2023-2024学年北京市燕山地区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市燕山地区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2的相反数是( )
A. − 2B. 2C. ± 2D. 1.414
2.“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花．”这首仅20个字的小诗，数字就占了一半．领悟到了数学和语文的学科融合．下面四个“数”字的图片中可以通过平移图案(1)得到的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB与CD交于点O，∠AOE与∠AOC互余，∠AOE=20∘，则∠BOD的度数为( )
A. 20∘B. 70∘C. 90∘D. 110∘
4.下列各数中，比大6且比7小的数是( )
A. 28B. 43C. 364D. 58
5.一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为( ).
A. x>−1B. x<0C. x≤2D. x<2
6.小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步30∼40分钟的人数最多；④每天早晨跑步0∼10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
7.若a>b，则下列不等式中错误的是( ).
A. a−1>b−1B. a+1>b+1
C. 2a>2bD. −2a>−2b
8.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为( )
A. x+y=250x+10y=30B. x−y=250x+10y=30
C. x+y=210x+50y=30D. x+y=210x+30y=50
9.一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α的度数是( )
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为4,0.线段OA以每秒旋转90∘的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段OA上，按照O→A→O→A…的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为( )
A. 0,1B. 0,2C. −1,0D. −2,0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.1625的平方根是__________.
12.如图，有一块含有45∘角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上，如果∠1=20∘，那么∠2的度数是__________.
13.已知点P3,y到x轴的距离是2个单位长度，则P点的坐标为__________.
14.如图，请你添加一个条件，使AB//CD，这个条件是__________，你的依据是__________.
15.下列调查，①了解我区饮用水的水质情况，选择抽样调查；②了解某种型号节能灯的使用寿命，选择全面调查；③了解歼−20新一代双发重型隐形战斗机各零部件的质量，选择抽样调查；④了解一批药品是否合格，选择全面调查．调查方式选择合理的是__________.
16.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，道路最高限速100km/h，该车速度v应满足的条件是__________.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CB可以看作是线段AO经过平移得到的，写出一种由线段AO得到线段CB的过程：__________.
18.某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌(如图).小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是______________千米．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：−2 2+327−1−2 2.
20.(本小题8分)
解不等式组：5x−17<8(x−1)x−6≤x−102，并把解集在数轴上表示出来，再写出它的所有正整数解．
21.(本小题8分)
解方程组：x+6y=84x−3y=5
22.(本小题8分)
已知：如图，直线AB、CD被直线GH所截，∠1=112∘,∠2=68∘，求证：AB//CD.
完成下面的证明：
证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112∘,
∴∠1=∠=112∘,
∵∠2=68∘
∴∠2+∠3=___________
∴//(_)(填推理的依据).
23.(本小题8分)
按要求画图，并解答问题：
已知：如图，OC平分∠AOB.
(1)在射线OA上取一点D，过点D作直线DE//OB，交OC于点E；
(2)若∠AOB=70∘，求∠DEC的度数．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A4,3，B3,1，C1,2.将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，可以得到三角形A1B1C1，其中点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．
(1)画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)直接写出A1、B1、C1三个点的坐标；
(3)已知点P在y轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，求点P的坐标．
25.(本小题8分)
为了解某小区家庭4月份用气量情况(该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2∼5之间，这300户家庭的平均人数约为3.4).
(1)下面三个样本中，______(填样本序号)的数据能较好地反映该小区家庭4月份用气量情况；
(2)对样本进行数据整理和描述；
a.抽样调查小区15户家庭4月份用气量统计表(单位：m3)：
b.用频数分布表整理数据：
c.用频数分布直方图描述数据：
d.用扇形统计图描述数据：
根据以上信息，解答下列问题：
①频数分布表整理数据中m=______，补全“频数分布直方图”，扇形统计图描述数据中n=______；
②由样本可以估计出：该小区人均用气量超过6m3的家庭约为：______户；该小区人均用气量在5.5≤x<6.7m3之间的家庭约为______户(结果保留整数).
26.(本小题8分)
有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？
27.(本小题8分)
如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O.点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E(点D在点O左侧，点E在点O右侧，)，过点O作OF//PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G做GM⊥AB于点M.
(1)①依题意补全图形；
②若∠PDO=27∘，求∠POF的度数；
(2)直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．
28.(本小题8分)
若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的3x−6=0解为x=2.不等式组x−1>0x<4的解集为10x<4的“友好方程”．
(1)请你写出一个方程，使它为不等式组2x−3>x−23(x−1)−x≤5的“友好方程”；
(2)若关于x的方程2x−k=4是不等式组3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−9的“友好方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+3−4m=0是关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解： 2的相反数是− 2
故选A.
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查平移的性质，根据平移前后大小和形状不变，只是位置发生改变，进行判断即可．
【详解】解：∵平移前后大小和形状不变，只是位置发生改变，
∴可以通过平移图案(1)得到的是选项B；
故选B.
3.【答案】B
【解析】【分析】先由∠AOE与∠AOC互余，求解∠AOC=70∘,再利用对顶角相等可得答案.
【详解】解：∵∠AOE与∠AOC互余，
∴∠AOE+∠AOC=90∘，
∵∠AOE=20∘，
∴∠AOC=70∘，
∴∠BOD=∠AOC=70∘，
故选：B.
【点睛】本题考查的是互余的含义，角的和差关系，对顶角的性质，掌握“两个角互余的含义”是解本题的关键.
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查实数比较大小，将6,7转化为 36, 49，进行判断即可．
【详解】解： A、 28< 36=6，不符合题意；
B、 36< 43< 49，符合题意；
C、364=4<6，不符合题意；
D、 58> 49=7，不符合题意；
故选B.
5.【答案】C
【解析】【分析】根据数轴、一元一次不等式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，不等式的解集是：x≤2
故选：C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式和数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式解集和数轴的性质，从而完成求解．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查直方图，从直方图中有效的获取信息，逐一进判断即可．
【详解】解：由图可知：小明同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74人；故①正确；
每天早晨跑步不足30分钟的有4+8+14=26人；故②错误；
每天早晨跑步30∼40分钟的人数最多；故③正确；
每天早晨跑步0∼10分钟的人数最少；故④正确；
故选C.
7.【答案】D
【解析】【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可.
【详解】解：∵a>b，
∴a−1>b−1,a+1>b+1,2a>2b,−2a<−2b，
∴上述四个选项中，A、B、C中的不等式都成立，只有D中的不成立.
故选D.
【点睛】熟记不等式的基本性质：“(1)不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.”是正确解答这类题的关键.
8.【答案】A
【解析】解：依题意得：x+y=250x+10y=30，
故选：A.
设买醇酒x斗，买行酒y斗，根据“醇酒一斗的价格是50钱、行酒一斗价格10钱，买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由三角板中的30∘角和直角，即可求解．
【详解】解：由图可知：α=90∘−30∘=60∘
故选：D
10.【答案】D
【解析】【分析】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是学会探究规律的方法．探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：第1秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P0,−1，
第2秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P−2,0，
第3秒时，OP=3，此时OA在y轴的正半轴上，P0,3，
第4秒时，OP=4，此时OA在x轴的正半轴上，P4,0，
第5秒时，OP=3，此时OA在y轴的负半轴上，P0,−3，
第6秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P−2,0，
第7秒时，OP=1，此时OA在y轴的正半轴上，P0,1，
第8秒时，OP=0，此时OA在x轴的正半轴上，P0,0，
即点P的坐标每8秒一个循环，1314÷8=164…2
∴第1314秒时P−2,0；
故选：D.
11.【答案】±45
【解析】【分析】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
根据平方根的定义解决此题．
【详解】解：1625的平方根是± 1625=±45.
故答案为：±45.
12.【答案】25∘
【解析】【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出∠3，即可求出答案．
【详解】
解：如图：
∵a//b，∠1=20∘，
∴∠1=∠3=20∘，
∴∠2=45∘−20∘=25∘.
故答案为：25∘.
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出∠3的度数是解题的关键．
13.【答案】3,2或3,−2
【解析】【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得y=±2求解即可．
【详解】解：∵点P3,y到x轴的距离是2个单位长度，
∴y=±2，
∴P点的坐标为3,2或3,−2，
故答案为：3,2或3,−2.
14.【答案】∠CDA=∠DAB
内错角相等两直线平行(答案不唯一)

