2023-2024学年山西省太原实验中学七年级（下）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年山西省太原实验中学七年级（下）期末数学试卷-普通用卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列汉字可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上
B. 从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大
C. 某彩票的中奖率为35%，说明买100张彩票，有35张获奖
D. 打开电视，中央一套一定在播放新闻联播
3.如图，直线a//b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C.若∠1=45∘，则∠2=( )
A. 52∘
B. 45∘
C. 38∘
D. 26∘
4.下列方程组是二元一次方程组的是( )
A. 4x−y=−1y=2x+3B. 1x−1=y3x+y=0
C. x−y=1xy=2D. x2−x−2=0y=x+1
5.已知实数aA. a+16.不等式−3x−2≥4的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )
A. B.
C. D.
8.某项目化学习小组的同学在水中掺入酒精，充分混合后，放入冰箱冷冻室.根据实验数据作出混合液温度y(℃)随时间t(min)变化而变化的图象.下列说法不正确的是( )
A. 在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度
B. 混合液的温度随着时间的增大而下降
C. 当时间为19min时，混合液的温度为−7℃
D. 当109.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在y轴和x轴上，正方形的面积为2，则C点的坐标是( )
A. (0,− 2)
B. ( 2,0)
C. (0, 2)
D. (− 2,0)
10.如图，在正△ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 75∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的方程2x+a−5=0的解是x=2，则a的值为________________.
12.如果a”，“<”或“=”).
13.七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国.在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是______.
14.如图，AB//DE，∠1=26∘，∠2=116∘，则∠BCD=______ ∘.
15.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿AB的方向平移，平移的距离为线段AA′的长，则阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
(1)解一元一次方程：
x+24−2x−16=1；
(2)解方程组：{2x+3y=11①x−3y=62②.
(3)解不等式组：{2x−6<3x①x+23−x−12⩾1②，并将解集在数轴上表示出来.
17.(本小题6分)
课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集.请根据下面的“接力游戏”回答问题.
任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据______进行变形的.
A.等式的基本性质
B.不等式的基本性质
C.乘法对加法的分配律
②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，这一步错误的原因是______.
任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是______.
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议.
18.(本小题6分)
如图，三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，点F，G在AC上，连接DG，BG，EF.已知∠1=∠2，∠3+∠ABC=180∘，求证：BG//EF.
将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据.
证明：∵______(已知)
∴DG//BC(______)
∴.∠CBG=______(______)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=______(等量代换)
∴BG//EF(______)
19.(本小题8分)
如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(−3,−2)，B(0,−1)，C(−1,1)，将三角形ABC进行平移后，点A的对应点A′为(1,0)，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′.
(1)画出平移后的三角形A′B′C′并写出B′，C′的坐标；
(2)写出由三角形ABC平移得到三角形A′B′C′的过程；
(3)求出三角形A′B′C′的面积.
20.(本小题10分)
2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日.某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分.将全部测试成绩x(单位：分)进行整理后分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，并绘制成频数分布直方图(如图).
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
(3)为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提两条合理化建议.
21.(本小题10分)
某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇给你个50台.
①求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有几种采购方案？
22.(本小题13分)
【教材呈现】
已知a+b=5，ab=3，求(a−b)2的值.
【例题讲解】
同学们探究出解这道题的两种方法：
(1)请将方法二补充完整；
【方法运用】
(2)解答以下问题：
已知a+1a=4，求(a−1a)2的值.
【拓展提升】
(3)如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG.若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度.
23.(本小题13分)
如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30∘，∠OCD=45∘.
(1)观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN=______；
(2)操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
(3)深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：汉字“振”、“兴”、“中”、“华”四个字中，只有“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，则“中”是轴对称图形，
故选：C.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题关键．
概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1.
【解答】
解：A、随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面有可能朝上，故A错误；
B、从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大，故B正确；
C、某彩票的中奖率为35%，说明买100张彩票，不一定有35张获奖，故C错误；
D、打开电视，中央一套有可能在播放新闻联播，故D错误；
故选：B.
3.【答案】B
【解析】解：∵a//b，AC⊥b，
∴AC⊥a，
∴∠1+∠2=90∘，
∴∠2=90∘−∠1=45∘.
故选：B.
由平行线的性质及互余关系可得∠2的度数．
本题考查了平行线的性质、垂直的性质及互余关系，平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.是二元一次方程组，故此选项符合题意；
B.有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：A.
根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
本题主要考查了二元一次方程的定义．解题时一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
5.【答案】C
【解析】解：A.两边都加1，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B.两边都减3，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
C.两边都乘以−2，不等号的方向改变，故C错误，符合题意；
D.两边都乘以5，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意．
故选：C.
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：−3x−2≥4，
−3x≥6，
x≤−2.
在数轴上表示解集为：
故选：C.
