2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-4导数与函数极值与最值【8类题型】含解析答案

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【题型1】函数的极值与极值点
【题型2】利用图像判断极值
【题型3】由极值或极值点求参数的值
【题型5】利用导数求函数的最值（不含参）
【题型7】求含参函数的最值
【题型6】根据函数的最值求参数的值
【题型4】由极值，极值点求参数范围【重点题型】
【题型6】根据函数的最值求参数范围
【题型8】函数极值、最值的综合应用
【题型1】函数的极值与极值点
1.极值点与极值的概念
极值与单调性一样，都是函数的局部性质
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
（2024·辽宁鞍山·二模）
1．的极大值为 ．
（2024·陕西西安·模拟预测）
2．函数的极小值点为（ ）
A．2B．C．D．
（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）
3．函数的（ ）
A．极小值点为B．极小值点为
C．极大值点为D．极大值点为
（23-24高三·湖北孝感·阶段练习）
4．函数的极大值为（ ）
A．B．C．D．
（2024高三下·全国·专题练习）
5．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 .
6．函数的极小值点为 .
【题型2】利用图像判断极值
利用函数图像判断极值的方法主要是观察图像在特定点附近的单调性变化.若图像在某点由上升转为下降，则该点为极大值点；若由下降转为上升，则为极小值点.通过比较该点与其邻近点的函数值大小，可进一步确认极值点的存在.这种方法直观且有效，适用于可直观观察的图像.
7．已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
8．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值
9．如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是的极大值点D．是的极小值点
（23-24高三·吉林长春·期中）
10．已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ）
A．有1个极大值点和2个极小值点B．有2个极大值点和1个极小值点
C．有最大值D．有最小值
【题型3】由极值或极值点求参数的值
由极值或极值点求参数值，通常需先对函数求导，找到极值点对应的导数等于零的方程.然后，将极值或极值点的坐标代入原函数或导数方程中，解出参数值.
（2024·青海·模拟预测）
11．已知函数的极值点为a，则（ ）
A．B．0C．1D．2
（2024·四川·模拟预测）
12．已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 .
（2024·宁夏银川·一模）
13．若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
（2024·辽宁·一模）
14．已知函数在处有极值8，则等于 ．
15．已知函数，若是的极值点，求的极值．
（23-24高二上·天津滨海新·期中）
16．函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0B．C．D．6
17．已知函数在处取得极小值，则的值为 ．
【题型4】利用导数求函数的最值（不含参）
利用导数求函数最值的详细步骤如下：
1.求导数：首先，对给定的函数求导，得到其导数表达式.
2.找临界点：
令导数等于0，解方程找出所有使导数等于0的点，这些点称为驻点或临界点.检查函数定义域内是否有导数不存在的点（如分母为0的点），这些点也是临界点.
3.判断单调性：
在每个临界点之间及临界点两侧选取测试点，代入导数表达式，判断导数的符号.根据导数的符号变化，确定函数在这些区间上的单调性（增或减）.
4.求最值：
在每个单调区间内，函数要么没有最值（如果区间是开区间），要么最值出现在区间的端点或临界点处.
对于闭区间，还需要检查区间端点的函数值.
比较所有候选点的函数值，确定函数在该区间上的最大值和最小值.
注意：对于实际应用问题，还需要考虑函数的实际定义域和约束条件.
（23-24高三·河南商丘·期末）
18．已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
（2024·浙江杭州·二模）
19．函数的最大值为 ．
（23-24高三·湖南益阳·期中）
20．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．D．
21．函数的最小值为 ．
【题型5】求含参函数的最值
求含参函数最值步骤：先对参数分类讨论，再对每类求导找极值点，结合边界点比较确定最值.
22．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的最小值.
23．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
24．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
【题型6】根据函数的最值求参数的值
根据最值条件建立方程，解方程求参数，验证解符合题意.