【解析】【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：根据内错角相等，两直线平行，可以添加的条件为：∠CDA=∠DAB；
故答案为：∠CDA=∠DAB，内错角相等两直线平行(答案不唯一).
15.【答案】①
【解析】【分析】本题考查调查方式的判断，根据调查范围小，具有特殊意义的采用全面调查，调查范围广，具有破坏性的采用抽样调查，进行判断即可．
【详解】解：①了解我区饮用水的水质情况，选择抽样调查；正确；
②了解某种型号节能灯的使用寿命，应选择抽样调查；错误；
③了解歼−20新一代双发重型隐形战斗机各零部件的质量，应选择全面调查；错误；
④了解一批药品是否合格，应选择抽样调查．错误；
故答案为①．
16.【答案】75【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，列出不等式，进行求解即可．
【详解】解：12:00−11:20=40min=23h，
由题意，得：23v>50，
解得：v>75，
又∵道路最高限速100km/h，
∴75故答案为：7517.【答案】线段AO向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段CB(答案不唯一)
【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据对应点的坐标，写出平移规则即可．
【详解】解：由图可知：B4,2，
∵O0,0点的对应点为B4,2，
∴点O先向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到点B，
∴线段AO向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段CB；
故答案为：线段AO向右平移四个单位，再向上平移两个单位得到线段CB(答案不唯一)
18.【答案】28
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设第x块限速标志牌与第y个摄像头离入口距离相等(x,y均为大于1的整数)，根据二者离入口的距离相等，即可列出关于x，y的二元一次方程，进而得出x=18y−65，结合x，y均为整数即可得出x，y的值，再将x的值代入3+5x−1，即可求解，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头，
∴此时小糖糖数了7+1=8块标志牌，
设第x块限速标志牌与第y个摄像头离入口距离相等(x,y均为大于1的整数)，
依题意得：3+5x−1=10+18y−1，
∴x=18y−65，
∵x，y均为整数，
∴18y−6为5的倍数，
∴y的个位数字为2或7，
当y=2时，x=6，此时3+5x−1=28，
∵x+y=8，
∴小糖糖此时离入口的距离是28千米，
当y=7时，x=24，
∵x+y=31>8，(不合题意，舍去)，
故答案为：28.
19.【答案】解：原式=2 2+3−1−2 2
=2.

