2023-2024学年辽宁省锦州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省锦州市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在这个环保意识日益增强的时代，垃圾分类已经成为我们生活中不可或缺的一部分.下列垃圾分类标识中，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. 可回收物B. 有害垃圾
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
2.芯片是信息世界的基础核心，传统晶体管因接近物理极限而制约了芯片的进一步发展.北京大学研究团队成功构筑了0.00000001m超短沟道弹道二维硒化铟晶体管，成为国际上迄今速度最快、能耗最低的二维晶体管，将数据0.00000001m用科学记数法表示为( )
A. 1×10−8mB. 1×10−9mC. 0.1×10−8mD. 0.1×10−9m
3.下列事件是必然事件的是( )
A. 抛出的篮球不会下落B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 早晨太阳从东方升起D. 任意掷一枚硬币，落地后正面向上
4.一个不透明的袋子中装有10个小球，其中有8个红球和2个黄球，这些小球除颜色外其他都相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为( )
A. 12B. 45C. 15D. 18
5.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (2x−y)(x+2y)B. (x−y)(y−x)C. (b+a)(b−c)D. (−a+b)(a+b)
6.计算(−2)2024×(12)2025的结果是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
7.如图，△AOB≌△OCD，∠B=∠D=90∘，下列结论错误的是( )
A. ∠AOB=∠C
B. ∠A+∠C=90∘
C. AO⊥CO
D. AO=CD
8.放学后，小本同学准备在文具店购买同一单价的作业本，下列图象能较好地刻画他所付的费用y与购买作业本的数量x之间关系的是( )
A. B. C. D.
9.在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线.光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等.如图，两束光线l1，l2分别从不同方向射向镜面m，入射点为A和B，n1，n2为法线，l1，l2的反射光线相交于点P.若∠1=25∘，∠2=45∘，则∠APB的度数是( )
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘
10.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF，分别交AB，BC于点M，N；③连接AN，若AM=2，△ACN的周长为12，则△ABC的周长为( )
A. 16
B. 15
C. 14
D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算3−1的结果是______.
12.北普陀山是锦州著名的景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和x名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为______.
13.如图，直线m//n，将等边△ABC按如图方式放置，点B在直线n上，边AB交直线m于点D，若∠1=20∘，则∠2的度数为______.
14.如图，点E，F在线段AC上(不与点A，C重合)，△ADF≌△CBE，若AC=8，EF=2，则AE的长为______.
15.如图，△APB与△CPD均是等腰三角形，且∠APB=∠CPD=90∘，连接AC，AD，BC，BD，AP=3，CP=2，在△CPD绕点P旋转的过程中，四边形ABCD面积的最大值为______.
三、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：14xy⋅(−2xy2)2÷x2y4；
(2)先化简，再求值：[(a−2b)2+(a−b)(a+4b)]÷2a，其中a=−1，b=2.
17.(本小题8分)
某商场促销，顾客当日消费即可参与一次转盘抽奖，如图，转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字(当指针恰好指在分界线上时无效，需要重转)，若指计指向的数字为4的倍数则可以领取一份奖品，请计算顾客获奖的概率.
18.(本小题8分)
在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体质量的增加而伸长，经过实验发现，弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的对应关系如下表：
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
(2)请根据表格中的数据，求挂物体后弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系式；
(3)在弹性限度内，弹簧伸长后的最大长度为20cm，该弹簧最多能挂多重的物体？
19.(本小题8分)
如图，E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上的点(不与端点重合)，连接EF，将四边形EFCD沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点C′，D′，若∠AGC′=40∘，求∠AEF的度数.
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC，点D在BC边上.
(1)求作△DEF，使△DEF≌△ABC，并满足点E在BC的延长线上，DF//AB.(请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)根据你的作图方法，说明△DEF≌△ABC的理由.
21.(本小题8分)
2024年6月2日，锦州迎来了一场体育盛宴——“跑遍辽宁”“奔赴山海前程‘是’锦”2024锦州马拉松赛.这场全民参与的体育盛宴在风景如画的滨河路淩川大桥下拉开帷幕.甲、乙两名选手均参加了10km健康跑项目(5km处折返)，他们同时出发，两选手所跑的路程y(km)与时间x(min)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)求甲选手前4km的平均速度；
(2)乙选手追上甲选手时，他们距离终点还有多少千米？
(3)若甲选手跑最后一段的平均速度与他前4km的平均速度相同，那么当乙选手到达终点时，甲选手还要经过多长时间到达终点？
22.(本小题8分)
【方法回顾】
在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”.它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系.
