高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-1 函数的概念及其表示（解析版）

这是一份高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-1 函数的概念及其表示（解析版），共14页。试卷主要包含了函数的有关概念，函数的三要素，已知则的取值范围是，函数的值域为，函数的值域是 等内容，欢迎下载使用。

1．函数的有关概念
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
3．函数的表示法 常用方法有：解析法、图象法、列表法．
4.常见函数定义域要求
①分式函数中分母不等于零
②偶次根式函数的被开方式大于或等于0
③正切函数y=tan x中x≠π2+kπ(k∈Z)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④y=x0的定义域是x≠0
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤对数函数的真数大于0
函数解析式求解常用方法
①待定系数法 ②配凑法 ③换元法 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④解方程组法
常见函数值域的求解方法
①观察法 ②单调性法 ③配方法 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④分离场常数法 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤换元法
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥判别式法 = 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦有界性法 = 8 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑧导数法
题型专练
题型一 简单函数的定义域
例1．（2024高二下·陕西西安·学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.
【详解】由有意义，可得，解得且.
故选：D.
变式1-1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（ ）
A．{且}B．{且}
C．D．{且}
【答案】D
【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】由题意得，解得且，
即定义域为.
故选：D.
变式1-2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求解两个集合，再根据选项判断.
【详解】由题意得，则，
则，故错误；
，则，故B错误；
又，故C正确；
或，故错误.
故选：C
变式1-3．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
变式1-4．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得.
【详解】函数的意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
题型二 抽象函数的定义域
例2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由求解即可
【详解】函数的定义域为，
由，得，
则函数的定义域为
故选：C
例3．（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数求定义域法则得到答案..
【详解】，则，故的定义域是.
故选：C
变式2-1．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
所以在函数中有，解得，
所以的定义域为，
故选：A.
变式2-2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（ ）
A．[1,6]B．[2,5]C．[2,6]D．[4,7]
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域利用替换思想求相关函数的定义域即可.
【详解】函数的定义域是
的定义域是，
故对于函数，有，解得，
从而函数的定义域是.
故选：D
变式2-3．（2023高一上·全国·专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合对数函数的定义和性质，列出使函数的分母有意义时所满足的不等式组，然后求解；再根据已知函数的定义域，得到分子有意义的条件得到x需要满足的条件，最后求交集即得.
【详解】分母有意义的条件是得
分子有意义的条件是，则．
所以函数的定义域是．
故选：C．
题型三 函数的解析式
例4．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，设函数，
因为，，
所以，，
则，解得，
所以.
故选：D.
变式4-1．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11B．9C．7D．5
【答案】A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
变式4-2．（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.
【详解】设，，
∵，则，
又∵，
令，则，∴，即，，
令，则，，即，，
∴，，.
故选：D.
例5．（20-21高一上·山西长治·阶段练习）若函数，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据，令求解.
【详解】因为函数，
令，解得，
所以
故选：A
变式5-1．（17-18高二下·重庆·期中）已知函数，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．
【详解】令，则，
由，
可得，
则，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
变式5-2．（2022·陕西汉中·二模）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.
【详解】由，
令，则，
所以，对于，即.
故选：A
例6．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值.
【详解】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
变式6-1．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.
【详解】因为，所以，
联立可得，所以，，
因为，所以，则，
所以.
故选：C.
例7．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
变式7-1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，所以，则
.故选：A.
题型四 函数的值域
例8．已知则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围.
【详解】由有意义可得，
设，则，，
所以，
所以，
故选：C.
变式8-1．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简函数解析式，利用反比例函数的性质求出值域．
【详解】
故选：C．
例9．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】利用判别式可求函数的值域.
【详解】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
变式9-1．求下列函数的值域：
(1)； (2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解；
（2）结合基本不等式求解即可．
（3）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在上有解，结合判别式即可求值域；
【详解】（1）设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为.

（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故函数的值域为.
（3）由知，
整理得.
当时，方程无解；
当时，，即.
故所求函数的值域为.
例10．函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元法，设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域；也可以设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域.
【详解】法一：由题且，
令，则，且，
∴且.
故函数的值域是.
法二：由题且，
令，则，，且，
∴且.
故函数的值域是.
故答案为：.
变式10-1．函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用三角换元结合三角函数的性质及辅助角公式计算即可.
【详解】易知，不妨令，
则.
此时，所以.
故答案为：
变式10-2．求函数的值域．
【答案】
【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得.
【详解】设，则，
函数可化为，对称轴为，
所以该函数在上单调递减，所以当时，，
所以原函数的值域为.