【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，进行开方运算，再进行加减运算即可．
20.【答案】解：{5x−17<8(x−1)①x−6⩽x−102②.
解：由①，得x>−3.
由②，得x≤2.
∴−3数轴表示解集如图：
∴正整数解为1，2.

【解析】【分析】本题考查解不等式组，求不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集，确定正整数解即可．
21.【答案】解：{x+6y=8,①4x−3y=5.②
②×2+①，得
9x=18
∴x=2
把x=2代入①，得2+6y=8
y=1
所以原方程组的解是x=2,y=1.

【解析】【分析】把②×2+①，消去y，求出x的值，再把求得的x的值代入①，求出y的值即可.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程组比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
22.【答案】证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112∘，
∴∠1=∠3=112∘
∵∠2=68∘，
∴∠2+∠3=180∘，
∴AB//CD，(同旁内角互补，两直线平行)
故答案为∠3，180∘，AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．

【解析】【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180∘，即可判定AB//CD.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
23.【答案】(1)解：如图，直线DE即为所求作的直线，
(2)∵OC平分∠AOB，∠AOB=70∘，
∴∠BOC=12∠AOB=35∘,
∵DE//OB,
∴∠DEO=∠BOC=35∘,
∴∠DEC=180∘−35∘=145∘.

【解析】【分析】(1)以O为圆心，任意长为半径画弧，与OA，OB交于点Q，T，再以D为圆心，OQ为半径画弧，与OA交于点N，再以N为圆心，QT为半径画弧，与前弧交于点M，再作直线DM即可；
(2)利用角平分线的含义先求解∠BOC=35∘,再证明∠DEO=35∘,再利用邻补角的含义可得答案．
【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，角平分线的定义，平行线的性质，掌握“作一个角等于已知角”是解本题的关键．
24.【答案】(1)解：如图：△A1B1C1即为所求．
(2)解：根据(1)所得图形可知：A10,6、B1−1,4、C1−3,5.
(3)解：设点P的坐标为0,b，则A1P=6−b，
∵以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，
∴12⋅6−b×1=2，解得：b=2或10，
∴点P的坐标为0,2或0,10.

