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福建省晋江市磁灶中学等校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
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这是一份福建省晋江市磁灶中学等校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}2+x+6≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m（ ）
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件
D．必要不充分条件
4．（5分）已知α为锐角，csα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3lgb10的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
7．（5分）已知向量＝（2，1），，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b（ ）
A．b＜c＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2），图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＝众数
B．图（2）的平均数＜众数＜中位数
C．图（2）的众数＜中位数＜平均数
D．图（3）的平均数＜中位数＜众数
（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则g（x）（ ）
A．在区间（a，b）上是减函数
B．在区间（a，b）上是增函数
C．在x＝a时取极小值
D．在x＝b时取极小值
（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”，则（ ）
A．事件M与N互斥B．
C．事件M与N相互独立D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝ ．
13．（5分）的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．
14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax﹣，曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的最大值为f（A）．
（1）求角A；
（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且，，解这个三角形．
17．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1
19．（17分）为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：（单位：只）
（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X
附：，n＝a+b+c+d．
2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}2+x+6≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1，2}
【分析】先确定集合M，再求M∩N．
【解答】解：∵﹣x2+x+6≤5，∴x2﹣x﹣6≥8，（x﹣3）（x+2）≥4，
N＝{x|x≥3或x≤﹣2}，M＝{﹣8，0，1，7}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：∵i（1﹣z）＝1，
∴，即z＝1+i，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m（ ）
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件
D．必要不充分条件
【分析】利用共面的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出结论．
【解答】解：空间中不过同一点的三条直线l，m，n，
若“l，m，n两两相交”，m，n共面”，
反之不成立，l，m，n可能相互平行，
∴“l，m，n共面”是“l，m，
故选：D．
【点评】本题考查了共面的判定方法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知α为锐角，csα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．
【解答】解：csα＝，
则csα＝，
故＝1﹣csα＝，即＝＝，
∵α为锐角，
∴，
∴sin＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3lgb10的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据条件知lga＞0，lgb＞0，并得出，然后根据基本不等式即可求出最小值．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，lgb＞3，
又∵a＝b3，∴，当且仅当，
∴lga+3lgb10的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有，
甲站在两端的情况有＝24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
7．（5分）已知向量＝（2，1），，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据投影向量的定义即可得．
【解答】解：因为向量＝（2，，所以，3），
向量在方向上的投影向量为＝．
故选：D．
【点评】本题考查投影向量的计算，属于基础题．
8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b（ ）
A．b＜c＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
【分析】由题意得a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，构造函数f（x）＝x﹣lnx，x∈（0，+∞），则f'（x）＝1﹣＝，可得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b）＞f（c），即可得出答案．
【解答】解：a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣6＝lnb﹣ln4，即a﹣lna＝5﹣ln6，c﹣lnc＝3﹣ln3，
令f（x）＝x﹣lnx，x∈（2，则f'（x）＝1﹣＝，
由f'（x）＝0得x＝1，由f'（x）＞5得x＞1，
∴f（x）在（0，4）上单调递减，+∞）上单调递增，
又f（a）＝f（5），f（b）＝f（4），5＞4＞5＞1，
则f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b）＞f（c），
∵a，b，c∈（0，
