湖南省益阳市安化县两校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省益阳市安化县两校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则复数( )
A.B.C.D.
3．设,均为单位向量,且,则( )
A.3B.C.6D.9
4．已知锐角满足,则( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列,是其前n项和,,则( )
A.B.8C.7D.14
6．通辽是“最美中国文化旅游城市”,境内旅游资源丰富,自然景观优美,其中的大青沟,孝庄园文化旅游区,珠日河草原旅游区,库伦三大寺,孟家段国家湿地公园,银沙湾,可汗山都是风景宜人的旅游胜地,某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光,则不同的选择方案是( )
A.种B.种C.种D.种
7．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图,在刍童中,,,,,平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3,则此“刍童”的体积为( )
A.36B.46C.56D.66
8．若M,N分别是双曲线:的右支和圆上的动点,且F是双曲线C的右焦点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.不存在常数项B.二项式系数和为1
C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128
10．已知函数,则( )
A.B.有两个极值点
C.点是曲线的对称中心D.有两个零点
11．如图,正方体的棱长为1,点P在截面内,且,则( )
A.三棱锥的体积为B.线段PA的长为
C.点P的轨迹长为D.的最大值为
三、填空题
12．已知函数为奇函数,则a的值为_____________.
13．镇江西津渡的云台阁,是一座宋元风格的仿古建筑,始建于2010年,目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图,在云台阁旁水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且米,则云台阁的高度为________米.
14．设,是双曲线:的左,右焦点,以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P,且,则双曲线C的离心率为__.若内切圆圆心I的横坐标为2,则的面积为___.
四、解答题
15．记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
（1）求的值;
（2）若,且,求的面积.
16．如图,四棱锥的底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形,PA是圆柱的母线,,.
（1）证明:平面平面PAD;
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.
17．随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市,一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销售脐橙的情况如下:
（1）求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数;
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量,其中为（1）中的平均数,.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个,销售的脐橙在（单位:盒）内的群为“A级群”,销售数量小于256盒的购物群为“B级群”,销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”,该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元,每个“A级群”奖励100,对“B级群”不奖励,则该脐橙基地大约需要准备多少奖金?（群的个数按四舍五入取整数）
附:若,则,,.
18．已知椭圆及直线.
（1）若直线l与椭圆没有公共点,求实数t的取值范围;
（2）P为椭圆C上一动点,若点P到直线l距离的最大值为,求直线l的方程.
19．设函数.
（1）当,求在点处的切线方程;
（2）证明:当时,;
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知,.
故选:C
2．答案：C
解析：设（a,）,则.
因为,所以,
即,
整理得,
所以,
解得,
所以.
故选:C
3．答案：B
解析：
.
故选:B.
4．答案：D
解析：因为为锐角,所以,
又,所以,
所以.
故选:D.
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,
因,可得,即,所以,
所以.
故选:C.
6．答案：D
解析：由题意每位同学都有7种选择,则4名同学共有种选择方案.
故选:D.
7．答案：C
解析：由,,,,且,
则EA,FB,GC,HD交于同一点P,该“刍童”为四棱台,矩形ABCD的面积为,
矩形EFGH的面积为,
且上下底面的高为3,所以四棱台的体积.
故选:C
8．答案：A
解析：圆的圆心,半径,
双曲线则,,,
设左焦点为,则,即,
所以,
当且仅当M,N在线段与双曲线右支,圆的交点时取等号.
故选:A
9．答案：AC
解析：因为展开式的通项公式为,
对A,由,得(舍去),所以展开式不存在常数项,故A正确;
对B,二项式系数和为,故B错误;
对C,展开式共有8项,所以第4项和第5项二项式系数最大,故C正确;
对D,令,得所有项的系数和为,故D错误;
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：,故A正确;
令,解得,当或时,,当时,,
所以函数在和上单调递增,在上单调递减,
故函数在处取得极小值,在取得极大值,
即,,
只有一个零点,故B正确D错误;
,所以关于对称,故C正确.
故选:ABC
11．答案：ACD
解析：在正方体中,平面,平面平面,
且两平面间的距离为,又的面积三棱锥的体积
A正确;
设的中心为,则,,
,,B错误;
如图,由知,,点P的轨迹
是以为圆心,为半径的圆的一部分,由三段,,
劣弧构成,其长度为圆周长的一半C正确;
,为在方向上的投影,由图可知,当P位于点或的位置时,最小,此时取得最大值,如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,D正确.
故选ACD.
12．答案：
解析：函数中,,方程的根为,,
由函数是奇函数,得,解得,此时的定义域为,
,即函数为奇函数,
所以a的值为.
故答案为:
13．答案：
解析：设
在中,,.
中,,,
在中,,.
在中,由余弦定理得:,
在中,由余弦定理得:,
因为,
所以,即,.
故答案为:
14．答案：,6
解析：设以为直径圆与双曲线在第一象限的交点设为P,
则,由双曲线的定义可得,
所以,,由勾股定理得,
即有,.
设内切圆与x轴相切于M,M点横坐标为t,
则,则,
解之得
又由内切圆圆心的横坐标为2,得,
故.
故答案为:,6
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由余弦定理可得,
又,所以,
又因为,由正弦定理可得,则,所以为锐角,
又,所以,
所以
,
所以.
（2）由（1）可得,,且,
因为,
所以
,
所以,,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为PA是圆柱的母线,所以平面ABCD,
而平面ABCD,所以.
因为底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形,
所以AC是直径,从而,
又因为,平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD,
而平面PCD,所以平面平面PAD.
（2）由题意平面ABCD,,
注意到平面ABCD,平面ABCD,
所以,,
所以两两互相垂直,
以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,,
设为平面PBC的法向量,则,
令,可得,,得平面PBC的一个法向量为,
设为平面PCD的法向量,则,
令,可得,,得平面PCD的一个法向量.
设平面PBC与平面PCD的夹角为,
则,
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）;平均数为376
（2）奖金约为95700元
解析：（1）由题意得,,解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为
.
（2）由题意,,,则,,
故
,
故“A级群”约有个;
,
故“特级群”约有个;
则依题意,需要资金为元,即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）联立方程组,整理得,
因为直线l与椭圆C没有公共点,所以,
解得或,所以实数t的取值范围为.
（2）由题意,点P到直线l距离的最大值,
等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离,
由（1）中,,解得或,
此时直线或直线与椭圆C相切,
当与l之间的距离为时,可得,解得或（舍去）;
当与l之间的距离为时,可得,解得或（舍去）,
综上可得,所求直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时,,
则,即,
所以在点处的切线方程为,即.
（2）因为,
因为为单调递增函数,也为单调递增函数,
所以为单调递增函数,又,且,
所以在上存在唯一零点,设为,
当时,,为单调递减函数;当时,,为单调递增函数;
所以,
由可得,即,
所以,
当且仅当时取等号,
所以当时,.
脐橙数量/盒
购物群数量/个
12
18
32
18