2023-2024学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，CF，CE，CD分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列线段中，长度最短的是( )
A. CF
B. CE
C. CD
D. CB
2.2−3可以表示为( )
A. 2×2×2B. (−2)×(−2)×(−2)
C. 2÷2÷2D. 12×2×2
3.如图，∠1与∠2是( )
A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角
4.我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为2.53×10n，则n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. −5
5.一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架OP=OQ=30cm(连接处的长度忽略计)，则点P，Q之间的距离可以是( )
A. 50cm
B. 65cm
C. 70cm
D. 80cm
6.下列运算中，结果正确的是( )
A. a4⋅a3=a12B. (a3)2=a6C. a6÷a2=a3D. (−3x)2=−9x2
7.数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. m−n<0B. m+18.如图，将长方形纸片按如图方式折叠，已知∠DQP=50∘，则∠CPM=( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 80∘
9.等式“□a2+b2=−(2a−b)(2a+b)”中的“□”表示的数是( )
A. 4B. −4C. 16D. −16
10.如图，已知直线m平移后得到直线n，∠1=108∘，∠2=35∘，则∠3的度数为( )
A. 98∘
B. 103∘
C. 107∘
D. 143∘
11.【问题】已知关于x，y的方程组3x+5y=4k−2x−3y=2的解满足2x+y=3，求k的值.
嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤：
Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到2x+y=2k，再求k的值；
Ⅱ.解方程组2x+y=3x−3y=2，得到x=117y=−17，再代入3x+5y=4k−2中，可求k的值.
下列判断正确的是( )
A. Ⅰ的解题思路不正确B. Ⅱ的解题思路不正确
C. Ⅱ的解题思路正确，求解不正确D. Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确
12.阅读下面的数学问题：
甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论：
甲：∠APC+∠ABC=180∘；
乙：∠AQC+12∠ABC=180∘.
其中判断正确的是( )
A. 甲、乙两人的结论都正确B. 甲、乙两人的结论都错误
C. 甲的结论错误，乙的结论正确D. 甲的结论正确，乙的结论错误
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.写出一个满足不等式x−6>0的x的整数值为______.
14.整式a2−a和(a−1)2的公因式为______.
15.命题“若△ABC中的∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形”是______.(填“真命题”或“假命题”)
16.几何验证：如图1，可验证公式(a+b)2=a2+2ab+b2.
(1)公式应用：若m+n=5，mn=6，则m2+n2的值为______；
(2)拓展延伸：如图2，四边形ACDE和四边形BCFG是两个正方形，若DF=6，S△ACF=92，则S1+S2的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
小明在解方程组{x−3y=3①2x−5y=4②时的过程如下：
(1)小明的解题过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解方程组的过程.
18.(本小题5分)
已知不等式组{2(x−1)⩾−3①4x−2<1+3x②.
(1)解该不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来；
(2)写出该不等式组的所有正整数解.
19.(本小题6分)
如图，△ABC的顶点都在正方形网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC向左平移7个单位长度得到△A′B′C′.
(1)在网格中画出△A′B′C′，及A′B′边上的中线C′H和高线C′G；
(2)直接写出线段BC所扫过的面积.
20.(本小题6分)
已知A=(a+2b)(a−b)−a5÷a3−(2b)2.
(1)先化简A，再求当a=1，b=−3时，A的值；
(2)若a=6b，求A的值.
21.(本小题6分)
如图，△ABC中，∠A=70∘，∠ABC=75∘，点D为线段AC上的点(不与点A，C重合)，点E在AB的延长线上，连接DE，∠E=40∘，DF平分∠ADE.
(1)求∠C的度数；
(2)说明BC//DF的理由.
22.(本小题7分)
有三个连续奇数，最小的奇数为2n−1(n为正整数).
(1)用含n的代数式表示另外两个奇数；
(2)判断这三个奇数的平方和是否是12的倍数.若是，请说明理由；若不是，请写出被12除的余数是多少.
23.(本小题8分)
某校欲租用租赁公司的甲、乙两种型号的大巴车共8辆(两种车型都要租用)，将部分师生送去植物园游玩，相关的租车信息如下：
信息一：若租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴，共可载客435人；若租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴，共可载客390人.