解不等式，在数轴上表示解集即可．
本题考查一元一次不等式的求解及在数轴上表示解集，准确解不等式并表示解集是本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C=AC，
∴AC+BC=A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′=A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′>A′B，
∴AC′+BC′>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C.
本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．
8.【答案】B
【解析】解：根据图象可知：在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度，
∴A项的说法正确，
故A项不符合题意；
根据图象可知：混合液的温度0∼10小时之间随着时间的增大而下降，在10∼18小时之间随着时间的增大混合液的温度保持不变，在18∼20小时之间随着时间的增大混合液的温度减小，
∴B项的说法不正确，
故B项符合题意；
根据图象可知：当时间为19min时，混合液的温度为−7℃，
∴C项的说法正确，
∴C项不符合题意；
根据图象可知：当10∴D项的说法正确，
故D项不符合题意；
故选：B.
观察函数图象，通过函数图象中的信息对每一项判断即可解答．
本题考查了从函数图象中获取信息，读懂函数图象是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正方形的面积为2，
∴OC= 2，
∵C点在x轴的负半轴上，
∴C(− 2,0).
故选：D.
根据正方形的面积公式即可求出OC长度，再用平面直角坐标系坐标的特点即可求出C点的坐标．
本题考查了平面直角坐标系中坐标，解题的关键在于熟练掌握每个象限点的坐标的特性．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60∘，
∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BDE=∠AFD=90∘，
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED=∠B+∠BDE=60∘+90∘=150∘，
∴∠EDF=360∘−∠A−∠AED−∠AFD=360∘−60∘−150∘−90∘=60∘.
故选：B.
先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=60∘，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE=∠AFD=90∘，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：把x=2代入方程，得：4+a−5=0，
解得：a=1.
故答案是：1.
把x=2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解.
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
12.【答案】<
【解析】解：∵a∴2a<2b，
∴−2+2a<−2+2b，
故答案为：<.
根据不等式的性质即可得出答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
13.【答案】18
【解析】解：∵①的面积即四边形BEGH的面积，是△BIC的面积的一半，即为正方形面积的18，
故答案为：18.
图形①即为四边形BEGH，计算与正方形面积的比解题即可．
本题考查的几何概率，掌握几何概率即是面积比是解题的关键．
14.【答案】90
【解析】解：过点C作CF//AB，如图所示：
∵AB//DE，CF//AB，
∴CF//DE，
∴∠2+∠4=180∘，
又∵∠2=116∘，
∴∠4=180∘−∠2=64∘，
又∵CF//AB，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=26∘，
∴∠3=26∘，
又∵∠BCD=∠3+∠4，
∴∠BCD=90∘，
故答案为：90.
由平行公理的推论得CF//DE，其性质得求得∠4的度数为64∘，再根据CF//AB，得到∠1=∠3=26∘，最后由角的和差求出∠BCD的度数为90∘.
本题综合考查了平行线的性质，角的和差等相关知识点，解题的关键是作辅助线构建平行线．
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
将阴影部分的面积转化为直角梯形的面积计算即可．
【解答】
解：∵两直角三角形全等，
∴BC=B′C′=4，
∵阴影部分的高为2，
∴阴影部分的面积为12×4×(2+4)=12.
故答案为12.
16.【答案】解：(1)去分母，得3(x+2)−2(2x−1)=12，
去括号，得3x+6−4x+2=12，
移项，合并同类项，得−x=4，
系数化为1，得x=−4；
(2)①+②得3x=7，
解得x=73，
将x=73代入①得143+3y=1.
解得y=−119.
所以方程组的解为x=73y=−119；
(3)解不等式①得x>−6.
解不等式(2)得x≤1.
所以不等式组的解集为−6不等式组的解集在数轴上表示为：

【解析】(1)先去分母，再去括号，接着移项合并得到−x=4，然后把x的系数化为1即可；
(2)利用加减消元法解方程组；
(3)分别解两个不等式得到x≤1和x>−6，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程和解二元一次方程组．
17.【答案】解：任务一：
①C；
②戊；不等式的两边同时乘以−1，不等号的方向没有改变；
任务二：x<5；
任务三：答案不唯一，合理即可．例如：去括号时，括号前面是“-”，去括号后，括号内的每一项都要变号，或移项要变号．
【解析】【分析】
任务一，根据乘法分配律及不等式的性质进行解答即可；
任务二，按解不等式的步骤求解；
任务三，根据不等式的性质，去括号法则，移项法则等提出建议即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键．
【解答】
解：任务一：老师3x+12−1>5x−43，
甲同学3(3x+1)−6>2(5x−4)，利用了不等式的性质，计算正确；
乙同学9x+3−6>10x−8，利用了乘法对加法的分配律，计算正确；
丙同学9x−10x>−8−3+6，利用了不等式的性质，进行了移项，计算正确；
丁同学−x>−5，合并同类项，计算正确，
戊同学x>5，利用了不等式的性质，计算计算错误，不等式两边同时乘负数时，不等号的方向要改变；
①故选：C；
②故答案为：戊，不等式的两边同时乘以−1，不等号的方向没有改变；
任务二：3x+12−1>5x−43
3(3x+1)−6>2(5x−4)，
9x+3−6>10x−8，
9x−10x>−8−3+6，
−x>−5，
x<5，
故答案为：x<5；
任务三：见答案；
18.【答案】∠3+∠ABC=180∘；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠CBG； 同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的判定与性质有关知识，根据平行线的判定和性质进行解答即可.