【解析】【分析】本题主要考查了作图——平移变换、坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
(1)根据要求将三角形向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度画出即可；
(2)根据(1)画出的图写出A1、B1、C1三个点的坐标即可；
(3)设点P的坐标为0,b，则A1P=6−b，再根据△A1B1P面积为2列出方程求得b即可．
25.【答案】(1)解：样本3的数据能较好地反映该小区家庭4月份用气量情况；
故答案为：样本3；
(2)①由调查表可知：m=9，补全直方图如图：
n=1−40%−26.7%=33.3%；
故答案为：9，33.3%；
②该小区人均用气量超过6m3的家庭约为：300×415=80(户)；
该小区人均用气量在5.5≤x<6.7m3之间的家庭约为300×915=180(户).
故答案为：80，180.

【解析】【分析】本题考查统计图表，利用样本估计总体：
(1)根据样本的选择要有广泛性和代表性，进行选择即可；
(2)①根据调查表中的数据求出m的值，补全直方图，用1减去其它组所占的百分比，求出n的值即可；②利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
26.【答案】解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得：
x+y=4810x+12y=520，
解得：x=28y=20.
答：篮球队有28支，排球队有20支．

【解析】【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意找到等量关系列出方程组是解题关键．
27.【答案】(1)解：①如图：
②∵OF//PD，
∴∠1=∠2，
∵OC⊥AB，
∴∠DOC=90∘，
∵∠PDO=27∘，
∴∠2=90∘−27∘=63∘，
∴∠1=63∘，即：∠POF=63∘；
(2)如图，过点G作GN//AB，交OC于点N，
∴∠4=∠5，
∵OF//PD，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵GM⊥AB,GN//AB，
∴GM⊥GN，
∴∠MGN=90∘，
∴∠PGM=∠5+90∘，
∴∠PGM=∠3+90∘，
∴∠PGM−∠3=90∘，
即∠PGM−∠EOF=90∘.

【解析】【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和垂线的定义．
(1)①根据题意画出图形；②根据平行线的性质和垂线的定义解答即可；
(2)过点G作GN//AB，交OC于点N，根据平行线的性质和垂线的定义可得∠PGM−∠EOF=90∘.
28.【答案】(1)解：解不等式2x−3>x−2，
得x>1，
解不等式3(x−1)−x≤5，
得x≤4，
∴不等式组2x−3>x−23(x−1)−x≤5的解集为：1∵x−3=0的解为x=3，且1<3<4，
∴x−3=0是不等式组2x−3>x−23(x−1)−x≤5的“友好方程”，
故答案为：x−3=0(答案不唯一)；
(2)解：解不等式3x+1>2x，
得x>−1，
解不等式3(x−1)≥2(2x+1)−9，
得x≤4，
∴3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−9的解集为：−1关于x的方程2x−k=4的解为：x=12k+2，
∵关于x的方程2x−k=4是不等式组3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−9的“友好方程”，
∴x=12k+2在−1∴−1<12k+2≤4，
解得：−6(3)解：解不等式x+3m>3m，
得x>0，
解不等式x−m≤2m+1，
得x≤3m+1，
∴x+3m>3mx−m≤2m+1的解集为：0∵此时不等式组有3个整数解，
∴3≤3m+1<4，
解得：23≤m<1
关于x的方程x+3−4m=0的解为x=4m−3，
∵关于x的方程x+3−4m=0是不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“友好方程”，
∴x=4m−3在0∴0<4m−3≤3m+1，
解得：34综上所述，34
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键．
(1)分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案；
(2)分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案；
(3)分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案．
样本
样本容量
每户家庭人数
样本1
4
2、3、4、5
样本2
15
2、2、2、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、4
样本3
15
2、2、3、3、3、3、3、3、3、4、4、4、4、5、5
家庭人数
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
用气量
10
12
13
14
17
17
18
19
20
20
22
26
31
28
31
人均用气量x
5
6
4.3
4.7
5.7
5.7
6
6.3
6.7
5
5.5
6.5
7.8
5.6
6.2
人均用气量分组
4.3≤x<5.5
5.5≤x<6.7
6.7≤x<7.9
频数(家庭数)
4
m
2