信息二：
(1)求每辆甲型大巴、乙型大巴的载客量分别是多少人；
(2)若此次游玩租车的总租金计划不超过4800元，则最少租用甲型大巴多少辆？此时可载多少名师生去游玩？
24.(本小题9分)
如图1，直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E(都不与点A重合).
(1)若∠A=64∘，
①求∠1+∠2的度数；
②如图2，直线m与边AB，AC相交得到∠3和∠4，直接写出∠3+∠4的度数.
(2)如图3，EO，DO分别平分∠BED和∠CDE，写出∠EOD和∠A的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分∠BNM和∠CMN，直接写出∠NGM与∠E，∠D的关系.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵CF，CE，CD分别是△ABC的中线、角平分线、高，
∴CD⊥AB，
由垂线段最短可知：长度最短的是CD，
故选：C.
根据三角形的高的定义、垂线段最短判断即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：2−3=123=12×2×2，
故选：D.
根据a−p=1ap(a≠0)分析判断即可．
本题考查了负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据同位角的定义可知，图形中的∠1与∠2是同位角，
故选：A.
根据同位角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角的定义是正确解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将253000用科学记数法表示为2.53×105，
∴n=5，
故选：B.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵OP=OQ=30cm，
∴30−30≤PQ≤30+30，
即0cm≤PQ≤60cm，
故选：A.
根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.a4⋅a3=a7，因此选项A不符合题意；
B.(a3)2=a6，因此选项B符合题意；
C.a6÷a2=a4，因此选项C不符合题意；
D.(−3x)2=9x2，因此选项D不符合题意．
故选：B.
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
7.【答案】C
【解析】解：从数轴可知，mA、∵mB、∵mC、∵m−3n，故选项C符合题意；
D、∵m故选：C.
根据数轴可知，m−3n，m2本题考查的是数轴，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DQP=∠BPQ=50∘，
由折叠得：∠BPM=2∠BPQ=100∘，
∴∠CPM=180∘−∠BPM=80∘，
故选：D.
先利用平行线的性质可得∠DQP=∠BPQ=50∘，然后利用折叠的性质可得：∠BPM=100∘，再利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：−4a2+b2
=−(4a2−b2)
=−(2a−b)(2a+b)，
即“□”表示的数是−4，
故选：B.
利用平方差公式因式分解即可．
本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示，
∵直线n由直线m平移得到，
∴m//n，
∴∠4=∠1=108∘.
又∵∠2=35∘，
∴∠3=∠2+∠4=35∘+108∘=143∘.
故选：D.
先根据“两直线平行，同位角相等”，得出∠1同位角的度数，再利用外角定理即可解决问题．
本题主要考查了平移的性质及平行线的判定与性质，熟知图形平移的性质及平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：Ⅰ：{3x+5y=4k−2①x−3y=2②，
①+②得：4x+2y=4k，
2x+y=2k，
∵关于x，y的方程组3x+5y=4k−2x−3y=2的解满足2x+y=3，
∴2k=3，
解得：k=32，
∴Ⅰ的解题思路正确；
Ⅱ：∵关于x，y的方程组3x+5y=4k−2x−3y=2的解满足2x+y=3，
∴{2x+y=3①x−3y=2②的解满足3x+5y=4k−2，
①×3得：6x+3y=9③，
②+③得：x=117，
把x=117代入①得：y=−17，
把x=117，y=−17代入3x+5y=4k−2得：k=32，
∴Ⅱ的解题思路也正确，
∴Ⅰ和Ⅱ的解题思路与求解都正确，
∴A，B，C选项均错误，D选项正确，
故选：D.
