2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）重难点专题1-1函数的对称性与周期性问题【18类题型】-3含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）重难点专题1-1函数的对称性与周期性问题【18类题型】-3含解析答案，共37页。

【题型16】涉及导函数对称性问题
已知定义在D上的函数，为的导函数
1、若关于对称，则关于对称
【简证】因关于对称，所以，
同时求导得，故关于对称
2、若关于对称，则关于对称（证明同上）
3、若关于对称，则关于对称
【简证】因为，导函数图象关于点对称，则．
即：
设：，则
所以，（c为常数），
所以
即∀
所以的图象关于点对称．
4、若关于对称，则关于对称
【简证】因为，导函数图象关于点对称，则．
设：，则
所以，（c为常数），又
所以，的图象关于对称．
注意：若而为奇函数，那么为偶函数，而为偶函数，那么不一定为奇函数
2024·山东淄博·一模
1．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则 .
2024·长沙一中高三月考试卷（七）
2．已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3B．C．1D．
2022新高考1卷第12题
3．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
2024·福建福州2月质检
4．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2024·福建漳州·一模
5．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
2024·湖南邵阳·1月联考
6．已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．是周期函数D．
2024·湖南邵阳·一模
7．已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．关于对称B．关于点对称
C．D．
2024·湖南邵阳·二模
8．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
2024·山东潍坊·一模
9．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．（）
【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）
10．已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ）
A．0B．C．2D．
【巩固练习2】（2024·江西赣州·二模）
11．函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．是周期函数D．
【巩固练习3】（2024·湖南邵阳·三模）
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ）
A．不为周期函数B．的图象不关于点对称
C．D．
【巩固练习4】（2024·河北·三模）
13．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称．B．的图象关于点对称．
C．D．
【巩固练习5】（2024·山东聊城·一模）
14．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期B．曲线关于点对称
C．曲线关于直线对称D．都是偶函数
【题型17】两个函数混合型
两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
2024·湖南衡阳·二模
15．已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．为偶函数D．
2024·福建漳州第三次质检
16．已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（ ）
A．4B．8C．D．
【巩固练习1】2022全国乙卷第12题
17．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·四川南充·三模）
18．已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A．B．C．3D．4
【巩固练习3】（2024·湖南衡阳·三模）
19．已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于直线对称
B．函数为偶函数
C．4是函数的一个周期
D．
【题型18】两个函数混合且涉及导数
找出一个函数的对称性或周期之后，可以从图像平移变换的角度来得出另一个函数的对称性或周期
2024·广东韶关·二模
20．已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．
C．的周期为4D．
2024·广州市铁一中·月考
21．已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．的图象关于点中心对称
C．D．是偶函数
2024·广东燕博园·3月联考
22．已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．8是函数的一个周期
C．D．
2024·河南TOP二十名校·一模
23．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．D．
【巩固练习1】
24．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．函数是周期函数D．
【巩固练习2】（2024·湖北·模拟预测）
25．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．D．
【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）
26．已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数B．函数的图像关于点对称
C．D．
【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）
27．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．是奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．点（其中）是函数的对称中心
D．
【巩固练习5】（2024·湖北黄冈·三模）
28．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．D．
【巩固练习6】（2024·安徽芜湖·三模）
29．已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012B．2024C．D．
参考答案：
1．
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对，
两边同时求导得，
即，
则，，，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是对复合函数求导，并采用赋值法结合已知条件求解.
2．A
【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案．
【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称，
且．由，，得，
所以函数的图象关于对称，．
根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称，
得的图象关于点中心对称，，
则的周期为，，
故．
故选：A．
3．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
4．C
【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析.
【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即，所以3是的一个周期.
因为，故C正确；
取符合题意的函数，则
所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确；
因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，
所以，故A不正确；
因为，故D不正确；
故选：C.
5．D
【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果.
【详解】因为为奇函数，则，
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又因为为奇函数，则，
即，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8为的周期，
可知，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
6．ACD
【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于直线对称.故A正确；
因为为奇函数，则其图象关于对称，
向左平移一个单位后得到的图象，
则的图象关于对称，故B错误；
因为为奇函数，则，
则有，
所以①,
又，
则②,
由①②，
则，
则，，
则，
所以8是函数的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为，，
所以，
，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
7．BC
【分析】根据已知得出关于对称.假设关于对称，求导即可得出矛盾；根据偶函数的性质，得出，两边同时除以，即可判断B；根据已知，结合导函数得出关于对称，也关于对称，即可得出，，进而推得，即可得出C项；根据已知，无法确定.
