高考真题变式题2024年高考全国甲卷数学（理）真题变式题1-5含解析答案

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一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．10D．
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
4．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的共轭复数（ ）
A．3－iB．3＋iC．1＋3iD．1－3i
5．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，则为（ ）
A．B．C．D．
8．设全集，集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
9．若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．28B．14C．10D．4
11．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．25B．27C．29D．30
12．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
13．记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
14．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
15．记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．3B．7C．11D．15
16．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
17．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
18．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
19．如图，正六边形ABCDEF的两个顶点，A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是 （ ）
A．B．C．D．
20．已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
参考答案：
1．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
2．C
【分析】先根据复数的乘法运算可得，再根据共轭复数的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3．A
【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由共轭复数定义得，，
所以．
故选:A．
4．A
【分析】根据复数运算法则进行化简计算，进而求出z的共轭复数.
【详解】，故.
故选：A
5．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
6．B
【分析】先求得，再利用交集运算求解.
【详解】解：由已知得，
所以．
故选：B
7．B
【分析】解出绝对值方程，得到，再根据交集和补集的含义即可.
【详解】令，解得；令，解得；令，解得.
则，
则，则.
故选：B.
8．A
【分析】求出，根据集合的交集的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合，，
故，
故=，
故选：A
9．D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，
即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，
联立，解得，即，
则.
故选：D.
10．B
【分析】作出满足约束条件的平面区域，数形结合确定最优解即可.
【详解】作出满足约束条件的平面区域（如图阴影部分），
作，平移过时，取得最大值.
由，解得，
则．
故选：B．
11．C
【分析】先画出不等式表示的可行域，则表示可行域内的点到的距离的平方，结合可行域求解即可.
【详解】约束条件表示的可行域如图所示，

表示可行域内的点到的距离的平方，
由图知：点到的距离最大，
故．
故选：C.
12．B
【分析】作出可行域，表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，结合图象即可得解.
【详解】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，即，
表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，
由图可知，当点位于时，斜率最大，
所以的最大值为.
故选：B.
13．B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
14．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
15．D
【分析】由题干条件得到方程组，求出首项和公差，求出.
【详解】由得：，
由得：
联立两式可得：，
所以，
所以
故选：D
16．A
【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式得出等差数列的基本量，计算可得结果．
【详解】记等差数列的公差为，
由可得，整理得；
因为，，即；
整理可得，联立可得，，
故；
故选：A．
17．C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
18．C
【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.
【详解】因为，所以，
又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，
则双曲线的离心率，
故选：.
19．A
【详解】连接AE，则AE⊥DE．
设|AD|=2c，三角形AED为直角三角形、且角EAD=30度（因为角EDA=60度、而角EAD=角FEA=角FAE=30度）
所以、ED = AD = c； EA =c
所以 EA - ED =c - c = 2a
即 （- 1）c = 2a
离心率e = c/a =．
20．C
【分析】根据对称性的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合双曲线的定义及双曲线的离心率的公式即可求解.
【详解】关于渐近线的对称点在双曲线上，如图所示，

则.所以是的中位线，
所以,.
所以到渐近线的距离为
，即，
在中， ，，
所以，
进而,
所以离心率.
故选：C.