新高考数学一轮复习讲义第4章　必刷小题7　三角函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1．(2023·杭州模拟)设α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2)，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α2．(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
答案 C
解析设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则eq \f(l,r)＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇形的弧长为9 cm.
3．(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－eq \f(3,5)，则tan α等于( )
A．±eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
答案 B
解析因为角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－eq \f(3,5)，
所以eq \f(m,\r(1＋m2))＝－eq \f(3,5)，所以eq \f(m2,1＋m2)＝eq \f(9,25)，且m<0，
解得m＝－eq \f(3,4)，
所以tan α＝eq \f(m,－1)＝－m＝eq \f(3,4).
4．(2023·济南模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且cs2α＋sin 2α＝eq \f(7,10)，则eq \f(cs2α,1＋sin 2α)等于( )
A.eq \f(11,26) B.eq \f(49,36) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,36)
答案 B
解析 cs2α＋sin 2α＝eq \f(7,10)，
即eq \f(cs2α＋2sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(7,10)，
即eq \f(1＋2tan α,1＋tan2α)＝eq \f(7,10)，所以7tan2α－20tan α－3＝0，
即(7tan α＋1)(tan α－3)＝0，
所以tan α＝－eq \f(1,7)或tan α＝3，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以tan α＝－eq \f(1,7)，
所以eq \f(cs2α,1＋sin 2α)＝eq \f(cs2α,cs2α＋sin2α＋2sin αcs α)＝eq \f(1,1＋tan2α＋2tan α)＝eq \f(1,1＋\f(1,49)－\f(2,7))＝eq \f(49,36).
5．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cs x|的最小正周期是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C．π D．2π
答案 C
解析 f(x)＝|sin x＋cs x|＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))，
函数图象是将g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示，
根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.
6．(2022·扬州模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析由题意可知，eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α－\f(1,2)cs α))＝1，
即2sin α＝1，解得sin α＝eq \f(1,2)，
所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,2).
7．(2023·吉林质检)已知函数f(x)＝sin x＋cs x，将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若x1≠x2，且g(x1)g(x2)＝2，则|x1－x2|的最小值为( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
答案 B
解析由题设知f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，故y＝g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
要使x1≠x2且g(x1)g(x2)＝2，则g(x1)＝g(x2)＝eq \r(2)或g(x1)＝g(x2)＝－eq \r(2)，
∴|x1－x2|的最小值为1个周期长度，则|x1－x2|min＝eq \f(2π,2)＝π.
8．(2023·玉林模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，其图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，若将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度得到的函数g(x)为奇函数，则φ的值为( )
A.eq \f(π,6) B．－eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
答案 B
解析由f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，即可知其周期为π，
所以eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2，
所以函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度得到的函数g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)＋φ))，
又g(x)为奇函数，所以eq \f(π,6)＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，又|φ|二、多项选择题
9. (2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin 2x－2cs2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是周期为π的奇函数
B．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，1))对称
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))上单调递增
D．f(x)的值域是[－3,1]
答案 CD
解析由题意可得f(x)＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x－1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1.
因为f(－x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,6)))－1＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A错误；
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,6)))－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，1))对称，故B错误；
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，当k＝1时，eq \f(5π,6)≤x≤eq \f(4π,3)，故C正确；
因为－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，所以－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤2，所以－3≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D正确．
10．(2022·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sin x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再将横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增
B．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，函数g(x)的值域是[－2,1]
C．其图象关于直线x＝eq \f(5π,6)对称
D．最小正周期为π，其图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
答案 BC
解析由题可得g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，故函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上不单调，故A错误；
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(11π,6)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈[－2,1]，故B正确；
当x＝eq \f(5π,6)时，2x－eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)，故函数g(x)的图象关于直线x＝eq \f(5π,6)对称，故C正确；
由g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))可知，最小正周期为π，又x＝eq \f(π,3)，2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，故函数g(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，故D错误．
11．(2023·九江模拟)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称(φ>0向左移动，φ<0向右移动)，φ可取的值为( )
A.eq \f(π,3) B．－eq \f(π,12) C.eq \f(π,6) D．－eq \f(π,3)
答案 CD
解析由题意，将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(2π,3)))，
则y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(2π,3)))的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称．
所以2×eq \f(π,4)＋2φ＋eq \f(2π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z，
当k＝0时，φ＝－eq \f(π,3)，
当k＝1时，φ＝eq \f(π,6).