∴a＜b＜c．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2），图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＝众数
B．图（2）的平均数＜众数＜中位数
C．图（2）的众数＜中位数＜平均数
D．图（3）的平均数＜中位数＜众数
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断．
【解答】解：图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，C正确；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数．
故选：ACD．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则g（x）（ ）
A．在区间（a，b）上是减函数
B．在区间（a，b）上是增函数
C．在x＝a时取极小值
D．在x＝b时取极小值
【分析】根据所给函数图象得到f（x）﹣f′（x）的符号，对函数g（x）进行求导，进而可得函数g（x）的单调性和极值，结合选项进行分析即可．
【解答】解：由图象知，当x＜a时；当a＜x＜b时；
当x＞b时，f（x）﹣f′（x）＞0，
已知，函数定义域为R，
可得，
因为ex＞0，
所以当x＜a时，，g（x）单调递减；
当a＜x＜b时，，g（x）单调递增；
当x＞b时，，g（x）单调递减，
所以函数g（x）在x＝a处取得极小值，在x＝b处取得极大值，
故选：BC．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数形结合、逻辑推理和运算能力．
（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”，则（ ）
A．事件M与N互斥B．
C．事件M与N相互独立D．
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答．
【解答】解：对于A，甲分配到A学校的事件与乙分配到B学校的事件可以同时发生，A错误；
对于B，甲分配到A，B，则，B正确；
对于C，由选项B知，，，
因此事件M与N相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知，．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了互斥事件及相互独立事件的判断，还考查了条件概率的求解，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝ ﹣2 ．
【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数f（x），再求函数值作答．
【解答】解：由函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x求导得：f'（x）＝2f'（0）e5x+e﹣x，当x＝0时，f′（0）＝2f′（0）+3，
因此f（x）＝﹣e2x﹣e﹣x，
所以f（0）＝﹣2．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
13．（5分）的展开式中x2y6的系数为 ﹣28 （用数字作答）．
【分析】化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含x2y6的项，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为，
的展开式中x6y6的系数为﹣28．
故答案为：﹣28．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2，则＝ ﹣1 ．
【分析】依题意，可得y＝f（x）是以3为周期的函数，且关于点（，0）成中心对称，结合题意可求得f（1）＝﹣1，进而可得答案．
【解答】解：∵，①
∴f（x﹣6）＝f（x），即f（x+3）＝f（x），②
∴定义在R上的函数y＝f（x）是以3为周期的函数．
又为奇函数，
∴函数y＝f（x）关于点（，0）成中心对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，③
由①②得：f（﹣1）＝﹣f（﹣）＝﹣f（，
∴f（）＝8，有f（1）＝﹣1．
∴f（﹣1）+f（0）+f（1）＝﹣4+2﹣1＝2．
∴＝674×（f（1）+f（2）+f（3））+f（1）＝f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax﹣，曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
【分析】（1）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0，建立方程，可求得a＝1，b＝3，从而可得f（x）的解析式；
（2）求出切线方程，从而可计算切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积．
【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）＝a+，
∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为6x﹣4y﹣12＝0．
∴f（2）＝，
∴a+＝，2a﹣＝，
∴a＝2，b＝3
∴f（x）的解析式为f（x）＝x﹣；
（2）设（x7，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，
∴切线方程为y﹣（x0﹣）＝（1+0），
令x＝7，可得y＝﹣，求得交点横坐标为x＝6x0
∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值×|2x2|×|﹣|＝3．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的最大值为f（A）．
（1）求角A；
（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且，，解这个三角形．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简f（x）表达式，然后利用三角函数的性质与特殊角的三角函数值，求出角A的大小；
（2）根据平面向量的基本定理、向量数量积的公式，求得AC长，再利用余弦定理求得BC长，最后由勾股定理的逆定理判断出角B、C的大小，可得答案．
【解答】解：（1）由＝．
由三角函数的性质，可得，即，
结合A∈（0，π），得；
（2）如图所示，可得，
所以（舍负），
由余弦定理得a8＝b2+c2﹣7bccs∠BAC＝12+3﹣6＝5，解得a＝3，
由此可得a2+c3＝12＝b2，所以，C＝＝．
综上所述，．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、平面向量数量积的定义与运算性质、余弦定理及其应用等知识，属于中档题．
17．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX＝np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：