【详解】对于A项，因为为偶函数，
所以关于对称.
若关于对称，则导函数关于点对称，
这与关于对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为为偶函数，
所以，即，
所以，所以B正确；
对于C项，因为为偶函数，
所以为奇函数，
所以关于对称，关于对称，所以.
又关于对称，所以.
所以，，
所以，故C正确；
对于D项，由A知，关于点对称，.
但无法确定.故D错误.
故选：BC.
8．ACD
【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于D，由，所以，即，
所以的周期为4，
且，
所以，故D正确；
对于A，由为奇函数知关于对称，所以，
由得0，即，
故的周期为4且，可得，故A正确；
对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，
则有，即，所以，
令，得，故，所以关于对称，
又，所以，故B错误；
又，所以，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
9．ABD
【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.
10．C
【分析】根据的性质结合导数运算分析可知的图象关于对称，结合奇函数分析可知的周期为4，根据周期性运算求解.
【详解】因为为奇函数，则，
即，可知的图象关于点对称，
可得，即，
可知的图象关于对称，则，
又因为为奇函数，则，
可得，可知的周期为4，
所以.
故选：C．
11．BC
【分析】由是奇函数可判断A；利用向右平移1个单位后可得可判断B；利用是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得，再由可求出的周期可判断C；由可得，即可判断D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，
则有，的图象关于点对称，故A错误；
对于B，是奇函数，其图象关于原点对称，
向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以①，
因为，所以②，
由①②可得：，所以，
所以，，
所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确；
对于D，因为，所以，
，，，
所以，
而，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
12．C
【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以，即，
则的图象关于点对称，B选项错误．
由，得．
令，则，
由，得的图象关于直线对称．
又的图象关于点对称，则，
所以，即，
则可得的图象关于点对称，
故为周期函数，且周期为8，，
所以，，D选项错误．
又，则，
所以，由得：，故为周期函数，A选项错误．
由，两边求导得：，
由得：，令得：，
利用的周期为8，则，C选项正确．
故选：C．
13．BD
【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，
所以的图象关于中心对称，故A错误；
对于B，由为偶函数，所以，
所以，即，
即，则，
所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于D，由，，知，
又，，所以，
所以，即，
所以为周期是的函数，即，故D正确.
对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，
不妨设，所以，周期均为且，
所以，所以C错误；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以.
14．BC
【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.
【详解】由是奇函数，故有，即有，
故，则，即，故关于对称，
由，则，即，
故关于中心对称，
由，则，又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为，故，
又，故，故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对C：由周期为，故，
又，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
15．ACD
【分析】利用是奇函数，，，逐项判断选项.
【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确；
由，，令，则，故不是奇函数，故B错误；
由，令，则，
故，所以，
而，则，
故，
所以是偶函数，故C正确；
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以的周期为8，
因为，所以4)，
所以，即，
因为，所以由，得，得，
由2，得，
因为的周期为8，所以
，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查抽象函数及其性质，利用替换求解，考查运算求解能力，属于较难题.
16．D
【分析】根据题中条件可得的图像关于对称，结合是奇函数，可得的图象关于点中心对称，继而可得是以4为周期的周期函数，通过赋值，进一步计算即可.
【详解】因为的图象关于对称，所以．
因为①，则，
即②，①-②得，，
所以的图像关于对称．
令，则是奇函数，
所以，即，
所以的图象关于点中心对称，
所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数．
因为，所以．
因为是以4为周期的周期函数，
所以也是以4为周期的周期函数，
取，，所以．
因为，所以，
所以．
取，所以，
所以，
所以，
故选:D．
17．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
18．B
【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【详解】由函数的图象关于原点对称，，
即，即①，
由函数的图象关于y轴对称，可得②，
由可得，又得，
两式相加，，将①式代入，得，
则得，将②式代入得，，则，
于是，即的周期为12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：①和②，再由利用消元思想，转化为关于的关系式是最关键之处，其次是利用的关系式求得的周期是第二关键，之后赋值求得即可得解.
