16】同除型（构造齐次式）
【题型17】万能“k”法
【题型18】三角换元法（利用三角函数）
【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）
【题型21】多次运用基本不等式
【题型1】基本不等式的直接使用
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号．
1．若，，且，则的最小值是
2．若，则的最小值为 ．
【巩固练习1】
3．若，，则的最小值为 ．
【巩固练习2】
4．已知，，且，则的最小值是
【题型2】 常规凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成立
5．若，则的最小值为 .
6．已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【巩固练习1】
7．函数（）的最小值为 ．
【巩固练习2】
8．已知正数a，b满足，则的最小值为 .
【巩固练习3】
9．已知，则的最小值为 .
【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
（2023·广东广雅中学校考）
10．已知正数a，b满足，则的最小值为
（2024·江苏南通·二模）
11．设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【巩固练习1】
12．已知且，则的最小值是 ．
【巩固练习2】
13．若，且，则的最小值为 ．
【巩固练习3】
14．已知，，且，则的最小值为 ．
【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
15．已知，，，则的最小值为 ．
16．已知实数x，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．8
【巩固练习1】
17．若，，且，则有最小值是
【巩固练习2】
18．正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
【巩固练习3】（2024·安徽·三模）
19．已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【题型5】二次比一次型
基本模型：，当且仅当时等号成立
20．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．D．或3
21．函数的最小值为 ．
【巩固练习1】
22．已知，则函数的最小值是 ．
【巩固练习2】
23．已知正数x，y满足，则的最大值为 .
【巩固练习3】
24．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
【题型6】分离常数型
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：（x>0）
例2：
25．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【巩固练习1】
26．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【巩固练习2】
27．函数在上的值域是 .
【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题
方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解
28．已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（2020·山东·高考真题）
29．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】（2023广东广雅中学校考）
30．已知正数满足，则的最小值为 .
【巩固练习2】
31．若且满足，则的最小值是
【巩固练习3】
32．已知，则实数，满足（ ）
A．B．
C．D．
【题型8】利用对勾函数
当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值
33．当时，的最小值为 .
34．已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
35．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ．
【巩固练习2】
36．已知函数,若实数满足，且，则的取值范围是 .
【巩固练习3】
37．若对任意，恒成立，求实数的取值范围
【题型9】 判断不等式是否能成立
（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
（2）连续使用不等式要注意取得一致．
38．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
39．下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【巩固练习2】
40．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零实数，都有
D．若，则的最小值为4
【巩固练习3】
41．下面结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值是
B．函数的最小值是2
C．函数（）的值域是
D．，且，则的最小值是3
【题型10】换元法（整体思想）
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元
双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元
（单分母换元）
42．已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．4D．9
（双分母换元）
43．已知正数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
44．已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【巩固练习1】
45．已知，其中，，，则的最小值为 ．
【巩固练习2】
46．已知实数，且，则的最小值是 ．
【巩固练习3】
47．若，，，，则的最小值为 ．
【巩固练习4】
48．若正实数满足，则最小值为
【巩固练习5】
49．已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 .
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2020年天津卷：第14题，5分
基本不等式及其应用是是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
2021年乙卷：第8题，5分
2022年I卷：第12题，5分
2023年I卷：第22题，12分
参考答案：
1．##
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，，所以
，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值.
故答案为：.
2．2
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
3．##0.16
【分析】根据给定条件，利用基本不等式直接求解即得.
【详解】由，得，则，即，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
4．
【分析】运用基本不等式来求解即可．
【详解】由于，所以．
当且仅当，即时等号成立.
即当且仅当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：
5．0
【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：0
6．D
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：D
7．##
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
8．2
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可.
【详解】因为正数a，b满足，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2
9．##
【分析】先将式子化简消去分子的，进而利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
10．9
【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解最小值.
【详解】解：因为正数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：9．
11．C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等.
故选：C.
12．8
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为8.
故答案为：8.
13．5
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
14．16
【分析】根据常值代换法，妙用“1”，构造基本不等式的条件，即可求得所求式的最小值.
【详解】
当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16.
故答案为：16.
15．
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
16．C
【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可.
【详解】由条件可得
．
当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
17．5
【分析】应用基本不等式“1”的代换，把“1”换成，整理后积为定值，然后利用基本不等式求最小值即可.
【详解】，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值5.
故答案为：5.