＝170×0.02+180×2.09+190×0.22+200×0.33+210×8.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s4＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×4.22+0×0.33+105×0.24+202×8.08+302×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150）；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.5，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，6.6826）．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1
【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得，由x＞0可得（1+x）ex＞0，ex+x2﹣1＞0，即可求解；
（2）由题意可得，利用导数讨论函数Q（x）的性质可得Q（x）＞0，进而f′（x）＞0，则f（x）在（﹣1，0]内单调递增，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，，，且（3+x）ex＞0，
当x＞0时，ex＞7，x2＞0，则ex+x3﹣1＞0，即f′（x）＞6，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2），
令Q（x）＝ex+a（1﹣x2），则Q′（x）＝ex﹣2ax，
由x∈（﹣1，2]且a≥0，ex＞0，则Q′（x）＞8，0]内单调递增，
所以，
又当x∈（﹣1，5]时x＞0，
所以f′（x）＞0，f（x）在（﹣6，
故f（x）max＝f（0）＝0．
【点评】本题考查导函数在函数单调性和最值中的应用，属于中档题．
19．（17分）为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：（单位：只）
（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X
附：，n＝a+b+c+d．
【分析】（1）提出零假设H0，计算χ2的值，并与附表中的数据进行对比，即可作出判断；
（2）利用全概率公式求出药物N的治愈率p＝，利用X～B（3，），结合二项分布的概率公式与数学期望的计算方法，求解即可．
【解答】解：（1）零假设H0：药物M对预防疾病A无效果，
补充完整的列联表如下所示：
所以χ2＝＝≈3.030＞2.706，
根据小概率值α＝4.1的独立性检验，我们推断零假设不成立．
（2）设A表示药物N的治愈率，B1表示未服用过药物M且患病，B6表示服用过药物M且患病，
由题意得，，，且P（A|B1）＝0.4，P（A|B2）＝0.75，
所以P（A）＝P（B4）×P（A|B1）+P（B2）×P（A|B3）＝0.6×5.5+0.2×0.75＝0.4，
即药物N的治愈率p＝0.6＝，
所以，
所以，，，，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
数学期望．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，熟练掌握二项分布，独立性检验，全概率公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:15:57；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
15
45
服用
45
合计
25
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
15
45
服用
45
合计
25
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
x
8
1
2
5
P
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}2+x+6≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m（ ）
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件
D．必要不充分条件
4．（5分）已知α为锐角，csα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3lgb10的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
7．（5分）已知向量＝（2，1），，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b（ ）
A．b＜c＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2），图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＝众数
B．图（2）的平均数＜众数＜中位数
C．图（2）的众数＜中位数＜平均数
D．图（3）的平均数＜中位数＜众数
（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则g（x）（ ）
A．在区间（a，b）上是减函数
B．在区间（a，b）上是增函数
C．在x＝a时取极小值
D．在x＝b时取极小值
（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”，则（ ）
A．事件M与N互斥B．
C．事件M与N相互独立D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝ ．
13．（5分）的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．
14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax﹣，曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的最大值为f（A）．
（1）求角A；
（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且，，解这个三角形．
17．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1
19．（17分）为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：（单位：只）
（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X
附：，n＝a+b+c+d．
2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}2+x+6≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1，2}
【分析】先确定集合M，再求M∩N．
【解答】解：∵﹣x2+x+6≤5，∴x2﹣x﹣6≥8，（x﹣3）（x+2）≥4，
N＝{x|x≥3或x≤﹣2}，M＝{﹣8，0，1，7}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：∵i（1﹣z）＝1，
∴，即z＝1+i，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m（ ）