19．BCD
【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C；
计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。
【详解】因为是偶函数，所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为是奇函数，所以，
即，代入，得，
所以.由，得，
所以，所以函数为偶函数.故选项B正确；
因为，所以，由，
得，所以，得，
所以，所以4是函数的周期.故选项C正确；
由，得，所以，所以，
由，得，，所以，，
因为，所以，故选项A错误；
由，得即，
所以，故选项D正确.
故选:BCD
【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。
解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质。
20．ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由，得①，
②，得③，
由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；
由，得，令，得；
由，得，
令，得，
∴④，
又⑤，令，得，故B错误；
④⑤两式相加，得，得，
所以，即函数的周期为4，故C正确；
由，令，得，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.
21．AD
【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D．
【详解】选项A：在中取为，得，
所以，取为，得，
因为函数是偶函数，所以，
取为，得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；
选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；
选项C：设，
则，
两式相加，得
2022，
所以，即，所以C错误；
选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确
故选：AD
22．ABD
【分析】根据题意，先由条件以及函数的对称中心可得函数的周期，即可判断AB，再赋值计算，结合函数的周期性以及对称性，即可判断CD
【详解】因为，令，则，
即，所以，
用替换可得，即，
又，则，，
所以，令，可得，
所以，
再由，令，则，
所以，即，
用替换，可得，
且，即，
将代入，可得，
所以函数关于直线对称，故A正确；
又函数的图像关于点对称，即，
所以是函数的一个周期，故B正确；
由，令，则，
因为函数关于直线对称，则，
且函数的图像关于点对称，所以，
则，故C错误；
由，令可得，
令可得，
则，
又8是函数的一个周期，且函数关于直线对称，
则，，
又函数的图像关于点对称，即，
令，则，所以，
则，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的对称性以及周期性的综合应用，难度较大，解得本题的关键在于求得函数的对称轴，从而确定其周期，即可得到结果.
23．BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
24．BCD
【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故为奇函数，
若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；
对B：由，则，
又，即，
即，又定义在上，
故为奇函数，故B正确；
对C：由，，，
所以，则，
所以，，
所以，所以，
则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确；
对D：由是周期函数的周期函数，
由，令，则，即，
令，则，即，
由，，
则，则关于对称，则关于对称，
又为奇函数，即关于中心对称，
故关于对称，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
25．AC
【分析】对于A：由可设，根据题意分析可得，，即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数的周期，结合周期性分析求解；对于B：分析可知，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解.
【详解】对于选项A：因为，则，
可得，
又因为，可得.
令，可得，解得，
可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确；
对于选项C：因为为奇函数，
可知的图象关于点对称，且，
令，可得，即；
令，可得；
令，可得；
由函数的图象关于直线对称，可得；
所以，
又因为，则，
可知函数的周期，
所以，故C正确；
对于选项B：由AC可知，
可得，，
所以，故B错误；
对于选项D：可得，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
26．ACD
【分析】由，可设，，由，得，赋值，则有，即，函数的图像关于直线对称，又得，也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项
【详解】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛： 一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．
27．C
【分析】对于A，由为奇函数，可得的图象关于中心对称，由，可得，再求得，即可判断；对于B，对两边求导，即可判断；对于C，结合的对称性及，可得的一个对称中心为及的图象关于对称，即可判断；对于D，由已知可得的周期为，再由求解即可判断.
【详解】解：对于A，因为为奇函数，所以，
所以的图象关于中心对称；
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
令，得，
所以，
所以，
所以，
所以关于对称，
所以，
所以一定不是奇函数，故A错误；
对于B，因为，
两边求导得，
即，
所以的图象关于对称，故错误；
对于C，由A可知，关于对称，
又因为为奇函数，，
所以的一个对称中心为，
又因为，
所以，
所以的图象关于对称，
则点（其中）是函数的对称中心，故正确；
对于D，因为，关于对称，
所以，
又因为的图象关于中心对称，
所以的周期为，
所以，
故，
所以
而的值不确定，故错误.
故选：C．
【点睛】结论点睛：如果函数满足，则函数的周期.
28．BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
29．D
【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案.
【详解】由于，则，
两式相加得，
故，
所以，
故，即，
其中两边求导得，，
故，
故，
将替换为得，
又，
故，
将替换为得，
则，
故是的一个周期，
其中，
故，
故.
故选：D
【点睛】结论点睛：
设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．