2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】，共50页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，直线的倾斜角，直线的斜率，正切值，tanα，y＝kx＋b，ABD，考点突破题型剖析，则其倾斜角为30°，x＋3y－5＝0等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是______________________.
{α|0°≤α<180°}
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________.(2)计算公式
3.直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
解析　设直线倾斜角为α，∵y＝－xtan 60°＋2，
2.(易错题)直线xtan 60°＋y－2＝0的倾斜角为(　　)A.30° B.60° C.120° D.150°
∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.
3.(多选)下列说法正确的是(　　 )
解析　由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，
4.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0
即x－4y＝0.当直线不过原点时，
5.(易错题)经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为______________________________.
x－4y＝0或x＋y－5＝0
故直线方程是x＋y－5＝0.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
解析　因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
(2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
训练1 (1)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_____________________________.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________.
∴直线过点(1，1).∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
即2x＋3y－5＝0.
解析　设C(x0，y0)，
训练2 (1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________.
即5x－2y－5＝0.
此时直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0或x－y－1＝0.
(2)过点(－2，－3)，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是______________________________.
3x－2y＝0或x－y－1＝0
∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为_______________________________.
x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
①k＞0时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，(2k＋2)2＝－2k，
则所求直线为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).
在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
训练3 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解　法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
利用斜截式直接写出方程，
1.倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　　)
2.若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析　∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，∴直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
3.若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
解析　直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
由所求直线过点(0，1)，
5.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(　　)A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0
解析　∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴斜率k＝tan α≥－1，
所求直线为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　 )A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
解析　已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
即x＋13y＋5＝0.
10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为______________.
解析　因为直线l的斜率存在，
11.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
12.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.
解析　由题意知，y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.
解析　根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
14.(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
解析　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
15.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当a＝________时，四边形的面积最小，最小值为________.
解析　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，