高中数学（人教A版）高三一轮复习专题 1-2.2 函数的性质(周期性，对称性及性质综合)（学生版）

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函数的周期性
周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
周期性常见结论：
设函数y=fx，x∈R，a>0.
①若f(x+a)=f(x−a)，则函数的周期T=2a；
②若f(x+a)=−fx，则函数的周期T=2a；
③若f(x+a)=1f(x)，则函数的周期T=2a；
④若f(x+a)=−1f(x)，则函数的周期T=2a；
⑤f(x+a)=f(x+b)，则函数的周期T=|a−b|
函数的对称性
轴对称：
①函数fx对于定义域内任意实数x满足fa+x=fb−x，则函数fx关于直线x=a+b2对称，特别地当fx=f2a−x时，函数fx关于直线x=a对称；
②如果函数y=fx满足fa+x=fa−x，则函数y=fx的图象关于直线x=a对称.
③y=f(a−x)与y=(x−b)关于直线x=a+b2对称.
若函数f(x)关于直线(a,0)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)
②f(x)=−f(2a−x)
③f(−x)=−f(2a+x)
若函数f(x)关于直线(a,b)对称，则
①f(a+x)=−f(a−x)+2b
②f(x)=−f(2a−x)+2b
③f(−x)=−f(2a+x)+2b
函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型专练
题型一 函数的周期性
1.1 （2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
1.2 （2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
1.3 （2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1B．0C．1012D．2024
1.4 （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
题型二 函数的对称性
2.1 （2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
2.2 （2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2.3 （2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
2.4 （2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数有最小值，无最大值D．函数的图象是两条射线
题型三 函数性质综合应用
3.1 （湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数D．
3.2 （2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.3 （2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3.4 （2024·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
3.5 （2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
3.6 （2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数