12．(2023·长沙模拟)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))的图象(g(x)的部分图象如图所示)．对于∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2若g(x1)＝g(x2)，都有g(x1＋x2)＝eq \f(\r(3),2)成立，则下列结论正确的是( )
A．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
B．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))
C．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上单调递增
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4π,3)))上的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝eq \f(85π,12)
答案 ABD
解析对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))的图象在区间[a，b]上的对称轴为直线x＝eq \f(x1＋x2,2)，又g(x1＋x2)＝eq \f(\r(3),2)，所以g(0)＝g(x1＋x2)＝eq \f(\r(3),2)，所以sin φ＝eq \f(\r(3),2)，又因为0<φ对于B，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，再将其横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)得到f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，故B正确；
对于C，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，当k＝1时，eq \f(7π,12)≤x≤eq \f(13π,12)，所以g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))上单调递增，而eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))⊈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))，故C错误；
对于D，令t＝4x－eq \f(π,3)，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，5π))，函数y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，5π))上有6个零点t1，t2，…，t6，则t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π，t5＋t6＝9π，
故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6)－10×eq \f(π,3)＝25π，
所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＝eq \f(85π,12)，故D正确．
三、填空题
13．若f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x为偶函数，则φ＝________.(填写符合要求的一个值)
答案 eq \f(π,3)(填写符合φ＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z的一个值即可)
解析 f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x
＝2sin xcs φ＋2cs x·sin φ－sin x
＝2sin φcs x＋(2cs φ－1)sin x，
当2cs φ－1＝0时，f(x)为偶函数，
此时cs φ＝eq \f(1,2)，
则φ＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，填写符合φ＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z的一个值即可．
14．(2023·焦作模拟)计算：2cs 50°－eq \f(tan 40°,2)＝________.
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 2cs 50°－eq \f(tan 40°,2)＝2sin 40°－eq \f(sin 40°,2cs 40°)
＝eq \f(4sin 40°cs 40°－sin 40°,2cs 40°)＝eq \f(2sin 80°－sin 40°,2cs 40°)
＝eq \f(2cs 10°－sin 40°,2cs 40°)＝eq \f(2cs40°－30°－sin 40°,2cs 40°)
＝eq \f(\r(3)cs 40°＋sin 40°－sin 40°,2cs 40°)＝eq \f(\r(3),2).
15．(2022·北京)若函数f(x)＝Asin x－eq \r(3)cs x的一个零点为eq \f(π,3)，则A＝________；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝________.
答案 1 －eq \r(2)
解析依题意得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝A×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)×eq \f(1,2)＝0，解得A＝1，
所以f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－eq \r(2).
16．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a＋bcs x)sin x，在①②中任选一个作为已知条件，再从③④⑤中选出在这个条件下成立的所有结论，则你所选的编号为________．(写出一组符合要求的答案即可)
①a＝1，b＝1；②a＝1，b＝－1；③f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为单调函数；④f(x)的图象关于点(π，0)对称；⑤f(x)在x＝eq \f(5π,3)处取得最小值－eq \f(3\r(3),4).
答案 ①④⑤或②③④
解析若选①，f(x)＝(1＋cs x)sin x，
则f′(x)＝2cs2x＋cs x－1＝(2cs x－1)(cs x＋1)，
令f′(x)>0，解得cs x>eq \f(1,2)；
令f′(x)<0，解得cs x所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ))，k∈Z上单调递增，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z上单调递减，显然f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝eq \f(5π,3)时，f(x)取得最小值f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝－eq \f(3\r(3),4)，⑤正确；
因为f(2π－x)＝[1＋cs(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1＋cs x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确，可知选①④⑤.
若选②，f(x)＝(1－cs x)sin x，
则f′(x)＝－2cs2x＋cs x＋1＝(2cs x＋1)(1－cs x)，
令f′(x)>0，解得cs x>－eq \f(1,2)；
令f′(x)<0，解得cs x<－eq \f(1,2)，
所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ))，k∈Z上单调递增，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(4π,3)＋2kπ))，k∈Z上单调递减，显然f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，③正确；因为f(2π－x)＝[1－cs(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1－cs x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确；
显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝eq \f(4π,3)时，f(x)取得最小值f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))＝－eq \f(3\r(3),4)，⑤不正确，可知选②③④.