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件
D．必要不充分条件
【分析】利用共面的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出结论．
【解答】解：空间中不过同一点的三条直线l，m，n，
若“l，m，n两两相交”，m，n共面”，
反之不成立，l，m，n可能相互平行，
∴“l，m，n共面”是“l，m，
故选：D．
【点评】本题考查了共面的判定方法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知α为锐角，csα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．
【解答】解：csα＝，
则csα＝，
故＝1﹣csα＝，即＝＝，
∵α为锐角，
∴，
∴sin＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3lgb10的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据条件知lga＞0，lgb＞0，并得出，然后根据基本不等式即可求出最小值．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，lgb＞3，
又∵a＝b3，∴，当且仅当，
∴lga+3lgb10的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有，
甲站在两端的情况有＝24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
7．（5分）已知向量＝（2，1），，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据投影向量的定义即可得．
【解答】解：因为向量＝（2，，所以，3），
向量在方向上的投影向量为＝．
故选：D．
【点评】本题考查投影向量的计算，属于基础题．
8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b（ ）
A．b＜c＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
【分析】由题意得a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，构造函数f（x）＝x﹣lnx，x∈（0，+∞），则f'（x）＝1﹣＝，可得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b）＞f（c），即可得出答案．
【解答】解：a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣6＝lnb﹣ln4，即a﹣lna＝5﹣ln6，c﹣lnc＝3﹣ln3，
令f（x）＝x﹣lnx，x∈（2，则f'（x）＝1﹣＝，
由f'（x）＝0得x＝1，由f'（x）＞5得x＞1，
∴f（x）在（0，4）上单调递减，+∞）上单调递增，
又f（a）＝f（5），f（b）＝f（4），5＞4＞5＞1，
则f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b）＞f（c），
∵a，b，c∈（0，
∴a＜b＜c．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2），图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＝众数
B．图（2）的平均数＜众数＜中位数
C．图（2）的众数＜中位数＜平均数
D．图（3）的平均数＜中位数＜众数
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断．
【解答】解：图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，C正确；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数．
故选：ACD．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则g（x）（ ）
A．在区间（a，b）上是减函数
B．在区间（a，b）上是增函数
C．在x＝a时取极小值
D．在x＝b时取极小值
【分析】根据所给函数图象得到f（x）﹣f′（x）的符号，对函数g（x）进行求导，进而可得函数g（x）的单调性和极值，结合选项进行分析即可．
【解答】解：由图象知，当x＜a时；当a＜x＜b时；
当x＞b时，f（x）﹣f′（x）＞0，
已知，函数定义域为R，
可得，
因为ex＞0，
所以当x＜a时，，g（x）单调递减；
当a＜x＜b时，，g（x）单调递增；
当x＞b时，，g（x）单调递减，
所以函数g（x）在x＝a处取得极小值，在x＝b处取得极大值，
故选：BC．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数形结合、逻辑推理和运算能力．
（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”，则（ ）
A．事件M与N互斥B．
C．事件M与N相互独立D．
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答．
【解答】解：对于A，甲分配到A学校的事件与乙分配到B学校的事件可以同时发生，A错误；
对于B，甲分配到A，B，则，B正确；
对于C，由选项B知，，，
因此事件M与N相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知，．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了互斥事件及相互独立事件的判断，还考查了条件概率的求解，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝ ﹣2 ．
【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数f（x），再求函数值作答．
【解答】解：由函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x求导得：f'（x）＝2f'（0）e5x+e﹣x，当x＝0时，f′（0）＝2f′（0）+3，
因此f（x）＝﹣e2x﹣e﹣x，
所以f（0）＝﹣2．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
13．（5分）的展开式中x2y6的系数为 ﹣28 （用数字作答）．
【分析】化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含x2y6的项，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为，
的展开式中x6y6的系数为﹣28．
故答案为：﹣28．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1），f（0）＝2，则＝ ﹣1 ．
【分析】依题意，可得y＝f（x）是以3为周期的函数，且关于点（，0）成中心对称，结合题意可求得f（1）＝﹣1，进而可得答案．
【解答】解：∵，①
∴f（x﹣6）＝f（x），即f（x+3）＝f（x），②
