新高考数学一轮复习讲义第10章　§10.3　二项式定理（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 SKIPIF 1 < 0 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
常用结论
1．Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
2．Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( )
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．( )
(3)通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．( )
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )
教材改编题
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\r(x)))10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
2．已知Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋23Ceq \\al(3,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝243，则Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)等于( )
A．31 B．32 C．15 D．16
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－x2))10的展开式中的常数项是( )
A．－45 B．－10 C．45 D．65
(2)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(x))))5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
(2)在(2x＋a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( )
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
(2)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
题型二 二项式系数与项的系数问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为－135
D．常数项为135
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 (多选)下列关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x))6的展开式的说法中正确的是( )
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2 (1)(多选)对于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,x)))6的展开式，下列说法正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
(2)设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1除以13的余数是( )
A．－3 B．2 C．10 D．11
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
课时精练
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))5的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
2．(多选)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))6的展开式中的常数项为eq \f(15,16)，则实数a的值可能为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2x)))6(x＋3)的展开式中，常数项为( )
A．－eq \f(15,2) B.eq \f(15,2) C．－eq \f(5,2) D.eq \f(5,2)
4．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式中，x的指数是整数的项数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
6．设a＝3n＋Ceq \\al(1,n)3n－1＋Ceq \\al(2,n)3n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)3，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
7．(多选)在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展开式中，正确的说法是( )
A．常数项是第3项
B．各项的系数和是eq \f(1,64)
C．第4项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
8．(多选)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则( )
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝eq \f(32 023－1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 023,22 023)＝－1
9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.
10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．
11．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( )
A．120 B．－120 C．60 D．30
12．设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
13．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于( )
A．405 B．810 C．243 D．64
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 023x2 023，数列{an}的首项a1＝eq \f(b1,2)＋eq \f(b2,22)＋…＋eq \f(b2 023,22 023)，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 023等于( )
A．－eq \f(1,2 023) B.eq \f(1,2 023)
C．2 023 D．－2 023
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)