25．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
26．已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
27．若函数在区间上的最大值是4，则m的值为( )
A．3B．1C．2D．
28．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
【题型7】由极值，极值点求参数范围【重点题型】
一、根据极值或极值点个数求参数范围
首先需对函数求导并分析其导数.根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）.然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程.最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围.注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况.
二、根据函数有（无）极值点求参数范围
函数有无极值，需分析其一阶导数.首先求导，观察导数是否可能为零.若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值.根据有无极值的条件，建立关于参数的不等式或方程.解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况.
三、函数在某区间上存在极值点求参数范围
函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程.解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值点.
（2024·辽宁葫芦岛·一模）
29．已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·河北秦皇岛·三模）
30．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2024·高三·陕西咸阳·期中）
31．若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·广东潮州·期末）
32．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024高三·全国·专题练习）
33．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·陕西西安·模拟预测）
34．已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
（2024·新高考2卷真题）
35．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
（2024·重庆·模拟预测）
36．若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）
37．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·广东佛山·二模）
38．若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
（2024·重庆·三模）
39．若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A．B．C．D．
40．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 .
（23-24高三·湖北武汉·期末）
41．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三·广东广州·期中）
42．函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型8】根据函数的最值求参数范围
根据函数最值求参数范围题型，关键在于建立最值条件与参数之间的不等式或等式关系.首先，需明确函数在给定条件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）.然后，通过导数分析函数单调性，找到可能的极值点，并结合定义域边界点，确定最值的具体位置.最后，将最值条件转化为关于参数的方程或不等式，求解得到参数的取值范围.此题型考察函数性质、导数应用及不等式求解能力.
43．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 .
（2024·广西南宁·一模）
44．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
45．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
（2024·河南南阳·一模）
46．已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
（23-24高三下·福建·开学考试）
47．已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
48．已知函数的最小值为1，则的取值范围为 .
49．若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 .
【题型9】函数极值、最值的综合应用
函数单调性、极值、最值的综合应用题型常要求分析函数在特定区间内的行为，包括增减性、极值点及最值点.解题时，首先通过导数判断函数单调性，找出增减区间；其次，利用导数等于零的点及二阶导数测试确定极值点；最后，在闭区间上还需考虑端点值，综合比较得出最值.这类题型考察对函数性质的理解及导数应用的熟练度，是微积分中的重要内容.
（2024·重庆·三模）
50．已知，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．，使D．，使
（2023·广东·二模）
51．已知函数的最小值为0，则a的值为 .
（2024·全国·模拟预测）
52．设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年I卷第10题，6分
导数与函数极值、最值是高考数学的重要考点.函数极值每年必考，题型多样，难度适中.最值问题则常作为热点和难点，常与函数单调性、方程和不等式相结合，考查综合应用能力.高考常通过求函数在特定条件下的最值或根据最值条件求参数范围来考查学生的导数应用能力和解题技巧.这类题型要求学生熟练掌握导数性质，灵活应用函数性质，具有较强的逻辑思维和解题能力
（1）求导判断单调性（2）找极值点并分析性质
（3）确定最值位置并求解
（4）结合不等式求参数范围
（5）考察综合运用能力
2024年II卷第16题，5分
2024年II卷第11题，6分
2024年甲卷第21题
2023年乙卷第21题
2023年II卷第22题
2022年乙卷第16题，5分
2022年甲卷第6题，5分
2022年I卷第10题，5分
参考答案：
1．
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有极大值.
故答案为：.
2．A
【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.
【详解】因为，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2．
故选：A
3．B
【分析】求得，得出函数的单调区间，结合极值点的定义，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，解得；令，解得.
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值.
故选：B.
4．D
【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，则或，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选：D．
5．
【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点.
【详解】如图：
导函数的图象过点和，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴函数的单调递减区间为，极大值点为.
故答案为：；
6．
【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点.
【详解】由题意得，
令，可得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以处，取得极小值，
所以极小值点为.
故答案为：.
7．C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a