∴定义在R上的函数y＝f（x）是以3为周期的函数．
又为奇函数，
∴函数y＝f（x）关于点（，0）成中心对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，③
由①②得：f（﹣1）＝﹣f（﹣）＝﹣f（，
∴f（）＝8，有f（1）＝﹣1．
∴f（﹣1）+f（0）+f（1）＝﹣4+2﹣1＝2．
∴＝674×（f（1）+f（2）+f（3））+f（1）＝f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax﹣，曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
【分析】（1）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0，建立方程，可求得a＝1，b＝3，从而可得f（x）的解析式；
（2）求出切线方程，从而可计算切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积．
【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）＝a+，
∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为6x﹣4y﹣12＝0．
∴f（2）＝，
∴a+＝，2a﹣＝，
∴a＝2，b＝3
∴f（x）的解析式为f（x）＝x﹣；
（2）设（x7，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，
∴切线方程为y﹣（x0﹣）＝（1+0），
令x＝7，可得y＝﹣，求得交点横坐标为x＝6x0
∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值×|2x2|×|﹣|＝3．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的最大值为f（A）．
（1）求角A；
（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且，，解这个三角形．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简f（x）表达式，然后利用三角函数的性质与特殊角的三角函数值，求出角A的大小；
（2）根据平面向量的基本定理、向量数量积的公式，求得AC长，再利用余弦定理求得BC长，最后由勾股定理的逆定理判断出角B、C的大小，可得答案．
【解答】解：（1）由＝．
由三角函数的性质，可得，即，
结合A∈（0，π），得；
（2）如图所示，可得，
所以（舍负），
由余弦定理得a8＝b2+c2﹣7bccs∠BAC＝12+3﹣6＝5，解得a＝3，
由此可得a2+c3＝12＝b2，所以，C＝＝．
综上所述，．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、平面向量数量积的定义与运算性质、余弦定理及其应用等知识，属于中档题．
17．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX＝np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：
＝170×0.02+180×2.09+190×0.22+200×0.33+210×8.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s4＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×4.22+0×0.33+105×0.24+202×8.08+302×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150）；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.5，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，6.6826）．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1
【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得，由x＞0可得（1+x）ex＞0，ex+x2﹣1＞0，即可求解；
（2）由题意可得，利用导数讨论函数Q（x）的性质可得Q（x）＞0，进而f′（x）＞0，则f（x）在（﹣1，0]内单调递增，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，，，且（3+x）ex＞0，
当x＞0时，ex＞7，x2＞0，则ex+x3﹣1＞0，即f′（x）＞6，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2），
令Q（x）＝ex+a（1﹣x2），则Q′（x）＝ex﹣2ax，
由x∈（﹣1，2]且a≥0，ex＞0，则Q′（x）＞8，0]内单调递增，
所以，
又当x∈（﹣1，5]时x＞0，
所以f′（x）＞0，f（x）在（﹣6，
故f（x）max＝f（0）＝0．
【点评】本题考查导函数在函数单调性和最值中的应用，属于中档题．
19．（17分）为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：（单位：只）
（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X
附：，n＝a+b+c+d．
【分析】（1）提出零假设H0，计算χ2的值，并与附表中的数据进行对比，即可作出判断；
（2）利用全概率公式求出药物N的治愈率p＝，利用X～B（3，），结合二项分布的概率公式与数学期望的计算方法，求解即可．
【解答】解：（1）零假设H0：药物M对预防疾病A无效果，
补充完整的列联表如下所示：
所以χ2＝＝≈3.030＞2.706，
根据小概率值α＝4.1的独立性检验，我们推断零假设不成立．
（2）设A表示药物N的治愈率，B1表示未服用过药物M且患病，B6表示服用过药物M且患病，
由题意得，，，且P（A|B1）＝0.4，P（A|B2）＝0.75，
所以P（A）＝P（B4）×P（A|B1）+P（B2）×P（A|B3）＝0.6×5.5+0.2×0.75＝0.4，
即药物N的治愈率p＝0.6＝，
所以，
所以，，，，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
数学期望．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，熟练掌握二项分布，独立性检验，全概率公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:15:57；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
15
45
服用
45
合计
25
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
15
45
服用
45
合计
25
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
x
8
1
2
5
P
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