18．B
【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数，满足，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是.
故选:B.
19．D
【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
20．B
【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．
故选：B.
21．
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
22．
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是
故答案为:.
23．
【分析】根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解.
【详解】∵正数x，y满足，∴.当且仅当，即时取等号，则，其最大值为.
故答案为：
24．B
【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.
故选：B
25．C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
26．B
【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，，，
所以，，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为6，
故选：B.
27．
【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解.
【详解】函数，
当时，；
当时，，
根据对勾函数的性质可知：
当时，，则，所以，
当时，，则，所以，
综上所述，函数在上的值域是.
故答案为：
28．ABC
【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.
【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确.
故选：ABC．
29．ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
30．
【分析】利用基本不等式直接求解最值即可.
【详解】因为是正数，，所以，
当且仅当时取等号，即当时，的最小值为.
故答案为：
31．7
【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，当，即时等号成立.
故答案为：.
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.
32．AD
【分析】对于A，根据对数函数的性质分析判断，对于C，由已知可得，从而可得，对于D，利用基本不等式判断，对于B，由，得分析判断.
【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；
对于C，由，得，所以，所以C错误；
对于D，因为，所以，得，所以D正确；
对于B，因为，所以，所以B错误.
故选：AD
33．3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设，则，
又由得，
而函数在上是增函数，
因此时，取得最小值，
故答案为：.
34．C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
则，即，可得，，
令，
根据对勾函数可得在上单调递增，则．
所以的取值范围是.
故选：C.
35．2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解.
【详解】依题意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，
所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
故答案为：2.
36．
【分析】根据对数的运算性质把函数的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结合已知、可以确定实数的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把代数式写成关于中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，
因为两段函数均为单调函数，实数满足，且，
所以有；又，所以，于是，则，所以；
令 ，任取，
则，
因为，所以，，
因此，
所以函数在上单调递增；
因此，即.
故答案为：
【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题，考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，考查了单调性定义的应用，考查了数学运算能力.
37．
【分析】法一:利用分离变量法求解参数的范围，、
法二：对二次函数的二次项系数和对称轴进行分类讨论，求带有参数的二次函数的最值，求解变量的范围.
【详解】法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质
当时，，成立；
当时，由题可得对任意恒成立，
令，则有，，
，
令，，根据对勾函数的性质可得，
所以，
所以当时，，
故实数的取值范围为；
法二：分类讨论
令，
①当时，，
对任意，恒成立；
②当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需，
解得，
故当时，对任意，恒成立；
③当时，对任意，，，
恒成立；
综上可知，实数的取值范围为．
38．CD
【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D.
【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误；
对于B，，当且仅当时取等号，
由得显然不成立，所以等号取不到，
即的最小值不是2，错误；
对于C，因为，所以，，
当且仅当时取等号，最小值是2，正确；
对于D，，易知，，
则，
当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确.
故选：CD.
39．D
【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可．
【详解】∵可能为负数，如时，，∴A错误；
∵可能为负数，如时，，∴B错误；
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．
故选：D．
40．AB
【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题.
【详解】解：对于A，恒成立，
则，都有，A选项正确；
对于B，当时，，
（当且仅当时取等号），
，，使得，B选项正确；
对于，当时，，C选项错误；
对于 D，当时，，令,
在上单调递增，
，
则的最小值不是4，D选项错误；
故选：AB.
41．ACD
【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．
【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
从而的最大值是，A正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；
时，，，
因为，所以时，，时，，
时，．
所以值域是，C正确；
，且，，
，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．
故选：ACD．
42．D
【解析】利用基本不等式的换“1”法，得到，进而利用基本不等式求解即可
【详解】∵
∴
则
当且仅当，即时取等号
故选:D.
43．B
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是将原式变形，二是基本不等式的使用技巧，三是一定要注意等号成立的条件.
44．A
【分析】x，y为正实数，利用基本不等式求的最小值.
【详解】x，y为正实数，则，当且仅当，即时等号成立.
最小值为6，
故选：A
45．16
【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答.
【详解】因为，，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故答案为：16
46．24
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【详解】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：
47．##
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
48．
【分析】“１”的妙用，凑出定值，利用基本不等式求解即可.
【详解】由于都为正数，且．
由
，当且仅当，时，
即时，等号成立.所以有最小值．
故答案为：．
49．
【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，
设，则，且，
原式
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4