新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.10　函数的图象（2份打包，原卷版+含解析）

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1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右侧图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )
教材改编题
1．函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象是( )
2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝|lg2(x＋1)|； (2)y＝eq \f(2x－1,x－1)； (3)y＝x2－2|x|－1.
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|； (2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|； (3)y＝|lg2x－1|.
题型二 函数图象的识别
例2 (1)函数f(x)＝y＝eq \f(22x＋1ln|x|,2x)的图象大致为( )
(2)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是( )
A．y＝eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝eq \f(2xcs x,x2＋1) D．y＝eq \f(2sin x,x2＋1)
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝eq \f(2xsin x,4x＋1)的大致图象为( )
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 (多选)已知函数f(x)＝eq \f(2x,x－1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
命题点2 利用图象解不等式
例4 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A．(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
D．(－2，－eq \r(2))∪(0，eq \r(2))∪(2，＋∞)
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
课时精练
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2．函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为( )
3．已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )
A．f(x)＝eq \f(ln|x－1|,x) B．f(x)＝eq \f(x,ln|x－1|)
C．f(x)＝eq \f(x－2,|x|－1) D．f(x)＝eq \f(x－2,xx－1)
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式eq \f(fx,sin x)<0的解集为( )
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根
7．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.
8．函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定义在R上的奇函数．
(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；
(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
11．(多选)函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则( )
A．a>0 B．b<0
C．c>0 D．abc<0
12．若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10＋\r(2),4)))
14．(多选)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增