2024年天津市中考数学试卷

这是一份2024年天津市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算3﹣（﹣3）的结果等于（ ）
A．﹣6B．0C．3D．6
2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.08×107B．0.8×106C．8×105D．80×104
6．（3分）的值等于（ ）
A．0B．1C．D．
7．（3分）计算的结果等于（ ）
A．3B．xC．D．
8．（3分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
9．（3分）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
12．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
14．（3分）计算x8÷x6的结果为 ．
15．（3分）计算的结果为 ．
16．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是 （写出一个即可）．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上．
（I）线段AG的长为 ；
（II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
21．（10分）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
（Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
22．（10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（I）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
23．（10分）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．（10分）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．
（Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP＝t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点．
（I）当a＝1，c＝﹣1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求a的值；
（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值．
2024年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算3﹣（﹣3）的结果等于（ ）
A．﹣6B．0C．3D．6
【答案】D
【解答】解：原式＝3+3
＝6，
故答案为：D．
2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：这个组合体的主视图为：
故选：B．
3．（3分）估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】C
【解答】解：∵，
∴34，
即在3和4之间．
故选：C．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
5．（3分）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.08×107B．0.8×106C．8×105D．80×104
【答案】C
【解答】解：800000＝8×105．
故选：C．
6．（3分）的值等于（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【解答】解：cs45°﹣1
1
＝1﹣1
＝0，
故选：A．
7．（3分）计算的结果等于（ ）
A．3B．xC．D．
【答案】A
【解答】解：


＝3，
故选：A．
8．（3分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
【答案】B
【解答】解：∵k＝5＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，
∴点A（x1，﹣1）分布在第三象限，B（x2，1），C（x3，5）分布在第一象限，且1＜5，
∴x1＜0，x2＞x3＞0，
∴x1＜x3＜x2，
故选：B．
9．（3分）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y﹣x＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x﹣0.5y＝1．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
由作图知，AP平分∠BAC，
∴，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝40°+25°＝65°，
故选：B．
11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
【答案】D
【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°﹣x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF+FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确；
故选：D．
12．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6s，
故①正确；
②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m），
t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m），
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，
故③错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率．
故答案为：．
14．（3分）计算x8÷x6的结果为 x2 ．
【答案】x2．
【解答】解：x8÷x6＝x8﹣6＝x2，
故答案为：x2．
15．（3分）计算的结果为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：原式＝（）2﹣12
＝11﹣1
＝10．
故答案为：10．
16．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是 1（答案不唯一） （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）．
【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第三、第一象限，
所以k＞0，
则k的值可以是：1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为 2 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
【答案】（I）2；（II）．
【解答】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°，
∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2，
∵DC＝3，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝3，
∵OE＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2；
故答案为：2．
（Ⅱ）延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，
∵F为DE中点，A为DG中点，
∴AF为△DGE中位线，AFEG，
在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴AH＝EH，
∵AH2+EH2＝AE2，
∴AH＝EH，
∴GH＝AG﹣AH＝32，
在Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10，
∴EG，
∴AFEG．
故答案为：．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上．
（I）线段AG的长为 ；
（II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） 如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求 ．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
【解答】解：（I）AG；
（II）如图，点M，N，P即为所求．
方法：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
故答案为：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3≤x≤1 ．
【答案】x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1，数轴见解析过程．
【解答】解：解不等式①得，
x≤1．
解不等式②得，
x≥﹣3．
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
所以原不等式组的解集为：﹣3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
20．（8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 50 ，图①中m的值为 34 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 8 和 8 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
【答案】（I）50，34，8，8．
（II）这组数据的平均数是8.36．
（III）估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150人．
【解答】解：（I）a＝3+7+17+15+8＝50（人）；
m%34%；
3+7+17＝27（人），中位数位于8h这组；
众数是8h；
故答案为：50，34，8，8．
（II）观察条形统计图，
∵8.36（h），
∴这组数据的平均数是8.36．
（III）∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%＝150（人），
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150人．
21．（10分）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
（Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
【答案】（Ⅰ）30°；
（II）．
【解答】解：（I）∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°，
∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，
∴∠ECM＝90°，
∵AB∥MN，
∴∠CDB＝∠ECM＝90°，
∵∠BOE＝90°﹣∠ABO＝60°，
∵，
∴∠BCE＝30°；
（II）如图，连接OC．
同（I），得∠COB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴∠FGB＝90°，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°，
∴∠CFO＝∠BFG＝60°，
在Rt△COF中，，
∴．
22．（10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（I）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
【答案】（Ⅰ）线段CD的长约为54m；
（II）桥塔AB的高度约为59m．
【解答】解：（I）设CD＝x，∵DE＝36m，
∴CE＝CD+DE＝（x+36）m，
∵EC⊥AB，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵，
∴BC＝CD•tan∠CDB＝x•tan45°＝x m，
∵，
∴BC＝CE•tan∠CEB＝（x+36）•tan31°，
∴x＝（x+36）•tan31°，
解得．
答：线段CD的长约为54m；
（II）∵，
∴AC＝CD•tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1＝5.4（m）．
∴AB＝AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
答：桥塔AB的高度约为59m．
23．（10分）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．如图图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 0.075 km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（Ⅰ）①0.15，0.6，1.5；②0.075；③当0≤x≤25时，y与x的函数解析式为y；
（Ⅱ）从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05km．
【解答】解：（I）①由图象可填表：
故答案为：0.15，0.6，1.5；
②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为0.075（km/min），
故答案为：0.075；
③张华从家到画社的速度为：0.15（km/min），
张华从画社到分化广场的速度为0.15（km/min），
当0≤x≤4时，y＝0.15x；
当4＜x≤19时，y＝0.6；
当19＜x≤25时，y＝0.15（x﹣19）+0.6＝0.15x﹣2.25，
∴当0≤x≤25时，y与x的函数解析式为y；
（II）爸爸的速度为：0.075（km/min），
∴设张华出发x分钟时和爸爸相遇，
根据题意得：0.15（x﹣19）+0.6＝0.075（x﹣8），
解得x＝22，
∴0.15（22﹣19）+0.6＝1.05（km），
答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05km．
24．（10分）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．
（Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP＝t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（I）；
（II）①；
②．
【解答】解：（I）过点C作CH⊥OA，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝2，∠AOC＝60°，A（3，0），
∴OC＝AB＝2，CB＝OA＝3，∠B＝∠AOC＝60°，
∵CH⊥OA，
∴∠OCH＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵CB＝OA＝3，
∴，
故答案为：，；
（II）①∵过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，
∴∠OO'C″＝∠AOC＝60°，O′P＝OP，
∴OO′＝2OP＝2t，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴AO'＝OO'﹣OA＝2t﹣3，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝OC＝2，AB∥OC，∠O'AB＝∠AOC＝60°，
∴△EO′A是等边三角形，
∴AE＝AO′＝2t﹣3，
∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣（2t﹣3）＝5﹣2t，
∴BE＝﹣2t+5；
当O′与点A重合时，
此时AB与C'O'的交点为E与A重合，，
如图：当C′与点B重合时，
此时AB与C'O'的交点为E与B重合，，
∴t的取值范围为；
②如图：过点C作CH⊥OA，
由（1）得出，∠COA＝60°，
∴，
，
∴，
当时，，
∴，开口向上，对称轴直线t＝0，
∴在时，随着t的增大而增大，
∴；
当时，如图：
，
∴，S随着t的增大而增大，
∴在时，，
在t＝1时，，
∴当时，；
∵当时，过点E作EN⊥x轴，如图：
∵由①得出△EO′A是等边三角形，EN⊥AO，
∴，
∴，
∴，
∴

