新高考数学一轮复习讲义第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
教材改编题
1．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
2．若将sin x－eq \r(3)cs x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为 ．
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)计算：eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
(2)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)已知0<αA.eq \f(4\r(14),51) B.eq \f(2\r(14),13) C.eq \f(4\r(17),51) D.eq \f(2\r(17),13)
(2)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
(2)若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝ ，cs 2β＝ .
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知α，β为锐角，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).则sin(2α＋β)的值为 ．
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
课时精练
1．cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°等于( )
A．cs 12° B．－cs 12° C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
2．已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))等于( )
A．±eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
3．若2cs 80°＝cs 20°＋λsin 20°，则λ等于( )
A．－eq \r(3) B．－1 C．1 D.eq \r(3)
4．已知2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α，则sin αcs α等于( )
A．－eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(2\r(3),7) D.eq \f(2\r(3),7)
5．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))等于( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
7．eq \r(2)cs 15°sin 10°cs 20°＋cs 10°cs 70°－2cs 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．
8．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，则α＋β＝ .
9．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3cs α＝2\r(2)cs β，,cs αcs β＝\f(3\r(2),5).))
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(－α)；③3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))；
(2)求β.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
11．已知3sin x－4cs x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin β＋sin γ＝sin α，cs α＋cs γ＝cs β，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(\r(3),2) B．cs(β－α)＝eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,6) D．β－α＝－eq \f(π,3)
13．设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7)))＝2cs αsin eq \f(π,7)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14))))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
14．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为eq \r(2)
D．sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝1
15．若eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(4π,7))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,7))))＝－3，则eq \f(tan α,tan \f(3π,7))＝________.
16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，2))变换得到点A1，则A1的坐标为 ；若对点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为 ．