广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．函数的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.
3．已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，则( )
A.B.C.1D.2
5．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
6．已知中，，，若，且E，M，F三点共线，则( )
A.B.C.D.
7．已知正实数a，b满足，则的最小值为( )
A.4B.9C.10D.20
8．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若复数z满足，下列说法正确的是( )
A.z的虚部为B.C.D.
10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件“第一次的点数不大于3”，“第二次的点数不小于4”，“两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是( )
A.事件A发生的概率B.事件A与事件B相互独立
C.事件C发生的概率D.事件与事件C对立
11．已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是( )
A.的最小值为
B.不存在点F，使与所成角等于
C.二面角正切值的取值范围为
D.当为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．已知则________.
13．若，不等式恒成立，则a的取值范围为________.
14．已知圆O为的外接圆，，，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求C；
（2）若，的面积为，求b和c.
16．已知函数，函数的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式：
（2）求使成立的x的取值范围.
17．如图，是的直径，，点C是上的动点，平面，过点A作，过点E作，连接.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）当C为弧的中点时，直线与平面所成角为，求四棱锥的体积.
18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数：
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率：
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.
19．已知函数为R上的奇函数.当时，(a，c为常数)，.
（1）当时，求函数的值域：
（2）若函数的图像关于点中心对称.
①设函数，，求证：函数为周期函数；
②若对任意恒成立，求的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：根据并集的含义知，
故选：D.
2．答案：B
解析：函数的定义域为，
函数在上单调递增，
又，，
根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为.
故选：B.
3．答案：C
解析：当“”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立；
反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立，
故“”是“在上单调递增”的充分必要条件，
故选：C.
4．答案：B
解析：，
因为，则，即，于是.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于选项A,如图,在正方体中,取面为平面,直线为直线m,
直线为直线n,显然有,,但m不平行n,所以选项A错误,
对于选项B,如图,在正方体中,取面为平面,直线为直线,
面为平面,有,,但,所以选项B错误,
对于选项C,取面为平面,直线为直线m,直线为直线n,
因为,显然有,但,所以选项C错误,
对于选项D,因为,在内任取一点P,过直线m与点P确定平面,
则,由线面平行的性质知,又,所以,又,
所以,所以选项D正确,
故选：D.
6．答案：C
解析：
因为，所以，
，，
因为E，M，F三点共线，所以，，
，
所以，，
，，.
故选：C.
7．答案：B
解析：a，b为正实数，方程两边同时除以得，
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为9.
故选：B.
8．答案：A
解析：由，，故为奇函数，
则，，
函数在上单调递减，故在上单调递增，
则，即.
故选：A.
9．答案：BC
解析：，则其虚部为，故A错误；
，，故BC正确；
，而，则两者不等，故D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有
，
，
，
，
，
，共36不同结果，即，
对于A，事件A包含的样本点有18种，故，故A正确；
对于B，事件B包含的样本点有18种，故，
事件包含的样本点有9种，故，
因为，所以事件A，B相互独立，故B正确；
对于C，事件C包含的样本点有12种，故，故C正确；
对于D，事件C与事件有重复的样本点，，，
故事件与事件C不对立，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ACD
解析：对于A，最小值时，F为中点.作个草图，取中点M，连接.
此时，故A正确.
设与所成的角为θ，当F与C重合时，，
当F在中点时，.则存在点F，使.
即存在点F，使与所成角等于.故B错误.
如图，过中点M作于H，则为二面角的平面角，
因此，故C正确.
设三棱锥的外接球的球心为O，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M，
则O可以由M沿着方向移动即可，O一定在上.
F为中点时，半径，于是.
在中有，解得，
于是球O表面积为.故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由诱导公式可得：，
故答案为：.
13．答案：
解析：，不等式恒成立，
则，即，恒成立，
令，由图知在上单调递减，在上单调递增，
又，故，则.
故答案为：.
14．答案：3
解析：设圆O的半径为R，则，解得，
因为，，所以，
取的中点D，连接，则，故，
，
当A，O，D三点共线时，取得最大值，最大值为，
故的最大值为.
故答案为：3
15．答案：（1）；
（2），
解析：（1）由正弦定理：，那么，由于，则，则，且，故.
（2）由于，则，
根据余弦定理：，
那么.
16．答案：（1）
（2），
解析：（1）由，，则，
又，即，，即，，
又，则，即；
（2）若，即，
即有，，
即，，
故x的取值范围为，.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）.
解析：（1）由于为圆O的直径，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）由（1）得，，，且，平面，
所以平面，又由于平面，那么，
又因为，，平面，
所以平面，又由于平面，那么平面平面；
（3）由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为，
那么，且，
所以且，
那么，，，
在中，，得，
所以，
那么，
，则.
18．答案：（1），85；
（2）；
（3）得分在内的平均数为81，方差为26.8.
解析：（1）由题意得：，解得，
设第60百分位数为x，则，
解得，第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为A、B，在的有人，设为a、b、c.
则样本空间为，.
设事件“两人分别来自和，则，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为，，，，平均分为，方差为；
在区间的数据分别为为，，，，平均分为，方差为；
这20个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，且，，则.
根据方差的定义，
由，
可得
故得分在内的平均数为81，方差为26.8.
19．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）由于函数为R上奇函数，那么，且，
则，则，则，；
那么，由，则，
而函数为奇函数，那么时，，
综上所述：当时，，
由复合函数单调性可知：则.
（2）①由于，且，
由于，则，
那么，
则为R上周期为2的函数.
②由（1）可知，当时，，时，，
那么，时，；
，时，；
那么，，；
若要最大，仅需n最大，m最小，
从而考虑如下临界：由于，令，
则，此时；
，，；
当时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
同理，时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
从而，，
那么的最大值为.