，
∵，
∴开口向下，在时，S有最大值，
∴，
∴在时，，
∴，
则在时，；
当时，如图，
，
∴，S随着t的增大而减小，
∴在时，则把，分别代入，得出，，
∴在时，，
综上：．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点．
（I）当a＝1，c＝﹣1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求a的值；
（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值．
【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）．
（Ⅱ）a﹣10．
（Ⅲ）a＝1．
【解答】解：（I）∵2a+b＝0，a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
又∵c＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线顶点P的坐标为（1，﹣2）．
（II）如图，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
在Rt△MOH中，由，
∴，
解得（舍），
∴点M的坐标为，
∵2a+b＝0，即，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为x＝1．
∵对称轴与x轴相交于点D，
∴OD＝1，∠ODP＝90°．
在Rt△OPD中，由，
∴，
解得（负值舍去），
由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为，
∴该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
∴a＝10．
（III）过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
∴DH＝OH﹣OD＝m﹣1，
在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m﹣1）2+1，
如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°，
∵∠MDN＝90°，DM＝DN，
又∵∠DNK＝90°﹣∠NDK＝∠MDH，
在Rt△NDK和△DMH中，
，
∴△NDK≌△DMH（AAS），
∴点N的坐标为（2，1﹣m），
在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即．
∵，
∴ME＝NF，
在△DMN的外部，作∠DNG＝45°，且NG＝DM，连接GF，
得∠MNG＝∠DNM+∠DNG＝90°，
∴△GNF≌△DME（SAS），
∴GF＝DE，
∴DE+MF＝GF+MF≥GM，
当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即，
在Rt△GMN中，GM2＝NG2+MN2＝3DM2，
∴，
∴DM2＝5，
∴（m﹣1）2+1＝5，
解得m1＝3，m2＝﹣1（舍），
∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，﹣2），
∵点M（3，1），N（2，﹣2）都在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，
∴1＝9a﹣6a+c，﹣2＝4a﹣4a+c，
∴a＝1．
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