[数学][期末]河南省开封市2023-2024学年高二下学期期末试题(解析版)

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 6
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，所以.
故选：B.
2. 一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（ ）
A. 0.05B. 0.5C. 0.95D. 0.095
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 已知等差数列中，，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】设公差，因为，，
所以，所以.
故选：B.
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
所以函数在点处切线斜率，
则切线方程为，即切线方程为，
故选：D.
5. 已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（ ）
A. 21B. 42C. 84D. 168
【答案】A
【解析】由，可得展开式通项公式为，
因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
所以，
解得，
所以.
故选：A.
6. 在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，
依题意点在圆上，可得，
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
7. 已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数，所以，
令，由题意得在上2个解，，
故，解得：，经检验适合题意；
故选：C.
8. 在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），
选取为基底，由题意，
而，
从而，
，
，
所以，
设，因为，所以，而，
因为
，
设，则，，
当且仅当，即，即时，的最小值为，
所以当且仅当时，.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 由成对样本数据，且得到经验回归方程为，其中（单位：cm）为女生的身高，（单位：cm）为其父亲的身高，则（ ）
A. 直线必经过点
B. 直线至少经过点，且中的一点
C. 已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为
D. 两位父亲身高相差，则他们女儿的身高相差
【答案】AC
【解析】对于A：回归直线必经过样本中心点，故A正确；
对于B：回归直线可不过任意一点，且，故B错误；
对于C：已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为，故C正确；
对于D：两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高的估计值相差，故D错误.
故选：AC.
10. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
若，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.故选：BCD.
11. 过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 可能取到3D. 可能取到4
【答案】AD
【解析】对于AB，圆的圆心为，半径为，
设，，要使最大，只需最大，
即只需，等号成立当且仅当，
所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误；
对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是，
显然，，由等面积法有，
所以，
又的取值范围是，
所以的取值范围是，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆，则圆C的半径_________．
【答案】2
【解析】由圆，整理可得：，
则圆的半径为.故答案为：2.
13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意得双曲线的渐近线方程为，
所以，这意味着，所以.
故答案为：.
14. 学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有_________种不同的排法（填写数字）．
【答案】240
【解析】第一步：2个集体节目共有种排法；
第二步：设先后顺序为第1，2，3，4，5，6，7，8场，
第一类：将3个音乐节目排在第2，4，6场，再排剩下的节目共有种排法；
第二类：将3个音乐节目排在第2，4，7场，再排剩下的节目共有种排法；
第三类：将3个音乐节目排在第2，5，7场，再排剩下节目共有种排法；
第四类：将3个音乐节目排在第3，5，7场，再排剩下的节目共有种排法；
综上所述，满足题意的排法共有种.
故答案为：240.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
（1）求C的标准方程；
（2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
解：（1）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
可得，所以，
所以椭圆的标准方程为:.
（2）已知，所以，设直线方程为，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.
16. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．
解：（1）设数列的公差为，由题意知：，
，
所以，所以的通项公式是.
（2）数列的通项公式为，
记数列与前项的和分别为，
则
.
17. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
（2）如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 在11分制乒乓球比赛中，每贏一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．
（1）求p的值；
（2）求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；
（3）记事件“，且甲获胜”的概率为，求．
解：（1）由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，
解之得.
（2）的可能取值为0，1，2，
的分布列为：，
，
，
所以.
（3）且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分；
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分.
按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，
所以，且，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
19. 已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”．
（1）若，，，求M的“f最近点”；
（2）已知函数，，，证明：对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”．
解：（1）当，，，
，，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，又，
所以M的“f最近点”为；
（2）设
设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”，
由题意，在处取最小值，
所以对任意，，即①，
，即②，
由①+②得，，
所以，
所以，
所以对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”.
0
1
2