中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.2 直线的方程公开课教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.2 直线的方程公开课教案，共10页。

课 题
6.2 直线的方程
课时安排
4学时（共180分钟）
授课
教师
授课班级
二年级
教 材
分 析
《数学（基础模块 下册）》（总主编 秦静
本册主编 郭为 毕渔民）
授课类型
讲授
本节课是高教版《数学》（基础模块）（上册）第六章直线与圆的方程中的直线方程的知识。是来较为详细的学习直线的方。其实在初中时已经略有接触到直线的方程，但当时是以一次函数、正比例函数等函数的知识来学习，本节课学习认识掌握三种具体的直线方程形式。使得学生对于直线的方程，代数与图形之间的关系有更深的理解。本节以丰富的生活实例为引例，引入学习。
教 学
目 标
及 重
难 点
知识目标
1、了解倾斜角的概念及范围，了解斜率的定义
2、掌握过两点的直线的斜率公式，会求过两点的直线的斜率。
3、掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，理解截距的概念
4、了解直线的一般方程，会由直线的一般式方程求出直线的斜率和在y轴上的截距
能力目标
1、会根据定义求特殊倾斜角的直线的斜率、会求过两点的直线的斜率
2、能根据已知条件，求对应简单的直线方程。
3、会根据直线的方程求出直线的截距。
4、用“数形结合”的思想，掌握直线方程与图像的关系
5、培养学生动手画图能力、观察能力和数学思维能力
思政目标
人生就是一个个阶段,像直线一般在每一个阶段有一个起点,站在起点上,必须找到一个方向,只要我们找到了方向,就可以开始一段新的历程,这一段历程就是由起点和方向决定的一段直线。我们需要注意的是,在人生的每一段历程中,没有方向不行;选择什么样的方向非常重要,方向的选择决定我们走什么样的道路;方向也不是一成不变的,是需要根据情况随时调整的。
情感目标
在学习直线的方程时，掌握确定直线的必要条件，通过点斜式、斜截式、一般式方程的学习，锻炼学生解析几何的能力，灌输“数形结合”的思想。激发学生的学习兴趣。感受数学枯燥公式的魅力。
教学重点
斜率的概念，过两点直线斜率的计算公式；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式的理解及互化.
教学难点
直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.
教 学
策 略
引入生活中直线的例子，引入本节课的课题，让学生初步理解直线怎么由几何图形与一个代数式建立联系的。通过直线的方程的学习，让学生更加深刻的了解到解析几何的思想，磨炼学生画图像的能力，掌握直线方程的同时，上升至对于人生每个阶段的思考。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
课堂实施
一、
创 设情 景兴 趣导 入
直线的点斜式方程与斜截式方程
1、随着科技的不断发展,我国基础设施建设越来越完善, 高速公路总里程已超过 16 万公里,位居世界第一.如果把高速公路的某一段近似看成一条直线,其相对于水平地面的倾斜程度怎样表示呢？
2、水上乐园的滑梯、小游戏“黄金矿工”，向学生设问：坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？游戏成功过关的秘诀是什么？
直线的点斜式方程与斜截式方程
我们知道，根据平面
内直线上的一点以及直线的倾斜角能画出一条直线. 在平面直角坐标系中，已知一个点的坐标 P(x0,y0)和直线的斜率 k，如何写出一条直线 l 的方程？
6.2.3 直线的一般式方程
直线的点斜式方程 y-y0=k(x-x0)可化为
kx-y+y0-kx0=0，
直线的斜截式方程 y=kx+b 可化为
kx-y+b=0 ，
因此直线的点斜式方程和斜截式方程都可化为二元一次方程,那么二元一次方程 Ax+By+C=0 是否可以表示一条直线呢？
教师举生活中的例子，提出生活问题，引发学生思考
引入课题从学生熟悉的例子入手
利用实际问题引起学生的好奇心及求知欲；
教学中贯彻德育教育。激励学生努力学习，慢慢感受人生的每一个阶段（思政点）
课堂实施
二、
动 脑思 考探 索新 知
直线的点斜式方程与斜截式方程
我们知道，两点可以确定一条直线,若已知两个点的坐标,是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？
在平面直角坐标系中,如图,过点 P 可以做出无数条直线,这些直线相对于 x 轴来说，其倾斜程度是不同的.





在平面直角坐标系中,直线的倾斜程度可以用直线 l 与x 轴所成的角度表示.当直线 l 与 x 轴相交时, 直线 l 向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 α,称为直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定倾斜角 α=0.
因此, 直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 0≤α＜π.
在平面直角坐标系中,若直线 l 的倾斜角为 α,称倾斜角 的正切值为直线 l 的斜率,用小写字母 k 表示,即
k=tanα
设点为直线l上的任意两点.
当时，如图6-12（1）所示，直线l与x轴垂直，，tanα不存在此时直线的斜率不存在
当 ，且 时，如图6-12（2）所示，直线的斜率

当，且时，如图6-12（3）所示，直线的斜率

综上, 设 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) 为直线上任意两点, 且x1≠x2,则直线的斜率为:
（6-4）
公式（6-4）称为直线的斜率公式
直线的点斜式方程与斜截式方程
设点 P(x,y)为直线 l 上异于点 P0(x0,y0)的任意一点,它与 P0(x0,y0)连线的斜率 k 是确定的,由直线的斜率公式,得

即
y-y0=k(x-x0).
方程是由直线上一点 P0(x0,y0)及斜率 k 确定的,因此称为直线的点斜式方程.
当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=y0.此时直线 l 平行于 x
轴(或与 x 轴重合),如图(1)所示.
当斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=x0.此时直线 l 平行于 y 轴(或与 y 轴重合),如图(2)所示.