按照已知条件中的方法Ⅰ和Ⅱ，解方程组，求出k，然后进行判断即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握已知条件中方法Ⅰ和Ⅱ的解题思路．
12.【答案】A
【解析】解：如图，∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AEB=90∘=∠CDB，
∵∠PAD+∠APD=90∘，∠BAE+∠B=90∘，
∴∠APD=∠B，
∵∠APC+∠APD=180∘，
∴∠APC+∠ABC=180∘，
因此甲的结论正确；
如图，∵AQ平分∠CAE，CQ平分∠ACD，
∴∠EAQ=∠CAQ=12∠CAE，∠DCQ=∠ACQ=12∠ACD，
在△AQC中，
∵∠AQC=180∘−∠QAC−∠QCA
=180∘−12(∠CAE+∠ACD)
=180∘−12(180∘−∠APC)
=90∘+12∠APC，
而∠APC+∠ABC=180∘，
∴∠AQC=90∘+12(180∘−∠ABC)
即∠AQC+12∠ABC=180∘，
因此乙的结论正确，
故选：A.
根据三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线的定义进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180∘，三角形的高线，角平分线的定义是正确解答的关键．
13.【答案】7(答案不唯一)
【解析】解：由x−6>0得，
x>7，
所以x的整数值可以是7.
故答案为：7(答案不唯一).
根据题意，求出不等式组的解集即可解决问题．
本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14.【答案】(a−1)
【解析】解：∵a2−a=a(a−1)，
∴a2−a和(a−1)2的公因式为(a−1).
故答案为：(a−1).
先对(a2−a)进行因式分解，然后找其公因式．
本题主要考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；
③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
15.【答案】真命题
【解析】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠C=180∘×31+2+3=90∘，则△ABC是直角三角形，所以正确，是真命题，
故答案为：真命题；
利用三角形的内角和定理进行判断即可．
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记三角形的内角和定理，难度不大．
16.【答案】13 18
【解析】解：(1)∵(m+n)2=m2+2mn+n2，m+n=5，mn=6，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn
=25−12
=13，
故答案为：13；
(2)设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，则x+y=DF=6，12xy=S△ACF=92，
即x+y=6，xy=9，
∴S1+S2=x2+y2
=(x+y)2−2xy
=36−18
=18.
故答案为：18.
(1)根据(m+n)2=m2+2mn+n2，代入计算即可；
(2)设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，由题意可得x+y=6，xy=9，由S1+S2=x2+y2=(x+y)2−2xy代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】一
【解析】解：(1)观察解方程组的过程可知：小明的解题过程从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
(2)正确的解方程组的过程如下：
①×2得：2x−6y=6③，
②-③，得y=−2，
把y=−2代入①，得x=−3，
∴原方程组的解为x=−3y=−2.
(1)观察小明的解题过程可知：第一步方程变形时出现错误，由此可得答案；
(2)先把①乘2得③，再用②减③消去x，求出y，再把y值代入①，求出x即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
18.【答案】解：(1)解不等式2(x−1)≥−3得，
x≥−12，
解不等式4x−2<1+3x得，
x<3，
所以不等式组的解集为：−12≤x<3.
数轴如图所示，
.
(2)因为不等式组的解集为−12≤x<3，
所以不等式组的正整数解为：1，2.
【解析】(1)根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组求解，并将解集在数轴上表示出来即可．
(2)根据(1)中求得的解集，写出此解集内的正整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′，C′H和C′G即为所求．
(2)线段BC所扫过的面积为S四边形BCC′B′=7×5=35.
【解析】(1)根据平移的性质作图可得△A′B′C′，根据三角形的中线和高的定义画图可得C′H和C′G.
(2)求出四边形BCC′B′的面积即可．
本题考查作图-平移变换、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)A=a2−ab+2ab−2b2−a2−4b2
=a2−a2+2ab−ab−2b2−4b2
=ab−6b2；
当a=1，b=−3时，
A=1×(−3)−6×(−3)2
=−3−6×9
=−3−54
=−57.
(2)当a=6b时，
A=6b⋅b−6b2
=6b2−6b2
=0.
【解析】(1)先根据积的乘方法则计算乘方，再根据多项式乘多项式法则和同底数幂相除法则计算乘除，最后合并同类项，再把a=1，b=−3代入化简后的A中进行计算即可；
(2)把a=6b代入(1)中化简的A中进行计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、多项式乘多项式法则和同底数幂相除法则．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，
∵∠A=70∘，∠ABC=75∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠ABC=180∘−70∘−75∘=35∘；
(2)理由：
∵∠A=70∘，∠E=40∘，
∴∠ADE=180∘−∠A−∠E=180∘−70∘−40∘=70∘，
∵DF平分∠ADE，∠C=35∘，
∴∠ADF=12∠ADE=35∘，
∴∠ADF=∠C，
∴BC//DF.
