专题07 解析几何（选填题）【好题汇编】-五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

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\l "_Tc140394748" 考点01：直线和圆的综合问题
1．（2024·全国甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.故选：C
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，即，
其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.
3．(2022高考北京卷)若直线是圆的一条对称轴，则 ( )
A． B．C．1D．
【答案】A【解析】:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选,A．
4．(2023年新课标全国Ⅰ卷)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ( )
A．1 B．C．D．
【答案】B【解析】：方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，即为钝角，所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得．故选：B．

5．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D．
6．(2020年高考课标Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．故选：B．
二 填空题
7．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
8 (2022新高考全国I卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或．
9．(2022年全国乙卷)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】
或或或；
【解析】：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
10．(2022年高考全国甲卷数学(理))若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，
解得或(舍去)．故答案为：．
11．(2022新高考全国II卷)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：
\l "_Tc140394749" 考点02：椭圆，双曲线基本性质
1．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.故选：A
2．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷)椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C【解析】：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或(舍去)，
故选：C．
4．(2023年全国甲卷理科)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B【解析】：方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．故选：B．
5．(2021年新高考Ⅰ卷)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上则的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】:由题，，则，
所以(当且仅当时，等号成立)故选：C．
6 (2022年全国甲卷(理))椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】，设，则，
则，故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率．故选：A．
7．(2023年全国乙卷理科)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．B．C．D．
【答案】D【解析】：设，则的中点，
可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以．
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
8 (2020年高考课标Ⅲ卷)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
9．(2020年浙江省高考数学试卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即． 故选：D．
10 (2021高考北京)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为． 故选：B
二 填空题
11．(2021年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】【解析】：因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于．故答案：．
12．(2022新高考全国II卷)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直线，即；
故答案为：
13．(2022新高考全国I卷)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，∴，∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13．
14．(2023年北京卷)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
【解析】：令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为．故答案为：
15．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】
【解析】：方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或(舍去)，所以，，则，
故，所以在中，，整理得，故．
方法二:依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，又，所以或(舍去)，故．故答案为：．
16．(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
【解析】:因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．故答案为．
17．(2021年高考全国乙卷)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
【解析】：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得(舍去)，，故焦距故答案为：4
18．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立，解得，所以．
依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为．故答案为：．
考点03：椭圆双曲线的离心率
1（2024·全国·高考甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.故选：C.
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷)设椭圆的离心率分别为．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】：由，得，因此，而，所以．故选：A
3．(2021年高考全国乙卷)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．
4．(2023年天津卷)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D【解析】：如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以．
设则，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D
5．(2021年全国甲卷)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，
6．(2020高考Ⅱ卷)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】：双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得
故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：
7．(2022年高考全国乙卷数学(理))双曲线C的两个焦点为，以C的轴为直径的圆记为D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，
设，，在中，有，
故即，
所以，而，，，故，代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
8．(2021高考天津)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】：设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率．故选：A．
二 填空题
9．（2024·全国·高考Ⅰ卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
10．(2021年高考浙江卷)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】:如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，于是，即，所以．
故答案为；．
11．(2022年浙江省高考)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】【解析】:过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．故答案为：．
12．(2020北京高考)已知双曲线，则的右焦点的坐标为_________；的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为．故答案为：；．
\l "_Tc140394751" 考点04：抛物线性质及应用
1．(2023年北京卷)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，
所以，故．故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
3．(2020年高考Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．故选：C．
3．(2020年高考Ⅲ卷)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B．
5．(2022年高考全国乙卷)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则 ( )
A．2B．C．3D．
【答案】B【解析】：由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，所以． 故选：B
6．(2020北京高考)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )．
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．
二、填空题
7．(2023年全国乙卷理科)已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______．
【答案】
【解析】：由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为．故答案为：．
8．(2021年新高考Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
【解析】:不妨设
因为，所以的准线方程为,故答案为．
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】：∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解得，所以
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得 所以
解法二：设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
故答案为：
11．(2021高考北京)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点．若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
【解析】：因为抛物线的方程为，故且．
因为，，解得，故，
所以，故答案为：5；．
\l "_Tc140394752" 考点05：圆锥曲线的综合问题
1(2023年全国甲卷)已知双曲线的离心率为，C的一
条渐近线与圆交于A．B两点，则 ( )
A B． C． D．
【答案】D【解析】：由，则，
解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长．故选：D
2．(2021年高考浙江卷)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【解析】:由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．
二 多选题
3．（2024·全国·高考Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
【答案】ABD
【详解】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，
故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.故选：ABD.
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD
二 填空题：
3．(2023年天津卷)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】：易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．
当时，同理可得．故答案为：．
4（2023·全国·乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
\l "_Tc140394748" 考点01：直线和圆的综合问题
2024 甲卷 北京卷 天津卷
2022 北京 乙卷 甲卷ⅠⅡ卷
2020 ⅠⅡ卷
直线与圆的性质应用在高考考考查趋势是主要考查圆的一些基本性质，一般难度较小
\l "_Tc140394749" 考点02 椭圆，双曲线基本性质
2024 天津 Ⅱ卷
2023 甲卷 乙卷 北京Ⅰ Ⅱ
2022甲ⅠⅡⅢ
2021 北京 甲卷 乙卷Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2020 浙江 Ⅰ卷
椭圆与双曲线的基本性质是高考数学中的必考点也是高频考点，一般考查的基本内容一些性质的综合应用
考点03 椭圆双曲线的离心率
2024甲卷 Ⅰ卷
2023 天津
2022浙江 乙卷
2020 北京Ⅱ卷
求椭圆双曲线的离心率及离心率的取值范围是高考的高频考点。
\l "_Tc140394751" 考点04 抛物线性质及应用
2023 北京 乙卷
2022 乙卷
2021 Ⅰ Ⅱ 北京卷
2020Ⅰ Ⅲ 北京卷
抛物线在高考中小题中考查非常普遍，重点考查有关抛物线的p的有关问题
考点05 圆锥曲线的综合问题
2024 ⅠⅡ卷
2023 甲 乙 天津
2021 浙江
圆锥曲线的综合应用一般作为选填压轴题目出现，是对圆锥曲线综合能力的考查