【方法应用】
(1)如图1，正方形ABCD是由长为a，宽为b的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系；
【方法迁移】
(2)如图2，长方形ABCD是由8个长为a，宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题：
①求a，b之间的数量关系；
②若长方形ABCD的宽AB=40cm，求小长方形的面积.
【拓展应用】
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，AC=10，P是△ABC三条角平分线的交点，求点P到边AC的距离.
23.(本小题9分)
【问题提出】
期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在△ABC中，D是BA延长线的点，E是AC边上一点，且满足DE=BC，∠DEA=∠ACB，那么A是BD的中点，请你说明理由.
【思路探究】
小王同学从条件出发分析解题思路：以DE为腰构造等腰△DEF和平行八字型全等三角形，如图2，以点D为圆心，以DE长为半径画弧，交CA的延长线于点F，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“AAS”(或“ASA”)的判定方法即可得AB=AD，小张同学从结论出发分析解题思路：以AB为腰构造等腰△ABF，将说明AD=AB的问题转化为说明AD=BF的问题，如图3，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交AC于点F，于是可得∠BFA=∠BAF，再应用三角形全等“AAS”(或“ASA”)的判定方法即可得AB=BF=AD.
(1)请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】
(2)请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形ABCD中，AB=AC=CD，∠ACD=90∘，过点B作线段BE⊥AB，且BE=AB，连接DE，交BC的延长于点F，猜想DF与EF的数量关系并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.图形不是轴对称图形，不符合题意；
B.图形是轴对称图形，符合题意．
C.图形不是轴对称图形，不符合题意；
D.图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.00000001m=1×10−8m.
故选：A.
科学记数法的表示形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数决定，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键；根据绝对值小于1的科学记数法的表示方法判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数决定是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、抛出的篮球不会下落，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故本选项不符合题意；
C、早晨太阳从东方升起，是必然事件，故本选项符合题意；
D、任意掷一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C.
依据定义即可作出判断．
本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】解：∵一个不透明的袋子中装有10个小球，其中有8个红球和2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为810=45.
故选：B.
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查了概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、(2x−y)(x+2y)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、(x−y)(y−x)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、(b+a)(b−c)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、(−a+b)(a+b)能用平方差公式计算，故本选项符合题意．
故选：D.
根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的定义是关键．
6.【答案】C
【解析】解：(−2)2024×(12)2025
=(2×12)2024×12
=12.
故选：C.
根据积的乘方的逆用：ambn=(ab)m(ab≠0)即可求解．
本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则．
7.【答案】D
【解析】解：∵△AOB≌△OCD，
∴∠AOB=∠C，
故A选项正确；
∵△AOB中，∠B=90∘，
∴∠A+∠AOB=90∘，
∵∠AOB=∠C，
∴∠A+∠C=90∘，
故B选项正确；
∵△OCD中，∠D=90∘，
∴∠COD+∠C=90∘，
∵∠AOB=∠C，
∴∠COD+∠AOB=90∘，
∴∠AOC=90∘，
∴AO⊥CO，
故C选项正确；
∵△AOB≌△OCD，
∴AO=CO，
∴AO≠CD，
故D选项错误．
故选：D.
根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可．
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得购买同一单价的作业本，所付的费用y与购买作业本的数量x之间关系是正比例函数，
故选：B.
根据题意确定所付的费用y与购买作业本的数量x之间关系是正比例函数，即可求解．
本题主要考查正比例函数的性质，正比例函数的图象，正确理解题意是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意知，∠3=90∘−∠1=65∘，∠4=90∘−∠2=45∘，
∴∠APB=180∘−∠3−∠4=70∘，
故选：C.
如图，由题意知，∠3=90∘−∠1，∠4=90∘−∠2，根据∠ACB=180∘−∠3−∠4，求解作答即可．
本题考查了余角和补角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：根据作图可知：MN为AB的垂直平分线，
∴AB=2AM=2BM=4，AN=BN，
∵C△ACN=AN+CN+AC=12，
∴BN+CN+AC=12，
∴C△ABC=AB+BN+CN+AC=4+12=16，
故选：A.
根据作图可知MN为AB的垂直平分线，进而可得AB=2AM=2BM=4，AN=BN，即可求解．
本题考查了作图--基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
11.【答案】13
【解析】解：3−1=13，
故答案为：13.
根据负整数指数幂即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，掌握a−p=1ap(a≠0)是解题的关键．
12.【答案】y=25x+1000
【解析】解：依等量关系式“总费用=老师费用+学生费用”可得：y=20×50+25x=25x+1000.