（1） （2）
2. 直线的斜截式方程
一般地，把直线 l与 y 轴交点(0,b)的纵坐标 b 称为直线 l 在 y 轴上的截距,与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 称为直线 l 在 x 轴上的截距.若直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴轴的交点为(0,b),则直线的点斜式方程为：
y-b=k(x-0),
即y=kx+b.
方程是由直线的斜率 k 及直线在 y 轴上的截距确定
的,因此称为直线的斜截式方程.
3. 直线的一般方程
当 B≠0 时,二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为

它表示斜率为,在y轴上截距为的直线。
当 B=0 时,此时一定有 A≠0,二元一次方程 Ax+By+C=0可化为

它表示经过点且垂直于x轴的直线
由上面的讨论可知,二元一次方程
Ax+By+C=0
表示一条直线,方程称为直线的一般式方程.
这样，平面中的直线与二元一次方程就建立了一一对应关系.
教师通过操作课件、讲解两点间距离公式的知识点
强调公式的重要性
教师通过操作课件、讲解线段中点坐标公式
强调公式的重要性
结合图形以及具体实例讲解两点间的距离公式，引导学生自己推到出公式
结合图形以及具体实例讲解线段中点坐标公式，引导学生自己推到出公式
四、
例题分析
直线的点斜式方程与斜截式方程
例 1 已知下列各直线满足的条件,分别求直线的斜率.
（1）直线与 x 轴平行；
（2）直线的倾斜角为
（3）直线经过点 M(-2,2)与点 N(3,-4)
解 （1）因为直线与 x 轴平行,倾斜角 α=0,所以斜率
k=tan0=0；
（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率

（3）因为直线过点 M(-2,2)与点 N(3,-4),所以斜率

例 2 已知直线的斜率为-1,求直线的倾斜角.
解 因为直线的斜率 k=tanα=-1,且 0≤α＜π,所以直线的倾斜角
直线的点斜式方程与斜截式方程
例 3 分别求满足下列条件的直线的点斜式方程：
（1）直线经过点A(1,2)，斜率为
（2）直线经过点A(2,3)，倾斜角为
（3）直线经过点M(2,3),和N(-1,-3).
解 （1）直线经过点A（1,2）且斜率 ，由直线的点斜式方程，得

即 x-2y+3=0
（2）由直线的倾斜角，得

又因为直线经过点A（2,3），由直线的点斜式方程，得

即
（3）直线经过点M（2,3）和N（-1，-3），由直线的斜率公式，得

因此直线的点斜式方程为
y-3=2(x-2).
即 2x-y-1=0.
例 4 设直线l的斜率是，在y轴上的截距是-2，写出直线l的斜截式方程
解 由直线的斜截式方程，得
即
例 5 已知直线经过点 A(2,5)和 B(1,4), 写出它的一般式方程.
解 设直线的一般式方程为 Ax+By+C=0,因为直线经过点A(2,5)和 B(1,4),所以有:
解得 A  B, C  3B
所以,直线的一般式方程为
x  y  3  0.
例 6 求直线 2x-3y+6=0 的斜率及直线在 y 轴上的截距.
解 将直线的一般式方程 2x-3y+6=0 化为直线的斜截式方程:：
由此得直线的斜率为，在y轴上的截距为2.
讲解例题，对于题目进行分析，教学生如何用所学到的公式，求解出正确答案
引发学生的思考，学生自主思考，分组讨论问题
讲解例题，对于题目进行分析，教学生如何用所学到的公式，求解出正确答案
通过解题，让学生更深刻了解公式的重要性以及应用，帮助学生更好熟练的掌握公式
发展学生举隅反三的能力，让学生对于公式有更深的理解，并且告诉学生不仅有公式
通过解题，让学生更深刻了解公式的重要性以及应用，帮助学生更好熟练的掌握公式
五、
巩固与练习
练习 6.2.1
α 表示直线 l 的倾斜角，k 表示直线 l 的斜率，完成下表：
分别求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角.
（1）A（1,1），B（2，0）（2）
（3）
已知点 ,Q(-1,a),若直线 PQ 的斜率为1, 求实数 a 的值.
已知点 A(m, 0), B(0, ) 在直线l 上，若直线l 的倾斜角为 ，求实数 m 的值.
练习 6.2.2
1、填空题：
若直线的点斜式方程是 y-2=x-1，则直线的斜率为___________
倾斜角为 .
若直线的点斜式方程是 y  2  (x 1) ，则直线的斜率为 ，倾斜角为 .
若直线的斜截式方程是 y  2x+3 ，则直线的斜率为
，直线在 y 轴上的截距为 .
2、判断点 A(2, 3) , B(4, 2) 是否在直线
3、分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
（1）经过点 A(1,3),斜率为 4；
（2）经过点 B(2,-5)、D(3,0);
（3）经过点倾斜角为
4、分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程：
（1）斜率是-2,在 y 轴上的截距是4
（2）倾斜角是，在y轴上的截距是3；
（3）斜率是 在 x 轴上的截距是-2；
（4）倾斜角为，并且经过点 A(3, 2) .
5. 已知直线的倾斜角是 ，在 y 轴上的截距为4,分别写出直线的点斜式和斜截式方程.
做课堂练习，巩固知识，让学生到黑板作业，并完成讲评
查缺补漏，鼓励学生通过做课后习题，增强学生学习数学的信心
六、
课 堂总 结
在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业
1.复习巩固本课知识。
2.学习与训练相关练习题。
布置作业