【解析】(1)直接根据三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
(2)先求出∠ADE的度数，再由角平分线的性质得出∠ADF的度数，再由∠ADF=∠C即可得出结论．
本题考平行查的是平行线的判定，三角形内角和定理，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意可知，有三个连续奇数，最小的奇数为2n−1(n为正整数)，
∴另外两个奇数分别为2n+1，2n+3.
(2)这三个奇数的平方和不是12的倍数，理由如下：
(2n−1)2+(2n+1)2+(2n+3)2
=4n2−4n+1+4n2+4n+1+4n2+12n+9
=12n2+12n+11
=12(n2+n)+11，
∵n为正整数，
∴12(n2+n)+11不是12的倍数，即这三个奇数的平方和不是12的倍数．
【解析】(1)根据题意列式即可；
(2)根据题意，求解(2n−1)2+(2n+1)2+(2n+3)2，即可判断出这三个奇数的平方和是否是12的倍数．
本题考查的是因式分解的应用，列代数式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每辆甲型大巴的载客量是x人，每辆乙型大巴的载客量是y人，
根据题意得：3x+5y=4356x+2y=390，
解得：x=45y=60.
答：每辆甲型大巴的载客量是45人，每辆乙型大巴的载客量是60人；
(2)设租用甲型大巴m辆，则租用乙型大巴(8−m)辆，
根据题意得：500m+700(8−m)≤4800，
解得：m≥4，
∴m的最小值为4，此时45m+60(8−m)=45×4+60×(8−4)=420.
答：最少租用甲型大巴4辆，此时可载420名师生去游玩．
【解析】(1)设每辆甲型大巴的载客量是x人，每辆乙型大巴的载客量是y人，根据“租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴，共可载客435人；租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴，共可载客390人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用甲型大巴m辆，则租用乙型大巴(8−m)辆，利用总租金=每辆甲型大巴的租金×租用甲型大巴的数量+每辆乙型大巴的租金×租用乙型大巴的数量，结合总租金不超过4800元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，取其中的最小值，再将其代入45m+60(8−m)中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)①如图1，
∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A，
∵∠A+∠ADE+∠AED=180∘，∠A=64∘，
∴∠1+∠2
=∠A+180∘
=64∘+180∘
=244∘；
②由①方法可得，∠3+∠4=∠1+∠2=244∘；
(2)∠EOD=90∘−12∠A，理由：
由(1)可得∠BED+∠CDE=180∘+∠A.
∵EO，DO分别平分∠BED和∠CDE，
∴∠OED=12∠BED，∠EDO=12∠CDE，
∴∠OED+∠EDO
=12(∠BED+∠CDE)
=12×(180∘+∠A)
=90+12∠A，
∴∠EOD=180∘−(∠OED+∠EDO)
=180∘−(90∘+12∠A)=90∘−12∠A；
(3)∠E+∠D+2∠NGM=360∘，理由：
由图2可得，
∠BNM+∠CMN=∠D+∠E，
∵NG、MG分别是∠BNM、∠CMN的平分线，
∴∠BNG=∠MNG=12∠BNM，∠CMG=∠NMG=12∠CMN，
∴∠MGN=180∘−(∠MNG+∠NMG)
=180∘−12(∠BNM+∠CMN)
=180∘−12(∠D+∠E)，
∴2∠MGN+∠D+∠E=360∘.
【解析】(1)①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
②由①的结论即可得出答案；
(2)由(1)的结论以及三角形内角和定理即可得出结论；
(3)由(2)的结论可得∠BNM+∠CMN=∠D+∠E，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
本题考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义是正确解答的关键．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点P，AQ平分∠CAE，CQ平分∠ACD.
解：由①×2，得2x−6y③，…第一步
②-③，得−y=−2，…第二步
得y=2.…第三步
把y=2代入①，得x=9，…第四步
所以原方程组的解为x=9y=2.
型号
甲型大巴
乙型大巴
租金/(元/辆)
500
700