高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.4 圆一等奖教学设计

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.4 圆一等奖教学设计，共7页。

课 题
6.4 圆
课时安排
2学时（共90分钟）
授课
教师
授课班级
二年级
教 材
分 析
《数学（基础模块 下册）》（总主编 秦静
本册主编 郭为 毕渔民）
授课类型
讲授
本节课是高教版《数学》（基础模块）（下册）第六章的第四节，本节课继续来学习圆，圆这一块内容在小学、初中均有接触过，本节课的内容是学习圆的方程，也就是将平面几何图形的圆在平面直角坐标系中用一个代数方程来表示、会写圆的标准方程、一般方程。
教 学
目 标
及 重
难 点
知识目标
1、掌握圆的标准方程，已知圆心坐标及半径，会求圆的标准方程；已知圆的标准方程，会求圆心坐标及半径。
2、理解圆的一般方程；已知圆的一般方程，会求出圆心坐标和半径。
能力目标
1、用“数形结合”的思想，理解圆的标准方程以及一般方程；
2、培养学生动手画图能力、观察能力和数学思维能力；
思政目标
在人类接触圆的历史中，祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。 引导学生厚植爱国主义情怀”。融入“中国故事”思政元素，古代科学家刘徽和祖冲之最早提出计算圆周率的方法，彰显古人的聪明才智，是中华民族的骄傲，是我们民族和文化自信的源泉
情感目标
通过介绍祖冲之的故事，结合具体情境，体验数学与现实的紧密联系，能用圆的知识来解释生活中的现象。
教学重点
圆的标准方程和一般方程的定义
教学难点
圆的标准方程和一般方程的应用
教 学
策 略
通过介绍数学故事，激发学生学习热情，先用具体生活中的圆，唤起学生对于圆的初步印象以及之前小学初中时对于圆这一几何图形的知识，建立直角坐标系深化学习圆的方程。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
课堂实施
一、
数学故事课前介 绍
【课件演示】
介绍祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
教师通过介绍祖冲之的故事
引导学生厚植爱国主义情怀”
引入本节课课题
课堂实施
二、
创 设情 景兴 趣导 入
圆的标准方程
天圆地方是我国古人朴素的世界观,圆很早就被运用于中国传统建筑的设计之中,可以说,没有圆就没有中式设计,如北京天坛的圜丘坛就是典型的圆形建筑，还有中式园林中的“洞门”.
如何用方程的形式表示圆呢？
圆的一般方程
将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开整理,得
x2+ y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
令 D=-2a,E=-2b,F= a2+b2-r2, 则圆的标准方程化为一个二元二次方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
反之,一个二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示一个圆呢？
学生通过观看视频，了解到本章知识的重要性
教师利用视频、GGB等多种信息化手段，从现实生活引导学生发现坐标系的重要性，两点间距离的重要
学生观察教师的演示，交流讨论生活中观察到坐标系在生活中的应用
1利用实际问题引起学生的好奇心及求知欲；
2.对数学故事的解读引起学生的兴趣；
教学中贯彻德育教育。激励学生努力学习，给学生介绍祖冲之的故事（思政点）
课堂实施
三、
动 脑思 考探 索新 知
圆的标准方程
圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径.
在平面直角坐标系中,已知圆 C 的圆心为点 C(a,b),半径为 r.设圆上任意一点 M(x,y),则有|MC|=r.
由两点间距离公式,得
将这个等式两边平方,得
(x-a)2+(y-b)2=r2.
方程称为以C(a,b)为圆心, r 为半径的圆的标准方程.
若圆心在坐标原点 O(0,0) ,半径为 r,则圆的标准方程为
x 2+y 2=r2.
圆的一般方程
将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方整理,得
（1）当时，二元二次方程表示以为圆心，以为半径的圆.
（2）当时，方程为
二元二次方程只有一组实数解，它表示一个点
（3）当时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形。
综上，当时，二元二次方程
表示圆，这个方程称为圆的一般方程。
教师通过操作课件、讲解两点间距离公式的知识点
强调公式的重要性
教师通过操作课件、讲解线段中点坐标公式
强调公式的重要性
结合图形以及具体实例讲解两点间的距离公式，引导学生自己推到出公式
结合图形以及具体实例讲解线段中点坐标公式，引导学生自己推到出公式
四、
例题分析
例 1 求以点 C(1,2)为圆心,半径 r=2 的圆的标准方程.
解 因为圆心 C(1,2),半径 r=2,所以圆的标准方程为
(x-1)2+(y-2)2=4.
例 2 已知圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,求出圆心坐标及半径.
解 因为圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,所以圆心坐标为(-2,1),半径为 r=3.
探究与发现
设圆的方程为 x 2+ y 2=r2,如何判断点 P0(x0,y0)是在圆内、圆上还是圆外？
例 3 判断方程 x2+y2+2x+4y+4=0 是否为圆的方程?如果是, 求出圆心坐标和圆的半径.
解法一 由方程 x2+y2+2x+4y+4=0，知 D=2,E=4,F=4.因为
所以方程 x2+y2+2x+4y+4=0为圆的方程，圆心坐标为，圆的半径为
解法二 将方程 x2+y2+2x+4y+4=0配方，得
所以 x2+y2+2x+4y+4=0为圆的方程，圆心坐标为（-1，-2），圆的半径为1
例 4 求过三点 A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径.
解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为 A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方程，即
解三元一次方程组，得
D=-8,E=6,F=0.
因此，所求圆的一般方程为 x2+y2-8x+6y =0.
将方程 x2+y2-8x+6y =0 配方，得
(x-4)2+(y+3)2=52，
即圆心坐标为(4,-3),圆的半径为 5
探究与发现
中国天眼是口径 500m 的球面射电望远镜,是世界上已经建造完成的口径最大、最灵敏的单天线射电望远镜,如果把它的横截面看成圆形,选取适当的平面直角坐标系,可以用圆的标准方程表示为 x2+y2=2502.圆是生活和生产实践中常见的图形,试找出更多的例子并尝试建立圆的方程.
讲解例题，对于题目进行分析，教学生如何用所学到的公式，求解出正确答案
引发学生的思考，学生自主思考，分组讨论问题
通过解题，让学生更深刻了解公式的重要性以及应用，帮助学生更好熟练的掌握公式
发展学生举隅反三的能力，让学生对于公式有更深的理解，并且告诉学生不仅有公式
五、
巩固与练习
练习 6.4.1
写出下列圆的标准方程
（1）圆心 C(0,0),半径 r=1;
（2）圆心 C(0,1),半径 r=3;
（3）圆心 C(3,0),半径 r=2;
（4）圆心 C(2,-1),且圆过(5,5).
2、求下列圆的圆心坐标及半径.
(1) x 2+y 2=16;
(2) (x-1)2+ y 2=4；
(3) x 2+(y+3)2=9；
(4) (x-2)2+(y-1)2=2；
(5) (x+1)2+(y-3)2=25.
3、已知两点 P(-1,3), Q(2,-1),求以线段 PQ 为半径,点 P为圆心的圆的标准方程.
练习 6.4.2
1、求下列圆的圆心坐标和半径：
(1) x2+y2-4x=0;
(2) x2+y2+4y-5=0;
(3) x2+y2-6x+2y-6=0;
(4) x2+2x+y2-6y=0.
2、求以点(4,-2)为圆心, 2 为半径的圆的一般方程.
3、方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径.
做课堂练习，巩固知识，让学生到黑板作业，并完成讲评
查缺补漏
六、
课 堂总 结
在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业
1、书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2、查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3、拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
布置作业
继续探究延伸学习