【解答】
证明：∵∠3+∠ABC=180∘(已知)，
∴DG//BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠CBG=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠2=∠CBG(等量代换)，
∴BG//EF(同位角相等，两直线平行)
19.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求：
∴B′(4,1)，C′(3,3)；
(2)△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A′B′C′；
(3)如图所示：
S△A′B′C′=S▭A′DEF−S△A′FB′−S△C′EB′−S△A′DC′=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=3.5，
答：△A′B′C′的面积是3.5.
【解析】(1)根据点A的平移方向即可画出△A′B′C′；
(2)根据第(1)问求解即可；
(3)用割补法求解即可．
本题考查了作图-平移变换，涉及到平移和求三角形面积，熟记知识点是关键．
20.【答案】40
【解析】解：(1)4+6+10+12+8=40(名)，
故答案为：40；
(2)960×12+840=480(人)，
故优秀的学生人数约为480人；
(3)加强安全教育，普及安全知识；通过多种形式，提高安全意识；结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
(1)把各组频数相加即可；
(2)利用样本估计总体即可；
(3)根据(2)的结论解答．
本题主要考查：频数(率)分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
21.【答案】解：(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：3x+4y=12005x+6y=1900，
解得：x=200y=150，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
(2)①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50−a)台．
依题意得：160a+120(50−a)≤7500，
解得：a≤3712，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
②设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇(50−x)台，根据题意得：
(200−160)x+(150−120)(50−x)>1850，
解得：x>35，
∵x≤3712，且x应为整数，
∴超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当x=36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当x=37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【解析】(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
(2)①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50−a)台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
②根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润=一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
22.【答案】4ab
【解析】解：(1)(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：4ab；
(2)∵(a+1a)2=a2+2+1a2(a−1a)2=a2−2+1a2，
∴(a−1a)2=(a+1a)2−4=42−4=12；
(3)设AB=a，BC=b，则AG=a−b，
由题意可得：a2+b2=36，12ab=5，
∴(a−b)2=a2−2ab+b2=36−20=16.
∵a−b>0，
∴a−b=4，即AG=4.
(1)根据题目的推理过程，即可填空；
(2)根据(a+1a)2=a2+2+1a2，(a−1a)2=a2−2+1a2，找到两者的关系，即可求解；
(3)设AB=a，BC=b，则AG=a−b，根据(a−b)2=a2−2ab+b2=36−20=16，即可求解．
本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是能够找到和的完全平方公式和差的完全平方公式的联系．
23.【答案】解：(1)105∘；
(2)∵OD平分∠MON，
∴∠DON=12∠MON=12×90∘=45∘，
∴∠DON=∠D=45∘，
∴CD//AB，
∴∠CEN=180∘−∠MNO=180∘−30∘=150∘；
(3)如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD//MN，
∴∠OFD=∠M=60∘，
在△ODF中，∠MOD=180∘−∠D−∠OFD，
=180∘−45∘−60∘，
=75∘，
当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD//MN，
∴∠DFO=∠M=60∘，
在△DOF中，∠DOF=180∘−∠D−∠DFO=180∘−45∘−60∘=75∘，
∴旋转角为75∘+180∘=255∘，
综上所述，当边OC旋转75∘或255∘时，边CD恰好与边MN平行．
【解析】解：(1)∵∠ECN=45∘，∠ENC=30∘，
∴∠CEN=105∘.
故答案为：105∘.
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可；
(2)根据角平分线的定义求出∠DON=45∘，利用内错角相等两直线平行求出CD//AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
(3)当CD在AB上方时，CD//MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60∘，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD//MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO=∠M=60∘，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．接力游戏
老师3x+12−1>5x−43
甲同学3(3x+1)−6>2(5x−4)
乙同学9x+3−6>10x−8
丙同学9x−10x>−8−3+6
丁同学−x>−5
戊同学x>5
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
方法一
方法二
∵(a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2−2ab
∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=25−6=19
∵(a−b)2=a2−2ab+b2
∴(a−b)2=19−6=13
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，
∴(a−b)2=(a+b)2−______
∵a+b=5，ab=3，
∴(a−b)2=13.