故答案为：y=25x+1000.
根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式．
本题考查了函数关系式．解题的关键是明确学生的票价加老师的票价等于总票价．
13.【答案】40∘
【解析】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∵∠1=20∘
∴∠ABE=∠ABC−∠1=40∘，
∵m//n，
∴∠2=∠DBE=40∘，
故答案为：40∘.
根据等边三角形的性质可得∠ABC=60∘，再由题意得出∠ABE=∠ABC−∠1=40∘，然后再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵△ADF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF，即AE=CF，
∵2AE=AC−EF=8−2=6，
∴AE=3，
故答案为：3.
根据全等三角形的性质可得AF=CE，再利用等量代换可得AE=CF，即可求解．
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
15.【答案】252
【解析】解：如图，设AC，BD交于点J，BD，PC交于点O.
∵∠APB=∠CPD=90∘，
∴∠APC=∠BPD，∵PA=PB，PD=PC，
∴△APC≌△BPD(SAS)，
∴AC=BD，∠ACP=∠BDP，
∵∠POD=∠COJ，
∴∠CJO=∠OPD=90∘，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=12⋅AC2，
∵AC≤PA+PC=5，
∴四边形ABCD面积的最大值为252，
故答案为：252.
如图，设AC，BD交于点J，BD，PC交于点O.证明△APC≌△BPD(SAS)，推出AC=BD，∠ACP=∠BDP，证明AC⊥BD，可得四边形ABCD的面积=12⋅AC2，求出AC的最大值，可得结论．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形及图形的旋转，依据题意作出相应辅助线是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=14xy⋅4x2y4÷x2y4
=x3y5÷x2y4=xy.
(2)原式=(a2−4ab+4b2+a2+4ab−ab−4b2)÷2a
=(2a2−ab)÷2a
=a−12b，
当a=−1，b=2时，原式=−1−1=−2.
【解析】(1)先计算积的乘方运算，然后依次计算单项式的乘除法即可；
(2)利用完全平方公式及平方差公式展开，合并同类项，再计算除法，代入求值即可．
题目主要考查整式的四则混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．
17.【答案】解：由题意可知，任意转动一次转盘，指针指向的数字共有12种可能的结果，因为转盘是12等份，所以每种结果出现的可能性相同，
其中指针指向数字是4的倍数的结果有3种，分别是4，8，12.
所以，P(指针指向的数字是4的倍数)=312=14.
【解析】理解题意得出符合条件的情况求解即可．
本题主要考查概率公式，正确记忆修改知识点是解题关键．
18.【答案】解：(1)自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度；
(2)由表格数据可知，x每增加1kg，y就增加0.5cm，
所以挂重后弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系式为y=12+0.5x.
(3)令y=20，则12+0.5x=20；
解得x=16；
所以，该弹簧最多能挂16kg的物体．
【解析】(1)根据函数的定义可得答案；
(2)根据表格数据可知，x每增加1kg，y就增加0.5cm，再列函数关系式即可；
(3)把y=20代入所列函数关系式计算即可．
本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键．
19.【答案】解：∵长方形ABCD是特殊的平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BFG=∠AGC′=40∘，∠AEF=∠EFC，
∴∠CFG=180∘−∠BFG=140∘，
由折叠性质可知∠GFE=∠EFC=12∠CFG，
∴∠EFC=12×140∘=70∘，
∴∠AEF=70∘.
【解析】根据题意得出AD//BC，再由折叠的性质求解即可．
本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)先作∠FDE=∠B，然后截取DE=BC，以点D为圆心，AB长为半径截取DF=AB，如图所示即为所求；
(2)根据作图得：DF=AB，∠FDE=∠B，DE=BC，
∴△DEF≌△ABC(SAS).
【解析】(1)根据题意先作∠FDE=∠B，然后截取DE=BC，以点D为圆心，AB长为半径截取DF=AB，即可得出图形；
(2)根据作图方法得出DF=AB，∠FDE=∠B，DE=BC，即可证明全等．
本题主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)根据图象可知，v甲=4÷10=25km/min，
答：甲选手起跑时的速度为25km/min；
(2)由图象可知，v乙=10÷50=15km/min，
相遇时他们距离终点的路程s=15×(50−30)=4km，
答：相遇时他们距离终点还有4km.
(3)由图象可知，甲最后的冲刺阶段距离终点还有10−8=2km.
所以t甲=2÷25=5min.
答：乙到达终点后，甲选手经过5min后也到达了终点．
【解析】(1)根据函数图象，利用速度等于路程除以时间，即可解答；
(2)根据函数图象可得乙选手的速度，即可解答；
(3)由图可得，甲最后的冲刺阶段距终点的距离，即可解答．
本题考查了函数图象，读懂图意是关键．
22.【答案】解：(1)大正方形的边长为：(a+b)，面积为(a+b)2；小正方形的边长为(a−b)，面积为(a−b)2，4个长方形的面积之和为4ab，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(2)①∵长方形ABCD的面积为：2a⋅(a+b)，小长方形面积为ab，
∴2a⋅(a+b)=8ab，
即2a2+2ab=8ab，
∴2a2−6ab=0，
即2a(a−3b)=0，
∵a≠0，
∴a−3b=0，
∴a=3b；
②∵AB=40cm，
∴a+b=40，
∴3b+b=40，
解得：b=10cm，
∴a=3b=30cm，
∴小长方形的面积为ab=10×30=300(cm2)；
(3)设点P到边AC的距离为h，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴点P到边AB的距离，到边BC的距离都等于点P到边AC的距离，
即点P到边AB的距离为h，到边BC的距离为h，
∵在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，
∴S△ABC=12×6×8=24，
∵S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB
=12AC⋅h+12BC⋅h+12AB⋅h
=12×10h+12×8h+12×6h
=12h，
∴12h=24，
解得：h=2，
即点P到边AC的距离为2.
【解析】(1)根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可；
(2)①用两种方法表示长方形ABCD的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系；
②根据长方形ABCD的宽AB=40cm得出a+b=40，结合a=3b，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可；
(3)设点P到边AC的距离为h，根据点P是△ABC三条角平分线的交点，得出点P到边AB的距离为h，到边BC的距离为h，求出S△ABC=12×6×8=24，根据S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB得出12h=24，求出h即可．
本题主要考查了整式混合运算的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则．
23.【答案】解：(1)小王同学的思路：
如图2，以点D为圆心，以DE长为半径画弧，交CA的延长线于点F，则DF=DE.
∴∠F=∠DEA.
∵∠DEA=∠ACB，DE=BC，
∴∠F=∠ACB，DF=BC.
∵∠DAF=∠BAC，
∴△DAF≌△BAC(AAS).
∴AD=AB，即A是BD的中点
小张同学的思路：
如图3，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交AC于点F，连接BF，则BF=AB.
∴∠BAF=∠AFB，
∵∠DAE=180∘−∠BAF，∠BFC=180∘−∠AFB，
∴∠DAE=∠BFC.
∵∠DEA=∠ACB，DE=BC，
∴△BCF≌△DEA(AAS).
∴BF=AD.
∴AB=AD，即A是BD的中点；
(2)猜想DF=EF
方法1：
如图4，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交BF的延长线于点M，连接DM，
则DM=DC.
∴∠M=∠DCM.
∵AB=AC=CD=DM，∠ACD=90∘，EB=BA，EB⊥BA，
∴DM=BE，∠ABC=∠ACB，∠ACB+∠DCM=90∘，∠ABE=90∘.
∴∠ABC+∠EBF=90∘.
∴∠M=∠DCM=∠EBF.
又∵∠DFM=∠BFE，
∴△DFM≌△BFE(AAS).
∴DF=EF.
方法2：
如图4，以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交BF于点N，连接EN，
则EN=EF.
∴∠EFN=∠ENF.
∵∠CFD=180∘−∠EFN，∠BNE=180∘−∠ENF，
∴∠CFD=∠BNE.
∵AB=AC，∠ACD=90∘，EB⊥BA，
∴∠ABC=∠ACB，∠ACB+∠DCF=90∘，∠ABE=90∘.
∴∠ABC+∠EBF=90∘.
∴∠DCF=∠EBF.
∵AB=CD=BE，
∴△DCF≌△EBN(AAS).
∴DF=EN.
∴DF=EF.
【解析】(1)小王同学的思路：如图1，以点D为圆心，以DE长为半径画弧，交CA的延长线于点F，则DF=DE，根据题意证明出△DAF≌△BAC(AAS)，得到AD=AB；
小张同学的思路：如图2，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交AC于点F，连接BF，则BF=AB，根据题意证明出△BCF≌△DEA(AAS)，得到BF=AD，进而求解即可；
(2)方法1：如图3，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交BF的延长线于点M，连接DM，证明出△DFM≌△BFE(AAS)，得到DF=EF；
方法2：以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交BF于点N，连接EN，证明出△DCF≌△EBN(AAS)，得到DF=EN.
此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．所挂物体质量x(kg)
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弹簧的长度y(cm)
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12.5
13
13.5
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